cosmologie de l'univers jumeau matière matière fantôme astrophysique. 2 :
Métriques d'état stationnaire conjuguées. Solutions exactes. (p2)
3) Solutions exactes internes couplées de type Schwarzschild.
Considérons le cas où le pli F* est vide et où le pli F contient un objet massif de masse M, de rayon ro, rempli d'une densité de masse r constante.
Cela correspond au système d'équations :
(12)
S = c T
(13) *S = - **c T
avec T* = 0. Dans la théorie classique, on déduit la solution intérieure de Schwarzschild, donnant au tenseur T la forme :
(14)
La forme de métrique choisie est :
(15)
ds² = en c² dt² - [ el dr² + r² ( dq² + sin²q dj²) ]
Dans les seconds membres des équations différentielles, issues de l'équation de champ, on trouve des termes :
(16)
Le second correspond à la contribution de la pression au champ. Elle peut être négligée pour des pressions modérées. Dans le cas d'un gaz, cela correspond à l'approximation << c, le premier étant la vitesse thermique. Si le corps est solide (planète), cela signifie que la contribution de la pression est faible, ce qui ne peut pas être affirmé si l'objet est une étoile à neutrons. Nous allons, dans la suite, considérer l'hypothèse physique justifiée :
(17)
Alors l'équation différentielle peut s'écrire sous la forme plus simple :
(18)
(19)
(20)
c étant la constante d'Einstein :
(21)
Nous additionnons d'abord (18) et (19) et obtenons :
(22)
Puisque c est négatif, cela implique que l' + n' est positif ou nul. À partir du système (18) + (19) + (20), on obtient :
(23)
(24)
(25)
Écrivons :
(26)
En combinant avec (23) :
(27)
m(r) est une longueur, analogue à la longueur de Schwarzschild. Nous retrouvons le statut de M(r) comme masse géométrique.
(24) peut être résolue. Écrivons :
(28)
ou :
(29)
Introduisons :
(30)
on obtient :
(31)
A étant une constante. La métrique interne devient alors :
(32)
Quand r = ro, la métrique externe devient :
(33)
ou :
(34)
ou :
(35)
La liaison avec la métrique externe est assurée si :
(36)
Notre solution interne (p » 0) devient :
(37)
Remarquons que nous effectuons des développements en série selon :
(38)
notre métrique interne et celle classique à pression non nulle [7] :
(39)
coïncident asymptotiquement.
Version originale (anglais)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2:
Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p2)
3) Schwarzschild-like coupled internal exact solutions.
Consider the case where the fold F* is empty and the Fold F contains a massive objet whose mass is M, whose radius is ro , filled by constant mass density r matter.
It corresponds to the set of equations :
(12)
S = c T
(13) *S = - **c T
with T* = 0 . In the classical theory, one derives the internal Schwarzschild solution, giving the T tensor the form :
(14)
The chosen metric form is :
(15)
ds2 = en c2 dt2 - [ el dr2 + r2 ( dq2 + sin2q dj2) ]
In the second members of the differential equations, coming from the field equation we find terms :
(16)
The second corresponds to the contribution of the pressure to the field. It can be neglected for moderate pressures. In the case of a gas it corresponds to the approximation << c , the first being the thermal velocity. If the body is a solid (planet), it means that the pressure contribution is weak, that cannot be asserted is the object is a neutron star. We are going to deal, in the following, with the justified physical assumption :
(17)
Then the differential equation can be written into the simpler form :
(18)
(19)
(20)
c being the Einstein's constant :
(21)
We first add (18) and (19) and get :
(22)
Since c is negative it implies that l' + n' is positive or zero. From the system (18) + (19) + (20) we get :
(23)
(24)
(25)
Write :
(26)
Combining to (23) :
(27)
m(r) is a length, Schwarzschild length like. We refind the status of M(r) as a geometric mass.
(24) can be solved. Write :
(28)
or :
(29)
Introduce :
(30)
we get :
(31)
A being a constant. Then the internal metric becomes :
(32)
When r = ro, the external metric becomes :
(33)
or :
(34)
or :
(35)
The link with the external metric is ensured if :
(36)
Our (p » 0) internal metric solution becomes :
(37)
Notice that we perform expansions into series, according to :
(38)
our internal metric and the classical non zero pressure one [7] :
(39)
fit asymptotically.