cosmologie de l'univers jumeau matière matière fantôme astrophysique. 2 : Métriques d'état stationnaire conjuguées. Solutions exactes. (p5)
Cette opération peut être étendue aux négacones joints (densité de courbure angulaire négative). Pour une surface euclidienne, C(M) = 0 partout. En utilisant des négacones élémentaires et de petites portions d'un plan, on peut construire toute surface régulière, où la densité de courbure angulaire C(M), positive, négative ou nulle, est une fonction continue du point M. Nous pouvons maintenant construire un posicone tronqué et le joindre à une portion de sphère. La continuité du plan tangent est assurée si les courbures angulaires q sont égales. Voir la figure 6.
Fig .6 : Construction d'un "posicone lissé".
Une surface à courbure angulaire négative constante est appelée selle de cheval. Voir la figure 7. Sur une telle surface, on peut tracer une courbe centrée sur un point P.
Fig. 7 :** Construction d'un "négacone lissé".**
On peut placer un posicone lissé et un négacone lissé face à face, comme indiqué sur la figure 1. Les points conjugués M et M* ont des densités de courbure opposées :
(61)
C(M*) = - C(M)
Sur les parties euclidiennes des deux surfaces conjuguées, ces courbures sont nulles :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
Nous obtenons un exemple de géométries conjuguées en 2d. Évidemment, tout comme dans nos plis en 4d, l'image d'une géodésique d'un pli n'est définitivement pas une géodésique de l'autre. Voir les figures 8 et 9.
Fig. 8 : L'image (composée de points conjugués) d'une géodésique du posicone lissé F n'est pas une géodésique du négacone lissé F.*
** ** Fig. 9 : L'image (composée de points conjugués) d'une géodésique du négacone lissé F n'est pas une géodésique du négacone lissé F.* ** **
Il s'agit simplement d'une image pédagogique, mais elle illustre le concept fondamental des géométries conjuguées. En relativité générale, nous traitons des hypersurfaces en 4d, dont les métriques possèdent des géométries hyperboliques, de signature (+ - - -).
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Version originale (anglais)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig. 7 :** Building a "smoothed negacone".**
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig. 8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig. 9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
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