univers jumeau astrophysique et cosmologie
Matière matière fantôme astrophysique.
5 : Résultats des simulations numériques 2D. VLS.
À propos d'un schéma possible de formation des galaxies.
.(p2)
Une autre méthode, également mentionnée, introduit une troncature de distance à l'antipode de chaque point. Notons que notre carré est un tore euclidien plat, de courbure nulle partout. Voir la figure 3.
Fig. 3 :** Le "tore euclidien".** Nous avons indiqué le centre P du carré. Du point de vue géométrique, les points A, B, C et D doivent être identifiés à un antipode de P sur le tore. Sur notre carré, les lignes droites représentent les géodésiques du tore euclidien. L'image en bas à gauche de la figure 3 est incorrecte, car nous ne pouvons simplement pas dessiner un "tore plat". L'action gravitationnelle d'une masse située au point antipodal (a, B, C, D) sur le point P est également nulle. Idem pour une masse située en (H, K) ou (M, N). Voir la figure 4.
Fig. 4 :** Sur un tore, un point P possède trois points antipodaux :**
(A, B, C, D) (M, N) (H, K)
Les longueurs correspondantes des chemins géodésiques sont fondamentalement différentes :
(1)
Notons qu’un tore (quelle que soit sa courbure) possède un nombre infini de géodésiques reliant deux points donnés P et Q, dont une est la plus courte. La figure 5 correspond à la description périodique spatiale.
Fig. 5 :** Deux géodésiques reliant deux points distincts P et Q.** Description périodique spatiale.
Sur la figure 6, nous avons indiqué le plus court chemin. La représentation du tore non euclidien n’est qu’une description topologique, car ce tore possède une courbure locale positive et négative. Une géodésique de ce tore n’est évidemment pas une géodésique de notre "tore plat".
**Fig. **6 : Le plus court chemin de P à Q.
Sur la figure 7, nous avons indiqué un chemin plus long.
Fig.7 : Un chemin plus long, du point P au point Q.
Nous voyons que les choses ne sont pas aussi simples qu’elles le paraissent au premier abord.
Si nous plaçons les points massiques sur une sphère S2, une unique géodésique relie deux points donnés. Voir la figure 8.
Fig. 8 : Deux points sur une sphère, reliés par une seule géodésique.
Lors du calcul de l’interaction gravitationnelle correspondante, nous devons considérer deux longueurs :
(3)
d = a R
d' = R ( 2ap - a )
Si les deux points s’attirent, ils ont tendance à se rencontrer. À l’inverse, s’ils se repoussent, ils ont tendance à occuper des positions diamétralement opposées. 
Version originale (anglais)
twin universe astrophysics and cosmology
Matter ghost matter astrophysics.
5 : Results of numerical 2d simulations. VLS.
About a possible schema for galaxies' formation.
.(p2)
Another method, also mentioned, introduces a distance truncature at the antipode of each points. Notice that our square is an euclidean, flat torus, with null curvature everywhere. See figure 3.
Fig. 3 :** The "euclidean torus".** We have figured the center P of the square. From a geometrical point of view, the points A , B , C and D must be identified to an antipode of P on the torus. On our square, straight lines figure geodesics of the euclidean torus. The lower-left image of figure 3 is not correct for we simply cannot draw a "flat torus". The gravitational action of a mass located at the antipodal point (a,B,C,D) on the point P is zero too. Same thing for a mass located in (H,K) or (M,N) . See figure 4.
Fig. 4 :** On a torus a point P owns three antipodal points :**
(A,B,C,D) (M,N) (H,K)
The corresponding geodesic pathes lengths are basically different :
(1)
Notice that, on a torus (whatever it owns curvature or not) we have an infinite number of geodesics joining two given point P and Q, one being the shortest. The figure 5 corresponds to the spatially periodic description.
Fig. 5 :** Two geodesics joining two distinct points P and Q.** Spatially periodic description.
On figure 6 we have figured the shortest path. The non-euclidean torus representation is just a topologic description, for this torus owns local positive and negative curvature. A geodesic of such a torus is obviously not a geodesic of our "flat torus".
**Fig. **6 : The shortest path from P to Q.
On figure 7 we have figured a longer path.
Fig.7 : A longer path, from point P to point Q.
We see that the things are no so simple they look at a first glance.
If we figure the mass points on a S2 sphere, a unique geodesic links two given points. See figure 8
Fig. 8 : Two points on a sphere, linked by a single geodesic.
When computing the corresponding gravitational interaction we must consider two lengths :
(3)
d = a R d' = R ( 2ap - a )
If the two points attract each other, they tend to meet. Conversely, if they repel each other, they tend to occupy diametrally opposed positions.