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Une parenthèse : orientation espace-temps.
** ...**Dans le monde à 2D, nous avions assimilé les objets géométriques à des lettres. Dans le monde à 3D, ils avaient été assimilés à « main droite » et « main gauche ».
Les structures à quatre dimensions avaient été assimilées à des hologrammes animés.
**...**Qu'est-ce que pourrait être une structure à cinq dimensions, ou à dix dimensions ? Parfois, j'envie Dieu, n'est-ce pas ?
**...**Il doit rire en regardant nos misérables structures à quatre dimensions.
**...**Mais un physicien théoricien, et même un mathématicien, n'est rien d'autre qu'une structure à quatre dimensions orientée. S'ils n'étaient pas orientés ainsi, ils ne pourraient pas distinguer le passé de l'avenir, ni la droite de la gauche.
**...**L'univers dans son ensemble est une structure à quatre dimensions. Imaginons-le comme un objet fermé, de topologie localement sphérique. Appelons t le temps. À un instant donné, nous pouvons effectuer une coupe, qui est une hypersurface à 3D. Si cette dernière est une hypersphère S3, le temps a un sens. Le vecteur temps traverse cette hypersurface et nous n'avons pas de situation paradoxale.
**...**Réduisons le nombre de dimensions. Imaginez un monde à deux dimensions fermé, une sorte d'espace-temps (x,y,t).
**...**Nous pouvons le couper à t = constant, nous obtenons alors un objet géométrique dont la dimension est 3 - 1 = 2 : une surface à 2D. En tout point, le vecteur normal orienté représente la flèche du temps.
Si cet espace-temps peut être orienté dans le temps (nous supposons qu'il est fermé), alors l'espace est une sphère S2 :
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**...**Mais supposons que la surface représentant l'espace soit à une seule face. Prenons par exemple une surface de Boy (qui est une surface fermée à une seule face. Voir la section « Mathématiques » du site).
(153)
Vous pouvez en construire une en collant ensemble des rubans de Möbius. Je vous en montre une :
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Vous savez qu'il est impossible de définir un vecteur normal orienté :
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**...**Le revêtement à deux feuillets d'une surface de Boy est une sphère S2. Si nous assimilons notre espace-temps à trois dimensions à un ensemble de sphères S2, disposées comme des poupées russes, chacune correspondant à une valeur donnée d'un temps cosmique t, nous pouvons envisager (avec difficulté) un certain type d'espace-temps où des points antipodaux pourraient être identifiés. C'était la structure topologique suggérée dans l'article :
Jean-Pierre Petit : "Le problème de la masse manquante". Il nuovo Cimento B, vol. 109, juillet 1994, pp. 697-710.
**...**Ensuite, nous savons que des points antipodaux situés sur un « méridien » d'une sphère peuvent être disposés comme le revêtement à deux feuillets d'un ruban de Möbius :
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Nous voyons ainsi comment les régions spatiales antipodales sont conjuguées à des flèches du temps opposées.
(157)
**...**Au passage, nous voyons comment cela conjuguerait des objets énantiomorphes.
**...**L'espace est une hypersurface à quatre dimensions. Si nous pouvons définir un temps cosmique t, nous pouvons effectuer des coupes à t = constant, et ces coupes sont des espaces à 3D. Si l'espace est fermé, nous pourrions l'assimiler à une sphère S3, qui peut être modélisée comme le revêtement à deux feuillets d'un espace projectif P3 (l'équivalent de la surface de Boy en 3D). Cette opération mettrait en interaction des régions avec des flèches du temps opposées.
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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A parenthesis : Space-time orientation.
** ...**In 2d's world we assimilated geometrical objects to letters. In 3d's world they were assimilated to "right hand" and "left hand".
Four-dimensional structures were assimilated to animated holograms.
**...**What the hell could be a five-dimensional structure, or a ten dimensional one ? Sometimes I envy God, don't you?
**...**He must laugh, looking at our miserable four dimensional structures.
**...**But a theoretical physicist, and even a mathematician, are nothing but oriented four dimensional structures. If they were not, they could not distinguish past from future, and the right from the left.
**...**The universe, as a whole, is a four dimensional structure. Let us think about it as a closed object, with locally spherical topology. Call t the time. At a given time we can make a cut, which is a 3d hypersurface.If this last is a hypersphere S3, time makes sens. The vector time crosses this hypersurface and we get no paradoxical situation.
**...**Let us reduce the number of dimensions. Imagine a closed two dimensional world, some sort of space time (x,y,t).
**...**We can cut it at t = constant, then we get a geometrical object whose dimension is 3 - 1 = 2 : a 2d surface. At any point the oriented normal vector figures the arrow of time.
If this space-time can be oriented in time ( we suppose it is closed ) at given time, space is a S2 sphere :
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**...**But suppose the surface representing space is single-sided. Take a Boy surface, for an example ( which is a closed single-sided surface. See the section "Mathematics" of the site ).
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You can build a one just gluying Mbius strips together. I show a one :
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You know that you cannot define an oriented normal vector :
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**...**The two folds cover of a Boy's surface is a sphere S2. If we assimilate our three dimensional space-time to a sets of spheres S2, arranged like russian dolls, each corresponding to a given value of a cosmic time t, we can think (hardly ) to some sort of space-time where antipodal points could be put together. That was the topological structure suggested in the paper :
Jean-Pierre Petit : "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, july 1994, pp. 697-710.
**...**Then we know that antipodal points, located on an "equator" of a sphere can be arranged as the two-folds cover of a Mbius strip :
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We see how this conjugates space-antipodal regions with opposite time's arrows.
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**...**By the way, we see how it would conjugate enantiomorphic objects.
**...**Space is a four dimensional hypersurface. If we can define a cosmic time t, we can make cuts at t = constant and these cuts are 3d spaces. If space is closed, we could assimilate it to a S3 sphere, which can be shaped as the two folds cover of a projective space P3 ( the equivalent of a Boy's surface, in 3d ). This operation would put opposite time's arrow regions into interaction.