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**Les groupes de Galilée **( orientés espace-temps et groupe complet ).
Nous pouvons suggérer différents noms pour ce groupe.
GGSOTO ( Galilée orienté espace et orienté temps )
ou : GSG ( Groupe de Galilée spécial ).
Ou simplement : SG(3,1) : Groupe de Galilée spécial.
3 dimensions d’espace, 1 pour le temps. Rappelons que nous avions exprimé l’action du groupe PT comme suit :
(158)
Ensuite, nous avons basculé vers un groupe orienté espace et temps. Nous pourrions écrire de façon similaire l’action d’un tel groupe :
(159)
Il s’agit d’un sous-groupe d’un groupe plus raffiné :
(160)
Le « groupe de Galilée orienté espace et temps ». Avec :
(161)
L’action correspondante est la suivante :
(162)
Il s’agit d’un groupe à une composante (connexe). C’est un sous-groupe du groupe complet de Galilée, à quatre composantes :
(163)
qui régit les symétries P, T et PT :
(164)
et soulève également la question des objets antichrones (comme nous le ferons plus loin, mais sur une base relativiste).
Mouvements.
Les objets géométriques 4d sont des « hologrammes animés ». Dans la structure 4d, nous pouvons effectuer des coupes à des instants successifs. Chaque coupe constitue un objet 3d, composé de points (xi, yi, zi). Il est plus simple de considérer un objet ponctuel se déplaçant dans l’espace-temps. La structure espace-temps considérée devient alors une trajectoire, un mouvement.
...Nous décidons d’assimiler les particules de la physique à des mouvements de points. Soit ce seront des « points-masses », soit des énergies ponctuelles (photons, neutrinos).
...Nous pouvons envisager tous les mouvements possibles de toutes les particules possibles et les inclure dans un
(165)
espace des mouvements.
...Dans l’espace-temps, nous pouvons déterminer toutes les trajectoires possibles des photons, protons, neutrons, neutrinos, antiprotons, etc. Nous considérons un nombre infini de positions, vitesses et autres paramètres possibles, à découvrir ultérieurement. Parmi cette infinité de trajectoires figurent celles relatives à une particule donnée : un électron, par exemple. D’autres trajectoires correspondent au photon. Elles sont différentes. Elles forment deux familles distinctes, deux
espèces distinctes de mouvements.
Nous cherchons comment classer les particules. Puis nous cherchons comment définir les espèces de mouvements.
Nous utiliserons une méthode similaire à celle d’Euclide. La question centrale est la suivante :
Quels « objets » appartiennent à la même espèce ?
...Réponse : ceux qui peuvent être superposés l’un à l’autre grâce à l’action d’éléments appartenant à un groupe qui constitue un sous-groupe appelé la régularité de ces objets.
...Dans le monde d’Euclide, vous ne pouvez pas transformer une sphère en cube, ni l’inverse. Ils appartiennent à des espèces distinctes. Il n’existe aucun sous-groupe permettant de transformer des sphères en cubes, et vice-versa.
...De même, dans un groupe à définir, il n’existe aucun élément appartenant à un sous-groupe particulier qui permettrait de transformer le mouvement d’un photon en celui d’un électron. Ils sont fondamentalement différents ; ils appartiennent à des espèces distinctes.
Si un élément du groupe existe dont l’action transforme un mouvement en un autre mouvement, alors ces mouvements appartiennent à la même espèce. Ce sont deux mouvements distincts d’une même particule.
...Nous n’allons pas aborder les systèmes à plusieurs particules, comme les atomes ou les molécules. Nous nous concentrerons sur l’analyse des particules libres, se déplaçant dans un espace vide. Pendant ce déplacement, un certain nombre de paramètres sont conservés (masse, énergie, autres…).
Mais l’examen simple de la trajectoire espace-temps d’une particule ne suffit pas à l’identifier ni à l’inscrire dans une espèce définie.
-
Un proton et un neutron peuvent suivre la même trajectoire à la même vitesse.
-
Deux particules peuvent suivre la même trajectoire à la vitesse v = c, mais l’une peut être un photon et l’autre un neutrino.
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Comme nous le verrons plus loin, deux photons suivant la même trajectoire, dans la même direction, à la vitesse de la lumière, peuvent être différents. Ils sont P-symétriques.
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L’un possède une hélicité droite.
-
L’autre une hélicité gauche.
Cela correspond à la polarisation de la lumière. Appartiennent-ils à des espèces distinctes ? Cela dépend du groupe choisi.
Une espèce est relative à un groupe donné.
Le moment.
...Un mouvement est un choix particulier, un point dans l’**espace des moments **. Considérons les mouvements d’espèces ne différant que par la masse. Nous prenons deux espèces. Une particule de masse ma ne peut pas être convertie en une particule de masse mb. Même si leurs trajectoires peuvent être identiques dans l’espace-temps, nous les considérons comme des mouvements différents appartenant à deux espèces distinctes, ou :
deux espèces distinctes de mouvements. (166)
Le moment est un ensemble de paramètres : **J **= { J1 , J2 , J3 , ........, Jn } dont un est l’énergie : J1 = E.
Trois autres : ( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
forment le vecteur d’impulsion p, toutes des quantités familières aux physiciens.
...Ces quantités peuvent apparaître comme de pures grandeurs géométriques, directement liées au groupe choisi. Vous verrez plus loin que le nombre de quantités formant le moment est égal à la dimension du groupe.
...Alors, quelles sont les règles du jeu auquel nous allons jouer ?
Version originale (anglais)
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**The Galileo groups **( space-time oriented and complete group ).
We can suggest different names for this group.
GGSOTO ( Galileo space oriented and time oriented )
or : GSG ( Special Galileo group ).
Or, simply : SG(3,1) : Special Galileo group.
3 dimensions of space, 1 for time. Remember we wrote the action of the PT group as follows :
(158)
Then we shifted to some space and time oriented group. We could similarly write the action of such a group :
(159)
This is a sub-group of a more refined one :
(160)
The "space and time oriented Galileo's group". With :
(161)
The corresponding action is :
(162)
This is a one component ( connex ) group. It is a sub-group ofthe complete, four components Galileo group :
(163)
which rules P, T and PT symmetries :
(164)
and arises the problem of antichron objects too ( as it will be done further, but on relativistic grounds ).
Movements.
4d-geometrical objects are "animated holograms". In the 4d structure we can make cuts, at successive times. Each cut is a 3d object, made of (xi,yi,zi)
points. It is simpler if we consider a point-like object moving in space-time. Then the considered space-time structure becomes a paths, a movement.
...We decide to assimilate the particles of physics to movements of points. Either they will be some "mass-points", or punctual energy (photons, neutrinos).
...We can consider all the possible movements of all the possible particles and include them in a
(165)
space of movements.
...In space time we can find all possible paths of photons, proton, neutrons, neutrinos, anti-proton, an son on. We consider an infinite number of possible positions, velocities, and other parameters, to be discovered. Among this infinity of paths are the paths refering to a given particle : an electron, for example. Other paths refers to photon. They are different. They form two distinct families, two
distinct species of movements.
We search how to classify particles. Then we search how to define movements' species.
We will use a method similar to Euclid's. The central question is :
What "objects" belong to the same species ?
...Answer : those that can be put one on the other through the action of elements of a group which belong to some sub-group called the regularity of such objects.
...In Euclid's world you cannot transform a sphere into a cube, and vice-versa. They belong to distinct species. There is no sub-group which makes possble to transform spheres into cubes, and vice-versa.
...Similarly, in some group, to be defined, there is no element, belonging to some sub-group, which makes possible to transform the movement of a photon into the movement of an electron. They are basically different, they belong to distinct species.
If there is an element of the group whose action transforms a movement into another movement, then these movements refer to a same species. They are two different ovements of a same particle.
...We are not going to deal with many-particles systems, like atoms, molecules. We will focuss on free particle analysis, cruising in an empty space. Then, during this cruise, a certain number of parameters are conserved (mass, energy, others...)
But the simple examination of the space-time path of a particle is not enough to identify it and put it into a defined species.
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A proton and a neutron can cruise along the same path, at same velocity.
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Two particles can follow the same path, at v = c but one can be a photon and the other a neutrino.
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As we will see later, two photons following the same path, in the same direction, at the velocity of light, can be different. The are P-symmetrical.
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One owns a right helicity .
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The other a left helicity .
This correspond to polarization of light. Do they belong to distinct species ? Depend the group we choose.
A species is relative to a given group.
The momentum.
...A movement is a peculiar choice, a point in the **momentum space **. Consider movements of species whose only difference is mass. We take two species. A particle whose mass is ma cannot be converted into a particle whose mas is mb . Even if their trajectories can be identical in space-time we consider they are different movements of two distincts species or :
two distinct species of movements. (166)
The momentum is a set of parameters : **J **= { J1 , J2 , J3 , ........, Jn } One is Energy J1 = E .
Three others : ( J2 = px , J3 = py , J4 = pz )
form the impulsion vector p , all quantities which are familiar to physicists.
...These quantities can rise as pure geometric quantities, directly linked to the chosen group. You will see further that the number of quantities which forms the momentum is equal to the dimension of the group.
...Then what's the rules of the game we are going to play to ?