a4115
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Nous avons besoin de :
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Mais :
Le produit de deux matrices n’est pas, en général, commutatif. En conséquence :
(181) Ag(y) = y × g
n’est pas une action de groupe : elle ne satisfait pas aux axiomes précités. Toutefois, elle correspond à une « anti-action » :
(182)
Pour les matrices :
(183)
Nous poursuivons notre recherche d’actions et d’anti-actions. À partir du vecteur x, nous pouvons construire son transposé et essayer :
(184)
S’agit-il d’une action ? Allons-y.
g" = g × g'
(185)
(186)
Ici, nous utilisons un théorème du calcul linéaire :
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
où M et N sont des matrices arbitraires (n,n). D’où :
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
et :
(189)
qui constitue bien une action de groupe. Considérons maintenant :
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Montrons qu’il s’agit d’une action. Nous allons considérer les trois matrices suivantes.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
Nous devons vérifier :
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Calculons le membre de gauche :
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
ou encore :
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
c’est-à-dire :
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Il s’agit bien d’une action de groupe. Nous l’appellerons, d’après Souriau,
action adjointe :
(193)
Nous allons maintenant considérer une anti-action du groupe sur une matrice m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Montrons qu’elle satisfait à :
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Calculons le membre de gauche :
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
ou encore :
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
c’est-à-dire :
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
ou encore :
(199) g"⁻¹ × m × g"
Version originale (anglais)
a4115
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We need :
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y x **g **
Ag'(y) = y x g'
Ag ( Ag'(y)) = y x g' x g
But :
The product of two matrixes is not commutative, in general. As a conclusion :
(181) Ag(y) = y x g
is not a group's action : It does not fit the above axioms. But it fits another, corresponding to an "anti-action".
(182)
For matrixes :
(183
We are still searching actions and anti-actions. From the **x **vector we can build the transposed one and try :
(184)
is it an action ? Let us go.
g" = g x g'
(185)
(186)
Here we use a theorem of linear calculus :
(187) M -1 x N = ( N x M ) -1
where M et N are arbitrary (n,n) matrixes. Whence :
(188) g' -1 x g -1 = ( g x g' ) -1 = g" -1
and :
(189)
which is a group's action. Consider now :
(190)
Ag(m) = **g **x **m **x g -1
Show it is an action. We shall consider the three following matrixes.
(191)
g
g'
g" = g x g'
Ag(m) = **g **x **m **x g -1
Ag'(m) = g'x m x g' -1
Ag"(m) = g" x m x g" -1
We need :
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Form the first member :
(193) g x (g' x m x g' -1) x g -1
or :
(194) g x g'x m x g' -1 x g -1
i.e :
(195) (g x g') x m x ( g x g') -1 = g" x m x g" -1
It is a group's action. We will call it, after Souriau :
Adjoint action :
(193)
We are now going to consider an anti-action of the group on a matrix m.
(194) AAg(m) = g -1 x m x g
Show it satisfies :
(195) AAg'(Ag(m)) = Ag"(m)
Form the first member :
(196) g'-1 x (g -1 x m x g) x g'
or :
(197) g' -1 x g -1 x m x g x g'
i.e :
(198) (g x g') -1 x m x ( g x g')
or :
(199) g" -1 x m x g"