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Particules de spin.
...Le groupe de Poincaré décrit le mouvement relativiste d'un objet ponctuel. De même, le groupe de Bargmann décrit le mouvement non relativiste. Les composantes du moment apparaissent comme des grandeurs purement géométriques. C'est une géométrisation de la physique. Les physiciens sont familiers avec l'énergie E et le vecteur impulsion p. Mais ils peuvent être un peu troublés par les deux autres objets : le passage f et le vecteur spin l. La forme des composantes du moment dépend du choix des coordonnées. ...Chaque groupe dynamique possède son espace des moments et son action coadjointe sur cet espace. Si, au lieu de choisir d'abord le monde relativiste (groupe de Poincaré), nous avions choisi le monde non relativiste, nous aurions dû faire appel au groupe de Bargmann. Pour les détails calculatoires, voir mes cours sur les groupes. Le groupe de Bargmann est une extension non triviale du groupe de Galilée : (272)
Comme le lecteur peut le constater, ce groupe agit sur un espace à cinq dimensions :
**r **: espace
t : temps
z : une variable additionnelle.
...Ces questions relatives aux variables additionnelles seront traitées plus loin. Sur ce site, le calcul complet de l'action coadjointe du groupe de Poincaré a été donné ci-dessus. On pourrait également dériver le calcul de l'action coadjointe du groupe de Bargmann sur son espace des moments. Paradoxalement, le calcul dans le monde non relativiste est un peu plus compliqué que celui dans le monde relativiste. Le résultat est le suivant : (273)
Le physicien reconnaît quelques objets familiers, comme la vitesse : (274)
et l'énergie cinétique : (275)
m v est l'impulsion. Vitesse par rapport à quoi ? Un groupe change les paramètres du mouvement, donne à une particule une vitesse v et une énergie cinétique E. On peut adopter l'interprétation inverse, et considérer qu'un groupe est un point de vue particulier sur quelque chose, sur une particule. Si nous considérons le groupe SO(3), les matrices a, cela signifie « vu sous un autre angle ». Si nous considérons le groupe O(3), les matrices a, cela ajoute la possibilité d'observer « la chose » à travers un miroir.
Le vecteur de translation (276)
du groupe d'Euclide ajoute « vu d'ailleurs ».
Dans les groupes dynamiques, la présence d'une vitesse v dans le groupe signifie que l'observateur se déplace. La translation temporelle e = Dt signifie que l'observateur voit la chose après un certain délai. Le vecteur de translation Dr et le retard temporel Dt peuvent être combinés en un vecteur de translation espace-temps : (277)
Regardez les formules, du groupe de Bargmann, nous voyons que :
m' = m
Quel que soit le point de vue, la masse reste inchangée.
Simplifions un peu ce « point de vue », en choisissant a = 1.
L'action coadjointe devient : (278)
...L'action coadjointe indique le changement des paramètres du mouvement. Si nous considérons que nous passons d'une situation stationnaire à une situation non stationnaire, les conditions initiales correspondent à :
E = 0 (énergie nulle)
**p **= 0 (impulsion nulle, vitesse nulle)
« passage » f = 0
Alors l'action coadjointe donne : (279)
« Considérer » doit être lu dans son sens étymologique.
Un huissier dit : - Établir un inventaire et un relevé.
...Une vision statique (v = 0) des choses correspond au groupe d'Euclide. L'huissier observe les choses à distance c. Il observe les faits au moment où ils se produisent (Dt = 0). Éventuellement, il regarde sous un certain angle (a différent de 1).
...Un général, survolant un champ de bataille en avion, est une sorte d'huissier qui observe les choses depuis un point de vue mobile (depuis un avion volant à la vitesse v). ...Mais un général, dans son quartier général, regardant un film pris par un avion sans pilote, un drone, quelques heures auparavant, dit : - En considérant la cible, telle qu'elle était une heure plus tôt (Dt non nul), vue depuis un point d'observation en mouvement (v non nul), depuis une altitude de cinq mille pieds (c non nul), en volant à la vitesse v et en prenant la photo sous un certain angle (a différent de 1).
...Une cible n'a pas de vitesse, de position ou d'orientation définies, même si elle est supposée être un bâtiment « fixe ». Tout est relatif. Même la Terre, le Soleil, notre galaxie se déplacent dans l'espace.
...Le « pôle nord » de la Terre diffère de celui du Soleil de 23°, et il évolue dans le temps (26 000 ans), en raison de la précession des équinoxes. Le nord indiqué par le Soleil (son propre axe de rotation) n'est pas le même que celui indiqué par notre galaxie, la Voie lactée, qui a son propre mouvement de rotation (écart de 90°). Même une galaxie se déplace à trois cents miles par heure. Par rapport à quoi ? Par rapport aux autres. C'est tout ce que l'on peut dire. Le groupe correspond à deux points de vue différents.
...Si je considère que l'objet est immobile, fixe dans l'espace et le temps, et n'a pas de mouvement de rotation, tout ce que je peux dire est :
- Si je m'éloigne à une distance c.
- Si j'observe la chose en volant à la vitesse v.
- Si l'information provenant de cette chose me parvient avec un retard temporel Dt.
*Par rapport à moi *:
---> La masse de l'objet n'est pas modifiée.
----> J'attribue à l'objet une impulsion mv, considérée comme apparente.
-----> L'objet acquiert un « passage » **f **= m [ c - v Dt ]
-----> Il acquiert un spin (279b)
Écrivons cela de manière plus explicite : (280)
(281)
(282)
ou : (283)
On peut considérer les trois composantes indépendantes de la matrice de spin l comme les composantes d'un vecteur : (283b)
...Bien que le produit vectoriel n'ait pas été défini dans notre espace, c'est-à-dire que nous n'avons pas attribué à l'espace une orientation droite-gauche, nous pouvons considérer l'expression finale comme un produit vectoriel. (284)
...Le v renversé indique le produit vectoriel. Nous voyons que la dernière ligne des formules donnant l'action coadjointe correspond à : (285)
l est une matrice, pas un vecteur. Mais, selon la notation choisie, les lettres en gras indiquent indifféremment une matrice ou un vecteur.
Ce vecteur commence à ressembler à quelque chose de familier au physicien : le moment cinétique.
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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Particles with spin.
...The Poincarés' group describes the relativistic movement of a point-like object. Similarly the Bargmann group describes the non-relativistic movement. The components of the moment arise as pure geometric quantities. It's a geometrization of physics . The physicists are familiar to the energy E and impulsion vector p. But they can be a little bit puzzled by the two other objects : the passage f and the spin vector l . The form of the momentum's components depends on the choice of coordinates. ...Each dynamic group owns its momentum space and coadjoint action on this momentum space. If, instead chosing at first the relativist world (Poincaré's group) we had chosen the non-relativistic world, we would have to refer to the Bargmann's group. For computational detail see my lectures on groups. The Bargmann group is a non-trivial extension of the Galileo's group : (272)
As the reader can see, this group acts on a five dimensional space :
**r **: space
t : time z : an additional variable.
...These questions of additional variable or additional variables will be treated further. In this site full calculation of the coadjoint action of the Poincaré group has been given above. One could also derive the calculation of the coadjoint action of the Bargmann's group on its momentum. Paradoxically, the calculation in the non-relativist world is somewhat more complicated than the one in relavistice world. The result is the following : (273)
The physicist identifies somes familiar objects, like the velocity : (274)
and kinetic energy : (275)
m v is the impulsion. Velocity with respect to what ? A group changes the parameters of the movement, gives to a particle a velocity v and a kinetic energy E . We can choose the opposite interpretation, and consider that a group is a peculiar point of view on something, on a particle. If we consider the group SO(3), the matrixes a, it means "seen along another angle of view". If we consider the group O(3), matrixes a, it adds the possibility to observe the "thing" through a looking glass.
The translation vector (276)
of the Euclid's group adds "seen from elsewhere".
In dynamic groups, the presence of a velocity v in the group means that the observer moves. The time-translation e = Dt means that the observer sees the thing after some delay. The translation vector Dr and the time delay** **Dt can be put together in a space-time translation vector : (277)
Look at the formulas, from Bargmann's group, we see that :
m' = m
Whatever is the point of view, the mass in unchanged.
Let us simplify a little bit this "point of view", choosing a = 1.
The coadjoint action becomes : (278)
...The coadjoint action indicates the change in the movement's parameters. If we consider we pass from a steady situation to a non-steady situation, the inital conditions correspond to :
E = 0 ( zero energy )
**p **= 0 ( zero impulsion, zero velocity )
"passage" f = 0
The the coadjoint action gives : (279)
"To consider" must be read in its etymologic meaning.
A process server says : - Drawing up a survey cum inventory.
...A static (v = 0) vision of things, corresponds to the Euclid's group. The process server observes things at distance **c **. He observes facts at the time they happen (Dt = 0). Eventuallly he looks from a certain angle (a different from 1).
...A general, flying over a battle field, in a plane, is some sort of a process server, who observes things from a moving point of view (from a plane cruising at velocity v). ...But a general, in his headquarters, looking at a movie taken by a pilotless plane, a drone, some hours before, says : - Considering the target, as it was one hour before (non zero Dt), seen from a moving point of observation (non zero v) , from an altitude of five thousand feet (non zero c), cruising at velocity v and taking picture through a certain angle (a being different from 1).
...A target has no defined velocity, or position, or orientation, even if it is supposed to be a "fixed" building. Everything is relative. Even the Earth, the Sun, our galaxy move over space.
...The "north pole" of the Earth is different from the "north pole of the Sun", from 23°, and it changes in time ( 26,000 years), due to equinox precession. The north indicated by the sun ( its own rotation axis ) is not the north indicated by our galaxy, the milky way, which has its own spining movement ( 90°'s gap ). Even a galaxy moves, at a trhree hundred miles per hour. With respect to what ? To the other ones. That's all we can say. The group corresponds to two different points of view.
...If I consider that the object is steady, fixed in space and time, and owns no spining movement, all that I can say is :
- If I move off at distance c . - If I observe the thing, when cruising at velocity v . - If the information, coming from this thing, joins me with a time-delay Dt.
*With respect to me *:
---> The mass of the object is not modified.
----> I give the object an impulsion mv, considered as an apparent one. -----> The object gets a "passage" **f **= m [ c - v Dt ] ----> It gets a spin (279b)
Write it in a more explicit way : (280)
(281)
(282)
or : (283)
One may consider the three independent components of the spin matrix l as the component of a vector : (283b)
...Although the vectorial product has not been defined in our space, i.e : we did not give space a right-left orientation, we can consider the last expression as a vectorial product. (284)
...The reversed v indicates the vectorial product. We see that the last line of the formulas giving the coadjoint action corresponds to : (285)
l is a matrix, not a vector. But, according to the chosen notation, bold letters indicates indifferently a matrix or a vector.
This vector begins to look like something familiar to the physicist : the kinetic momentum .