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Une définition géométrique de l'antimatière.
...Comme mentionné par Souriau en 1964 dans "Géométrie et Relativité", Éditions Hermann, chapitre VII "La Relativité à Cinq Dimensions" (la relativité à cinq dimensions), page 413, « l'inversion de la cinquième dimension correspond à la conjugaison de charge ».
...Cela est vrai si l'antimatière correspond à la définition de Dirac. Donnons une définition géométrique a priori de l'antimatière. On peut représenter l'espace à dimensions :
(368)
Cela peut être schématisé comme suit, avec un espace-temps fibré :
(369)
...Nous décidons que les mouvements de la matière correspondent aux valeurs positives des z i et ceux de l'antimatière aux valeurs négatives, ce qui correspond à :
(370)
Il est facile de modifier le groupe afin d'intégrer cela dedans.
(371)
Cela devient un groupe à quatre composantes ( l = ± 1 ) × 2 (le groupe orthochrone étendu possède deux composantes connexes).
La composante ( l = +1 ) est un sous-groupe.
...Il est clair que les éléments ( l = - 1 ) changent les signes des variables supplémentaires. Nous décidons qu'ils correspondent à la dualité matière-antimatière, sur des bases purement géométriques.
Soit :
(380)
Alors nous pouvons écrire, de manière plus compacte :
(381)
**l **= 1 correspond au sous-groupe orthochrone.
(382)
Introduisons ce que nous appellerons un : « l-commutateur » :
(383)
Il appartient à la deuxième composante. Mais tout élément de cette deuxième composante peut s'écrire :
(384) go = glc × go
étant un élément de la composante orthochrone du groupe.
Schématiquement :
(385)
À gauche : l'espace des mouvements, avec deux demi-espaces, correspondant à
(z i > 0) mouvements (matière)
et
(z i > 0) mouvements (antimatière)
Entre les deux : les mouvements (z i = 0) (photons).
...À droite, le groupe à quatre composantes. Tous sont orthochrones. Tous les mouvements correspondent à une énergie positive (ci-dessous, espace des impulsions).
Appelons les éléments ( l = - 1 ) « anti-éléments ».
Nous avons représenté l'anti-élément du l-commutateur.
...Les éléments orthochrones normaux transforment une impulsion correspondant à un mouvement à énergie positive J1+ en un autre mouvement à énergie positive J2+.
...Mais les anti-éléments transforment le mouvement de matière à énergie positive en mouvement d'antimatière à énergie positive ( J1+ -----> J3+ ) dans l'espace des impulsions. Le point figuratif se trouve dans le quadrant correspondant à l'antimatière.
Les chemins correspondants sont représentés dans l'espace d'évolution
(385b)
Le calcul de l'action coadjointe du groupe
(386)
sur son espace des impulsions donne :
(387)
voir :
J.P. Petit et P. Midy : "Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des impulsions. 2 : Description géométrique de l'antimatière de Dirac". Physique Géométrique B, 2 , 1998.
Index Théorie des Groupes Dynamiques
Version originale (anglais)
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A geometrical definition of anti-matter.
...As mentioned by Souriau in 1964 in "Géometry and Relativité", Editions Hermann, chapter VII "La Relativité à Cinq Dimensions" ( the five dimensional relativity ), page 413, "the inversion of the fifth dimension corresponds to the charge conjugation".
...It is true if the anti-matter corresponds to Dirac's definition. Let us give an a priori geometric definition of anti-matter. We can figure space with dimensions :
(368)
This can be figured schematically as follows, with fibered space-time :
(369)
...We decide that matter's movements correspond to positive z i 's values and anti-matter's movements to negative ones, which corresponds to :
(370)
It is easy to modify the group in order to integrate this in it.
(371)
This becomes a four-components group ( l = ± 1 ) x 2 ( the extended orthochron group owns two connex components).
The component ( l = +1 ) is a sub-group.
...Clearly, the ( l = - 1 ) elements change the signs of the additional variables. We decide that it corresponds to matter anti-matter duality, on pure geometric grounds.
Let :
(380)
Then we can write, in a more compact way :
(381)
**l **= 1 corresponds to the orthochron sub-group.
(382)
Introduce what we will call a : " l-commuter " :
(383)
It belongs to the second component. But any element of this second component can be written :
(384) go = glc x go
being an element of the orthochron component of the group.
Schematically :
(385)
Left : the movement space, with two half-spaces, corresponding to
(z i > 0) movements ( matter )
and
(z i > 0) movements ( anti-matter )
Between the two the : z i = 0 movements ( photons ).
...Right, the four components group. All are orthochron. All movements correspond to positive energy ( below, momentum space ).
Call the ( l = - 1 ) elements "anti-elements".
We have figured the l-commuter anti-element.
...Normal orthochron elements transform a momentum corresponding to a positive energy movement J1+ into another positive energy movement J2+.
...But anti-elements transform positive energy matter's movement into positive energy anti-matter's movement ( J1+ -----> J3+ ) in momentum space. The figurative point is in the quarter which corresponds to anti-matter.
The corresponding paths are figured in the evolution space
(385b)
The calculation of the coadjoint action of the group
(386)
on its momentum gives :
(387)
see :
J.P.Petit and P.Midy : "Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's anti-matter". Geometrical Physics B, 2 , 1998.