groups and physics coadjoint action momentum

groups and physics coadjoint action momentum

(91)

Cette action coadjointe peut s'écrire sous forme matricielle.

La matrice du groupe de Poincaré est :

(92)

sa transposée est :

(93)

Considérons la matrice :

(94)

C'est à dire que nous allons mettre le moment

(95) Jp = { M , P }

sous forme matricielle et formons le produit :

(96)

(97)

(98)

que je peux identifier à la matrice :

(99)

Jp est donc le moment du groupe de Poincaré, mis sous forme matricielle. Et l'action coadjointe s'écrit :

(100)

A titre d'exercice, le lecteur pourra, en s'appuyant sur les axiomes, vérifier que c'est bien une *action *.

Le moment du groupe de Poincaré peut être explicité comme suit :

(101)

Cette matrice est antisymétrique ( ce qui entraîne que sa diagonale principale est constituée par des zéro). **M **est la matrice :

(102)

Explicitons-là :

(103)

C'est bien une matrice antisymétrique, hypothèse formulée dès le départ, qui dépend de six paramètres :

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

Les trois derniers ( fx , fy , fz) sont les composantes d'un vecteur, le vecteur-**passage f **:

(105)

Les trois premiers ( lx , ly , lz) sont les composantes indépendantes d'une matrice antisymétrique (3,3), le **tournoiement l **:

(106)

Ainsi :

(107)

Le vecteur P est le* quadri-vecteur impulsion-Energie *:

(108)

On peut alors expliciter le moment du groupe de Poincaré, dans toute sa généralité :

(109)

On vérifie que c'est bien un objet à dix composantes (nombre égal à celui des dimensions du groupe).

(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}