f4202 Géométrisation de la matière et de l’antimatière par l’action coadjointe d’un groupe sur son espace des impulsions. 1 :
Charges comme composantes scalaires supplémentaires de l’impulsion d’un groupe agissant sur un espace à 10 dimensions.
Définition géométrique de l’antimatière. (p2) – Une troisième composante :
(14)
construite à partir de la composante $L_t$ du groupe de Lorentz.
– et une quatrième :
(15)
construite à partir de la composante $L_{st}$ du groupe de Lorentz.
Un groupe agit sur son espace des impulsions [1]. Désignons par $J_p$ l’espace des impulsions associé au groupe de Poincaré.
…Chaque élément particulier J$_p$ de $J_p$ correspond à un mouvement particulier d’un point massique relativiste, décrit par ce groupe. On peut calculer l’action coadjointe du groupe sur l’impulsion [1].
L’impulsion est un ensemble de 10 composantes (égales à la dimension du groupe). Ces composantes sont :
(16) J$_p$ = { $E$, $p_x$, $p_y$, $p_z$, $f_x$, $f_y$, $f_z$, $s_x$, $s_y$, $s_z$ } = { $E$, p, f, s }
$E$ est l’énergie.
p est le vecteur impulsion :
(17)
f est le vecteur de passage [1].
(18)
s est une matrice antisymétrique (3,3), dont les composantes indépendantes sont
(19)
{ $s_x$, $s_y$, $s_z$ }
L’impulsion peut être disposée sous forme matricielle [1], avec :
(20)
et :
(21)
Introduisons le quadrivecteur impulsion-énergie :
(22)
(23)
ou encore :
(24)
Ensuite, l’action coadjointe du groupe de Poincaré peut être écrite sous forme matricielle :
(25)
Plus explicitement :
(26)
…Il est intéressant d’étudier l’effet des différentes composantes du groupe de Poincaré complet sur les composantes de son espace des impulsions. On peut se concentrer sur des matrices particulières :
(27)
A est la matrice de Lorentz associée.
L’action coadjointe donne :
(28)
(29)
où $I_4$ est la composante neutre du groupe de Poincaré complet.
L’action coadjointe correspondante est :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
— qui inverse l’espace. L’action coadjointe correspondante est :
$E \mapsto E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— qui inverse le temps. L’action coadjointe correspondante est :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ p ; f $\mapsto$ –f ; s $\mapsto$ s
— qui inverse à la fois l’espace et le temps. L’action coadjointe correspondante est :
$E \mapsto$ –$E$ ; p $\mapsto$ –p ; f $\mapsto$ f ; s $\mapsto$ s
Comme le souligne J.M. Souriau [1], les deux composantes
\begin{pmatrix} E \ \mathbf{p} \end{pmatrix}
s’accompagnent de l’inversion de l’énergie $E \mapsto$ –$E$, ce qui implique l’inversion de la masse $m \mapsto$ –$m$.
Définissons les ensembles de matrices suivants :
(30)
Version originale (anglais)
f4202 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. (p2) - A third component :
(14)
built with the component Lt of the Lorentz group.
- and a fourth one :
(15)
built with the component Lst of the Lorentz group.
A group acts on its momentum space [1]. Call Jp the momentum space associated to the Poincaré group.
...Each peculiar moment Jp Jp, is a peculiar movement of the relativistic mass point, described by this group. On may compute the caodjoint action of the group on the momentum [1].
The momentum is a set of 10 components (equal to the dimension of the group). These components are :
(16) Jp** **= { E , px , py , pz , fx , fy , fz , sx , sy , sz } = { E , p , **f **, **s **}
E is the energy.
p is the impulsion vector :
(17)
f is the passage vector [1].
(18)
** ** s is an antisymmetric (3,3) matrix, whose independant components are
(19)
{ sx , sy , sz }
The momentum can be arranged into a matrix form [1], with :
(20)
and :
(21)
Introduce the impulsion-Energy four-vector :
(22)
(23)
or :
(24)
Then the coadjoint action of the Poincaré group can be written into a matrix form :
(25) )
More explicitely :
(26)
...It is interesting to study the impact of the different components of the complete Poincaré group on the components of its momentum. We can concentrate on peculiar matrixes :
(27)
A is the associated Lorentz matrix.
The coadjoint action gives :
(28)
(29)
and is the neutral component of the complet Poincaré group.
The corresponding coadjoint action is : E --> E ; **p **--> p ; f ---> f ; s ----> s
which reverses space. The corresponding coadjoint action is :
E --> E ; **p **--> - p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> p ; f ---> - f ; s ----> s
which reverses both space and time. The corresponding coadjoint action is :
E --> - E ; **p **--> - p ; f ---> f ; s ----> s
As pointed out by J.M.Souriau [1] , The two components
go with the inversion of the energy E ----> - E , so that it implies the inversion of the mass m ---> - m
Define the following sets of matrixes :
(30) .