f4203 Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 1 : Charges comme composantes scalaires supplémentaires du moment d'un groupe agissant sur un espace à 10 dimensions. Définition géométrique de l'antimatière. (p3) Le groupe de Poincaré complet est :
(31) Gp = Gn U Gs U Gt U Gst
La composante neutre Gn est le premier sous-groupe. Le groupe orthochrone [1] :
(32) Go = Gn U Gs
est également un sous-groupe du groupe de Poincaré.
La partie antichrone du groupe [1] :
(33) Gac = Gt U Gst n'est pas un groupe. Évidemment :
(34) Gp = Go U Gac
...Comme indiqué dans [1], la présence des éléments de Gac = Gt U Gst peut produire des particules de masse négative, comme des mouvements particuliers de la matière, se déroulant à l'envers dans le temps. Dans son livre [1], J.M. Souriau propose deux solutions :
-
Soit on décide simplement que les masses négatives ne peuvent exister.
-
Soit le groupe de Poincaré est limité à son sous-groupe orthochrone.
(35) Go = Gn U Gs
2) Extension centrale du groupe de Poincaré. (36)
est l'extension centrale du groupe de Poincaré, construite à partir du sous-groupe orthochrone. L'action correspondante est : (37)
z est une dimension supplémentaire, une cinquième dimension. La dimension du groupe devient 11 et le moment acquiert une composante supplémentaire correspondante :
(38) Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
L'action coadjointe donne : (39)
...Le sens physique de cette composante 11e c n'a jamais été clairement compris. Grâce à sa méthode de quantification géométrique, J.M. Souriau montre que le spin doit être quantifié [1]. En choisissant un système de coordonnées où le passage devient nul, et en ne considérant que les mouvements selon z, la matrice de moment Jp devient :
(40)
où E est l'énergie, p le module du vecteur impulsion et s le spin.
Les photons correspondent à
(41)
avec deux hélicités distinctes : droite et gauche (polarisation).
Les neutrinos correspondent à :
(42)
avec également deux hélicités distinctes.
Les particules de masse non nulle comme le proton, l'électron, le neutron, correspondent à :
(43)
avec : (44)
(45))
...À partir du groupe de Poincaré étendu (36), par la méthode de Kostant-Kirilov-Souriau, on peut dériver [1] l'équation relativiste quantique de Klein-Gordon. De même [1], le groupe de Bargmann non relativiste (1960) donne l'équation de Schrödinger non relativiste.
Et l'antimatière ?
...Dans un ouvrage antérieur [2], J.M. Souriau a développé la relativité générale en cinq dimensions, en ajoutant une dimension supplémentaire z à l'espace-temps ( x , y , z , t )
...Ensuite, référence [2], Chapitre VII, page 413, il identifie l'inversion de la cinquième dimension ( z ---> - z ) à la conjugaison de charge (ou inversion de charge, ou symétrie C), transformant la matière en antimatière.
Version originale (anglais)
f4203 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. (p3) The complete Poincaré group is :
(31) Gp = Gn U Gs U Gt U Gst
The neutral component Gn is the first sub-group. The orthochron group [1] :
(32) Go = Gn U Gs
is also a sub-group of the Poincaré group.
The antichron part of the group [1] :
(33) Gac = Gt U Gst is not a group. Obvioulsy :
(34) Gp = Go U Gac
...As pointed out in [1] the presence of the elements of Gac = Gt U Gst may produce negative mass particles, as peculiar movements of matter, runing backward in time. In his book [1] J.M.Souriau suggests two solution :
-
Either one simply decides that negative masses cannot exist.
-
Either the Poincaré group is limited to its orthochron subgroup.
(35) Go = Gn U Gs
2) The central extension of the Poincaré group. (36)
is the central extension of the Poincaré group, built from the orhochron sub-group. The corresponding action is : (37)
z is an additional dimension, a fifth dimension. The dimension of the group becomes 11 and the momentum gets a corresponding extra component :
(38) Jpe = { c , M , P } = { c , Jp }
The coadjoint action gives : (39)
...The physical meaning of this 11th component c was neven clearly undestood. Through his geometric quantification method, J.M.Souriau shows than the spin must be quanticized [1]. Choosing a coordinate system in which the passage becomes zero, and considering only z-motions, the Jp the momentum matrix becomes :
(40)
where E is the energy, p the modulus of the vector impulsion and s the spin.
Photons correspond to
(41)
with two distinct helicities : right and left (polarization).
Neutrinos correspond to :
(42)
with also two distinct helicities.
Non zero mass particles like proton, electron, neutron, correspond to :
(43)
with : (44)
(45))
...From the extended Poincaré group (36), through the Kostant-Kirilov-Souriau method one can derive [1] the relativistic quantum Klein-Gordon equation. Similarly [1] the non-relativist Bargmann group (1960) gives the non-relativistic Schödinger equation.
What about antimatter ?
...In a former book [2] J.M. Souriau developped general relativity in five dimensions, adding an extra dimension z to space-time ( x , y , z , t )
...Then, reference [2], Chater VII , page 413, he identifies the inversion of the fifth dimension ( z ---> - z ) to the charge conjugation ( or charge inversion, or C-symmetry ) transforming matter into anti-matter.