f4302 Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 2 : Description géométrique de l'antimatière de Dirac (p2)
3) Action coadjointe sur l'espace des moments.
Pour rendre les choses plus claires, nous pouvons les illustrer graphiquement.
Fig.1** : Le groupe orthochrone étendu à quatre composantes.** Les composantes (l=1) forment un sous-groupe. En dessous, l'espace des moments avec ses trois sous-ensembles, représentant les mondes des particules, des antiparticules et des photons. Espace des mouvements à deux secteurs associés.
...Si nous choisissons un élément issu du sous-groupe (l = 1), nous retrouvons les schémas présentés dans l'article précédent [1].
Examinons l'effet de l'opérateur orthochrone goc sur le moment et le mouvement associé.
**Fig.2 **: Action coadjointe de l'opérateur orthochrone goc
. **Fig.3 **: Action coadjointe de l'opérateur orthochrone goc sur le photon : aucune, car il est son propre antiparticule.
Introduisons maintenant deux matrices orthochrones couplées :
(20) go et goc x go
**Fig.4 ** : Action coadjointe de l'opérateur orthochrone goc et des matrices orthochrones conjuguées go et goc x go
Conclusion.
...Nous partons de l'article précédent [1], où nous avons introduit un groupe 16-dimensionnel agissant sur son espace des moments 16-dimensionnel et sur un espace des mouvements 10-dimensionnel. Comme dans [1], nous suivons l'idée fondamentale : l'antimatière correspond à une z-Symétrie, à l'inversion des variables supplémentaires. Nous définissons une matrice, appelée opérateur orthochrone, qui réalise la z-Symétrie. Ensuite, nous construisons un groupe contenant un tel élément. Nous obtenons un groupe à quatre composantes, composé des éléments go du sous-groupe (l = 1), et des matrices conjuguées goc x go, formées par l'action de l'opérateur orthochrone goc sur ce sous-groupe. L'antimatière devient alors un autre mouvement de la matière, piloté par l'action coadjointe du groupe.
Références.
[1] J.P. Petit & P. Midy : Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 1 : Charges comme composantes scalaires supplémentaires du moment d'un groupe agissant sur un espace 10-dimensionnel. Définition géométrique de l'antimatière. Physique Géométrique B, 1, mars 1998.
[2] J.M. Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 et Birkhauser Ed. 1997.
[3] J.M. Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[4] P.M. Dirac : "Une théorie des protons et des électrons", 6 décembre 1929, publiée dans les comptes rendus de la Royal Society (Londres), 1930 : A 126, pp. 360-365
Remerciements.
Ce travail a été soutenu par le CNRS français et par la société Brevets et Développements Dreyer, France.
Déposé sous pli cacheté à l'Académie des Sciences de Paris, 1998.
Copyright Académie des Sciences de France, Paris, 1998.
Version originale (anglais)
f4302 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's antimatter (p2)
3) Coadjoint action on momentum space.
In order to make the things clearer we can graphically figure it.
Fig.1** : The four component orthochron extended group.** The (l=1) components form a a sub-group. Below, the momentum space with its three sub-sets, figuring partcles's, antiparticles' and photons' worlds. Associated two-sectors movement space.
...If we choose an element picked from the ( l = 1 ) sub-group we refind the schemas presented in the precedent paper [1].
Examine the impact of the orthochron commuter goc on the moment and associated movement.
**Fig.2 **: Coadjoint action of the orthochron commuter goc
. **Fig.3 **: Coadjoint action of the orthochron commuter goc on the photon : none, for it is its own antiparticle.
Now, introduce two coupled orthochron matrixes :
(20) go and goc x go
**Fig.4 ** : Coadjoint action of the orthochron commuter goc and conjugated orthochron matrixes go and goc x go
Conclusion.
...We start from the precedent paper [1], where we introduced a 16-dimensional group acting on its 16-dimensions momentum space and 10-dimensional movement space. As in [1] we follow the basic idea : antimatter corresponds to a z-Symmetry, to the inversion of the additional variables. We define a matrix, called orthochron commuter, which achieves z-Symmetry. Then we build a group which contains such element. We get a four components group, composed by the elements go of the ( l = 1 ) sub-group, and by conjugated matrixes goc x go , formed through the action of the orthochron commuter goc on this sub-group. The antimatter becomes another movement of matter, driven by coadjoint action of the group.
References.
[1] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. Geometrical Physics B, 1 , march 1998.
[2] J.M.Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 and Birkhauser Ed. 1997.
[3] J.M.Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[4] P.M.Dirac : "A theory of protons and electrons", Dec. 6th 1929, published in proceedings of Royal Society ( London), 1930 : A **126 **, pp. 360-365
Acknowledgements.
This work was supported by french CNRS and Brevets et Développements Dreyer company, France.
Déposé sous pli cacheté à l'Académie des Sciences de Paris, 1998.
Copyright french Academy of Science, Paris, 1998.