f4501 Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 4 : Le groupe des jumeaux. Description géométrique de l'antimatière de Dirac.
Interprétations géométriques de l'antimatière après Feynman et le théorème dit CPT. . Jean-Pierre Petit et Pierre Midy **Observatoire de Marseille ** **France. ** ---
Résumé.
À partir du travail de référence [3], nous modifions le modèle afin d'éviter les rencontres entre particules de masse positive et négative. La solution consiste à construire un espace à deux plis (F,F*) dix-huit dimensions comme quotient du groupe par son sous-groupe orthochrone.
Nous obtenons alors deux espaces aux flèches du temps opposées.
Nous étudions l'impact des différentes composantes du groupe sur les espaces des moments et du mouvement. On montre que la dualité matière-antimatière se produit dans les deux plis, dans les deux univers. Ce travail apporte une nouvelle compréhension de l'antimatière, à travers des outils géométriques. Ainsi, l'antimatière de Dirac est l'antimatière de notre propre pli. La matière du second pli est CPT-symétrique par rapport à la nôtre. Le PT-symétrique d'une particule de matière appartenant à notre pli est l'antimatière de l'autre pli. Les particules matière et antimatière de notre univers ont une masse et une énergie positives. Les particules matière et antimatière du second pli ont une masse et une énergie négatives.
1) Introduction.
Dans un article antérieur [1], nous avons introduit une définition géométrique de l'antimatière, à travers une symétrie z. Des points de masse chargés sont supposés se déplacer dans un espace dix-dimensionnel, divisé en deux secteurs :
{ z i > 0 } : et { z i < 0 }. Le premier correspond au mouvement de la matière, le second au mouvement de l'antimatière.
En passant, les photons suivent la surface { z i = 0 }.
Cela ressemble à la caverne de Platon. Le spectacle se déroule dans une salle dix-dimensionnelle, et à l'intérieur d'une caverne quadridimensionnelle appelée espace-temps, nous observons des ombres quadridimensionnelles, des mouvements quadridimensionnels.
Dans [1], nous introduisons un groupe qui est une extension de la partie orthochrone du groupe de Poincaré. Il permet de décrire les charges des particules en termes de composantes supplémentaires de leurs moments. Dans l'article [2], ce groupe est dupliqué par une symétrie z, ce qui donne une description géométrique de l'antimatière de Dirac. Cette dernière possède une masse et une énergie positives.
Étape suivante, article [3], nous décidons d'inclure des éléments antichrones dans le groupe. Nous obtenons alors des symétries incluant la symétrie T, c’est-à-dire la symétrie PT et la symétrie CPT. Nous trouvons que le PT-symétrique d'une particule de matière est une antiparticule, comme le suggère Feynman. Nous trouvons que le CPT-symétrique d'une particule de matière est aussi une particule de matière, comme l'affirme le dit "théorème CPT". Mais, à partir de l'action coadjointe du groupe sur les composantes du moment, nous trouvons que ces deux objets ont une masse et une énergie négatives. Il n'est donc plus possible, comme le suggère Feynman, d'identifier la symétrie PT et la symétrie C. De même, la symétrie CPT est différente de l'identité, car elle inverse la masse. Comme indiqué dans [3], une solution, proposée par le mathématicien J.M. Souriau [4], est d'abandonner la partie antichrone des groupes dynamiques de Lorentz et de Poincaré. Mais alors les symétries PT et CPT disparaissent.
Dans la suite, nous proposons une autre solution.
2) Construction d'un groupe agissant sur un espace à deux plis.
D'après [3], l'action de notre groupe à 16 dimensions sur un espace à dix dimensions correspond à :
(1) (4501)
et l'action coadjointe correspondante est :
(2) (4502)
Voir les détails calculatoires en annexe.
Nous construisons l'espace à deux plis comme quotient du groupe par son sous-groupe orthochrone. D'après (1), un point de l'espace est défini par :
(3) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , x , y , z , t }
Introduisons un indice de pli f = ± 1
Un point M du premier pli, appelé F, est défini par :
(4) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 5, x , y , z , t , f = +1 }
et le point conjugué M*, appartenant au second pli F*, par :
(5) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 5 , x , y , z , t , f = -1 }
Nous pouvons écrire la nouvelle action :
(6) (4506)
L'action coadjointe sur l'espace des moments reste inchangée. Mais l'interprétation des résultats est différente. Les mouvements à énergie négative se produisent dans un autre pli. Les particules à énergie positive et négative ne peuvent pas se rencontrer, car elles évoluent dans des espaces jumeaux à dix dimensions distincts. Fig.1 (45f1) : Deux secteurs de l'espace des moments. Fig.2 **** : Symétries associées 
Version originale (anglais)
f4501 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's antimatter.
Geometrical interpretations of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. . Jean-Pierre Petit and Pierre Midy **Observatory of Marseille ** **France. ** ---
Abstract.
Starting from the work of reference [3] we modify the model, in order to avoid encounters between positive and negative mass particles. The solution is to build a two-ten-dimensional folds (F,F*) as the quotient of the group by its orthochron sub-group.
Then we get two spaces with opposite arrows of time.
We study the impact of the different components of the group on momentum and movement spaces. One shows that the duality matter-antimatter occurs in boths folds, in both universes. This work gives a new insight on antimatter, through geometrical tools.For an example Dirac's antimatter is the antimatter of our own fold. The matter of the second fold is CPT-symmetrical with respect to ours.The PT-symmetrical of a matter particle that belongs to our fold is the antimatter of the other fold. Matter and antimatter particles of our universe own positive mass and energie.Matter and antimatter particles of the second fold own negative mass and energy.
1) Introduction.
In a former paper [1] we have introduced a geometrical definition of antimatter, through a z-symmetry. Charged mass-points are supposed to move in a ten-dimensional space, with two sectors :
{ z i > 0 } : and { z i < 0 }. The first refers to the movement of matter and the second to the movement of antimatter.
By the way, photons follows the { z i = 0 } surface.
It looks like Plato's cavern. The play is supposed to take place in a ten dimensional theater and, inside a four dimensional cavern called space time we observe 4d shadows, 4d movements.
In [1] we introduce a group which is an extension of the orthochron part of the Poincaré group. It makes possible to describe the charges of the particles in terms of additional components of their moment . In the paper [2] the group is duplicated, through a z-symmetry, which gives a geometric description of Dirac's antimatter. This last owns positive mass and energy.
Next step, paper [3], we decide to include antichron elements in the group. Then we get symmetries including T-symmetry, i.e. PT-symmetry and CPT-symmetry. We find that the PT-symmetrical of a particle of matter is an antiparticle, as suggested by Feynmann. We find that the CPT-symmetric of a particle of matter is a particle of matter too, as asserted by the so-called "CPT-theorem". But, from the coadjoint action of the group on the momentum components we find that these two own negative masses and energies. Then it is no longer possible, as suggested by Feynmann, to identify the PT-symmetry and the C-symmetry. Similarly the CPT-symmetry is different from identity, for it reverses the mass. As pointed out in [3] a solution, suggested by the mathematician J.M.Souriau [4] is to give up the antichron part of the Lorentz and Poincaré dynamical groups. But PT and CPT symmetries dissapear.
In the following we suggest another solution.
2) Building a group acting on a two folds space.
From [3] the action of our 16-dimensions group on a tend-dimensional space corresponds to :
(1) (4501)
and the corresponding coadjoint action is :
(2) (4502)
See computational details in the annex.
We build the two-folds space as the quotient of the group by its orhochron sub-group. From (1) a point of space is defined by :
(3) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , x , y , z , t }
Introduce a fold indix f = ± 1
The a point M of the first fold, called F, is defined by :
(4) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 5, x , y , z , t , f = +1 }
and the conjugated poit M*, which belongs to the second fold F*, by :
(5) { z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 5 , x , y , z , t , f = -1 }
We can write the new action :
(6) (4506)
The coadjoint action on the momentum space is unchanged. But the interpretation of the results is different. Negative energy movements occurs in another fold. Positive and negative energy particles cannot meet, for the move in distinct ten-dimensional twin spaces. Fig.1 (45f1): Two sectors momentum space. Fig.2 **** : Associated symmetries