f4505 Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 4 : Le groupe jumeau. Description géométrique de l'antimatière de Dirac. Interprétations géométriques de l'antimatière après Feynman et le théorème dit CPT. (p5)
L'équation (16) est l'action sur l'élément de l'algèbre de Lie , correspondant au groupe . L'action coadjointe est l'adjointe de cette action et repose sur l'invariance d'un scalaire. Appelons S ce scalaire à partir duquel on calcule l'action coadjointe du groupe sur son moment. Nous calculons l'action coadjointe du groupe g3 à partir du scalaire :
(17) c dJ + S
L'action coadjointe du groupe g3 sur son moment est alors :
(18) (4529)
Le moment du groupe g3 est :
(19) J = { c , moment du groupe G }
L'extension du groupe ajoute une composante c au moment, qui obéit à (20). En particulier, si , c'est-à-dire :
(20) (4531)
son action coadjointe est :
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
Les équations (22) + (23) correspondent à l'action coadjointe du groupe de Poincaré lorsque L est la composante neutre du groupe de Lorentz.
Nous savons que nous pouvons mettre le moment Jp du groupe de Poincaré gp dans une matrice antisymétrique :
(24) (4534)
Son action sur ce moment est :
(25) (4535)
Nous pouvons alors écrire :
(26) **J **= { c , Jp }
et :
(27) (4536) c' = l m c
La dimension du groupe de Poincaré est dix. La dimension de ce groupe étendu est onze, en raison de l'ajout de la nouvelle variable f . ( l = ± 1 ) et ( m = ± 1 ) ne représentent pas de nouvelles dimensions du groupe.
Cette méthode peut être étendue autant de fois qu'on le souhaite. Considérons la matrice suivante :
(28) (4537)
Le groupe de Poincaré possède dix dimensions. L'ensemble ( f1 ,f2 , f3 , f4 , f5 , f5 ) ajoute six dimensions supplémentaires. Les scalaires ( l1 ,l2 , l3 , l4 , l5 , l5 ) sont fixés et ne correspondent pas à de nouvelles dimensions.
L'action coadjointe du groupe sur son moment
(29) J = { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , Jp }
est :
(30) (4538) c'i = li m ci avec i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
Références.
[1] J.P.Petit & P.Midy : Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 1 : Charges comme composantes scalaires supplémentaires du moment d'un groupe agissant sur un espace à 10 dimensions. Définition géométrique de l'antimatière. Physique Géométrique B , 1 , mars 1998.
[2] J.P.Petit & P.Midy : Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 2 : Description géométrique de l'antimatière de Dirac. Physique Géométrique B, **2 **, mars 1998.
[3] J.P.Petit et P.Midy : Géométrisation de la matière et de l'antimatière par l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments. 3 : Description géométrique de l'antimatière de Dirac. Une première interprétation géométrique de l'antimatière après Feynman et le théorème dit CPT. Physique Géométrique B , 3 , mars 1998.
[4] J.M.Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 et Birkhauser Ed. 1997.
[5] J.M.Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[6] P.M.Dirac : "Une théorie des protons et des électrons", 6 décembre 1929, publiée dans les comptes rendus de la Royal Society (Londres), 1930 : A **126 **, pp. 360-365
[7] R.Feynman : "La raison des antiparticules" dans "Les particules élémentaires et les lois de la physique". Presses de l'Université de Cambridge, 1987.
Remerciements.
Ce travail a été soutenu par le CNRS français et par la société Brevets et Développements Dreyer, France.
Déposé sous pli cacheté à l'Académie des Sciences de Paris, 1998.
Copyright Académie des Sciences de France, Paris, 1998.
Version originale (anglais)
f4505 Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 4 : The Twin group. Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical interpretations of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. (p5)
The equation (16) is the action on the Lie algebra element , corresponding to the group .The coadjoint action is the dual of this action and is based on the invariance of a scalar. Call S this scalar from which one computes the coadjoint action of the group on its momentum. We compute the coadjoint action of the group g3 from the scalar :
(17) c dJ + S
Then the coadjoint action of the group g3 on its momentum is :
(18) (4529)
The moment of the group g3 is :
(19) J = { c , momentum of the group G }
The extension of the group adds a component c to the moment, which obeys (20). In particular, if , i.e :
(20) (4531)
its coadjoint action is :
(21) c' = l m c
(22) (4532)
(23) (4533)
The equations (22) + (23) identifies to the coadjoint action of the Poincaré group when L is the neutral component of the Lorentz group.
We know that we can put the momentum Jp of the Poincaré group gp into an antisymmetric matrix :
(24) (4534)
The its action on this momentum is :
(25) (4535)
Then we can write :
(26) **J **= { c , Jp }
and :
(27) (4536) c' = l m c
The Dimension of the Poincaré group is ten. The dimension of this extended group is eleven, due to adding the new variable f . ( l = ± 1 ) and ( m = ± 1 ) are not new dimensions of the group.
This method can be extended as many times as one wants. Consider the following matrix :
(28) (4537)
The Poincaré group depends owns ten dimensions. The set ( f1 ,f2 , f3 , f4 , f5 , f5 )
adds si more dimensions. The scalar ( l1 ,l2 , l3 , l4 , l5 , l5 ) are fixed and do not correspond to new dimensions.
The coadjoint action of the group on its momentum
(29) J = { c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 , Jp }
is :
(30) (4538) c'i = li m ci with i = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
References.
[1] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of antimatter. Geometrical Physics B , 1 , march 1998.
[2] J.P.Petit & P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical description of Dirac's antimatter. Geometrical Physics B, **2 **, march 1998.
[3] J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's antimatter. A first geometrical interpretation of antimatter after Feynmann and so-called CPT-theorem. Geometrical Physics B , 3 , march 1998.
[4] J.M.Souriau : Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod-France Ed. 1972 and Birkhauser Ed. 1997.
[5] J.M.Souriau : Géométrie et relativité. Ed. Hermann-France, 1964.
[6] P.M.Dirac : "A theory of protons and electrons", Dec. 6th 1929, published in proceedings of Royal Society ( London), 1930 : A **126 **, pp. 360-365
[7] R.Feynman : "The reason for antiparticles" in "Elementary particles and the laws of physics". Cambridge University Press 1987.
Acknowledgements.
This work was supported by french CNRS and Brevets et Développements Dreyer company, France.
Déposé sous pli cacheté à l'Académie des Sciences de Paris, 1998.
Copyright french Academy of Science, Paris, 1998.