Come trasformare una superficie Cross Cap
in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta)
passando per la superficie romana di Steiner.
Italiano
: Andrea Sambusetti, università di Roma
**27 settembre
- 25 ottobre 2003**
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Questo, come direbbe Kipling comporta
"grande astuzia e forza magica".
Sono in pensione ma, mi sento di dirlo,
faccio sempre un po' di ricerca "malgrado me", come altri, nel loro
tempo libero, sferruzzano. Se avete pazienza e vi procurate dei cartoncini
bristol da 200 gr. a quadretti, potrete ricostruire voi stessi tutti questi
modelli. Il mio amico Christophe Tardy sta costruendo, a partire da essi,
un'animazione che non dovrebbe venire male.
La superficie Cross Cap apparir� nei
disegni che seguiranno, cos� come la superficie romana di Steiner. Ma potete
scoprirle andando alla sezione Virtual Reality,
per vedere la quale � necessario scaricare il programma Cosmoplayer sul vostro
computer. Fatelo, � veramente carino. Tutto si gioca attorno ai "punti
cuspidali". Questi punti si formano in modo naturale quando montate a
cavallo e stringete forte le gambe. Il corpo del cavallo si trover� allora
schiacciato lungo un segmento. La coscia destra si attaccher� lungo quel segmento
alla sua spalla destra, mentre la coscia sinistra alla spalla sinistra. Quanto
al punto cuspidale, non cercatelo: ci siete semplicemente seduti sopra.
Ma tutto ci� � disegnato... rotondetto.
Passiamo ad una "rappresentazione poliedrica" del punto cuspidale
(cos� come un cubo o un tetraedro possono essere considerati delle rappresentazioni
poliedriche di una semplice sfera). Il tratto in grassetto rappresenta la
"curva di autointersezione", che finisce nel punto cuspidale C.
Stampate queste tavole, � meglio. Nel
seguito vi servir� saper riconoscere un punto cuspidale in "configurazioni
differenti" e non confonderlo con un semplice vertice del poliedro. Costruite,
se ve la sentite, questi diversi oggetti con del cartone, capirete meglio.
Qui di seguito abbiamo un'operazione essenziale, detta "creazione-scioglimento
di una coppia di punti cuspidali". Il primo disegno rappresenta una specie
di cilindro che si autointerseca lungo il segmento disegnato in grassetto,
la cui sezione ricorda la lettera greca gamma, rovesciata. Deformiamo quindi
questa superficie "pizzicando" il tubo la cui sezione assomiglia
ad una "lacrima rovesciata". Cos� facendo, facciamo degenerare questa
"lacrima" in un punto S. Dopodich�, questo punto si sdoppia
dando luogo a due punti cuspidali. Questa � l'operazione di creazione di una
coppia di punti cuspidali. L'operazione opposta, al contrario, distrugge due
punti cuspidali. Subito sotto trovate la versione poliedrica di tale operazione.
Qui di seguito ecco un'altra rappresentazione
poliedrica della trasformazione, che assomiglia a quello che vedrete formarsi
nella superficie fra poco.
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