Transformation de la Crosscap en surface de Boy, via la surface Romaine de Steiner
Comment transformer une crosscap en surface de Boy (droite ou gauche, au choix) en passant par la surface Romaine de Steiner.
**27 septembre - 25 octobre 2003 **
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Tout cela, comme dirait Kipling est "grosse astuce et force magie".
Je suis à la retraite mais, pourrais-je dire, je fais toujours un peu de recherche, malgré moi, comme d'autre alignent des rangs de tricot. Si vous avez de la patience et que vous vous procuriez des feuilles de bristol en 200 gr quadrillé vous pourrez aisément reconstituer tous ces modèles. Mon ami Christophe Tardy est en train de constituer à partir de cela une animation, qui devrait être pas mal.
La Cross cap apparaîtra dans les dessins qui vont suivre, de même que la surface Romaine de Steiner. Mais vous pouvez les découvrir en allant dans la section Virtual Reality, qui nécessite que vous ayez téléchargé Cosmoplayer dans votre machine. Faites-le, c'est vraiment sympa. Tout se joue grâce aux "points cuspidaux". Ces points se forment tout naturellement quand vous montez sur un cheval que vous serrez les jambes d'un coup sec. Le corps du cheval se trouve alors écrasé selon un segment. Sa cuisse gauche se raccorde alors avec son épaule doite, tandis que sa cuisse droite se raccorde avec son épaule gauche. Quant au point cuspidal, ne le cherchez pas : vous êtres simplement assis dessus ;
Mais tout cela est ... rondouillard. Passons à une "représentation polyédrique" du point cuspidal (de même qu'un cube ou qu'un tétraèdre peuvent être considérés comme des représentations polyédriques d'une simple sphère). Le trait gras figure la "courbe d'auto-intersection", terminée d'ailleurs par le point cuspidal C.
Imprimez ces planches, cela vaudra mieux. Dans ce qui suivra il vous faudra reconnaître un point cuspidal dans "différentes configurations" et ne pas le confondre avec un simple sommet du polyèdre. Construisez si vous en avez le courage ces différents objets avec du carton, vous les comprendrez mieux. Ci-après nous avons une opération essentielle, dite de "création-décréation d'une paire de points cuspidaux". Le premier dessin représente une sorte de cylindre qui se recoupe lui-même selon le trait gras et dont la section évoque la lettre grecque gamma, à l'envers. On déforme alors cette surface en pinçant le tube dont la section a la forme d'une "larme à l'envers". Cette larme dégénère selon un point S. Puis ce point se dédouble en donnant deux points cuspidaux. C'est la création d'une paire. l'opération inverse fait s'annihiler deux points cuspidaux. En dessous vous trouvez la version polyédrique de l'opération.
Ci-après une autre représentation polyédrique de la transformation qui est proche de ce que vous verrez se produire dans la surface par la suite.
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