Comment transformer une crosscap
en surface de Boy (droite ou gauche, au choix) en passant par la surface Romaine
de Steiner.
27 septembre - 25 octobre 2003
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Tout cela, comme dirait Kipling est "grosse astuce
et force magie".
Je suis à la retraite mais, pourrais-je dire,
je fais toujours un peu de recherche, malgré moi, comme d'autre alignent
des rangs de tricot. Si vous avez de la patience et que vous vous procuriez
des feuilles de bristol en 200 gr quadrillé vous pourrez aisément
reconstituer tous ces modèles. Mon ami Christophe Tardy est en train
de constituer à partir de cela une animation, qui devrait être
pas mal.
La Cross cap apparaîtra dans les dessins qui vont
suivre, de même que la surface Romaine de Steiner. Mais vous pouvez les
découvrir en allant dans la section Virtual Reality,
qui nécessite que vous ayez téléchargé Cosmoplayer
dans votre machine. Faites-le, c'est vraiment sympa. Tout se joue grâce
aux "points cuspidaux". Ces points se forment tout naturellement quand
vous montez sur un cheval que vous serrez les jambes d'un coup sec. Le corps
du cheval se trouve alors écrasé selon un segment. Sa cuisse gauche
se raccorde alors avec son épaule doite, tandis que sa cuisse droite
se raccorde avec son épaule gauche. Quant au point cuspidal, ne le cherchez
pas : vous êtres simplement assis dessus ;
Mais tout cela est ... rondouillard. Passons à
une "représentation polyédrique" du point cuspidal (de
même qu'un cube ou qu'un tétraèdre peuvent être considérés
comme des représentations polyédriques d'une simple sphère).
Le trait gras figure la "courbe d'auto-intersection", terminée
d'ailleurs par le point cuspidal C.
Imprimez ces planches, cela vaudra mieux. Dans ce qui
suivra il vous faudra reconnaître un point cuspidal dans "différentes
configurations" et ne pas le confondre avec un simple sommet du polyèdre.
Construisez si vous en avez le courage ces différents objets avec du
carton, vous les comprendrez mieux. Ci-après nous avons une opération
essentielle, dite de "création-décréation d'une paire
de points cuspidaux". Le premier dessin représente une sorte de
cylindre qui se recoupe lui-même selon le trait gras et dont la section
évoque la lettre grecque gamma, à l'envers. On déforme
alors cette surface en pinçant le tube dont la section a la forme d'une
"larme à l'envers". Cette larme dégénère
selon un point S. Puis ce point se dédouble en donnant deux points
cuspidaux. C'est la création d'une paire. l'opération inverse
fait s'annihiler deux points cuspidaux. En dessous vous trouvez la version polyédrique
de l'opération.
Ci-après une autre représentation polyédrique
de la transformation qui est proche de ce que vous verrez se produire dans la
surface par la suite.
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