- Le choix d'un marqueur temporel.
Dans les coordonnées [t, r, q, j], correspondant à l'élément de ligne (25), le déterminant du tenseur métrique est : (34)
qui s'annule lorsque r devient nul. Toutefois, en 1924, Eddington [10] a montré que la nullité du tenseur métrique dépendait des coordonnées. Revenons tout d'abord à la forme initiale (35)
Insistons sur le fait que le choix du système de coordonnées est purement arbitraire, car le tenseur métrique, solution de l'équation tensorielle (36)
S = 0
est fondamentalement invariant par changement de coordonnées. Nous décidons que les particules suivent des géodésiques. Les coordonnées arbitrairement choisies donnent une signification physique à cette solution géométrique. Nous pouvons choisir x° = ct, c étant une constante. Mais nous pouvons choisir un autre système de référence. C'est à nous de choisir. La seule condition, pour un marqueur chronologique choisi x°, ou t, x, est que le tenseur métrique soit asymptotiquement euclidien : (37)
ou : (38)
comme exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. Rappelons qu'un tenseur métrique riemannien est euclidien si l'on peut trouver un système de coordonnées où la forme quadratique de l'élément de ligne a des coefficients constants. L'ensemble des signes constitue la signature. Si cette dernière est ( + - - - ), il s'agit d'un tenseur métrique de Minkowski. (39)
étant identifié à une distance élémentaire, il semble raisonnable d'imposer que le tenseur métrique soit asymptotiquement euclidien « à grande distance », quelle que soit la définition choisie pour une telle distance (r ou r, comme ci-dessus).
La définition du « temps cosmique » ou du « marqueur spatial » reste un choix entièrement libre. Inversement, nous ne pouvons pas modifier le temps propre s, ou plus précisément l'intervalle de temps Ds entre deux points donnés de la variété, car il est fondamentalement indépendant des coordonnées. En outre, on suppose que les particules peuvent se déplacer dans les deux sens le long d'une géodésique donnée.
**
Figure 12 : Le parcours d'une particule le long d'une géodésique donnée.
**
Le parcours d'une particule-test le long d'une géodésique est un phénomène. Une autre géodésique de la variété est supposée correspondre à un « observateur extérieur au repos ». Mais l'état de repos dépend du choix des coordonnées (x°, x1, x2, x3), qui est entièrement arbitraire.
Cet « observateur extérieur » est supposé se trouver dans une région de la variété où le tenseur métrique est euclidien ou quasi-euclidien, c’est-à-dire de la forme (37). Alors les conditions de repos signifient que (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Pour un tel observateur au repos, tout intervalle de temps propre s’identifie à l’intervalle de « temps cosmique » arbitrairement choisi : (41)
Ds = Dx°
...Le choix du temps cosmique étant purement arbitraire, l’évolution de la particule-test dans le temps dépend de ce choix. Considérons deux points A et B sur une géodésique donnée, supposée correspondre à un observateur extérieur. Ces points sont des événements espace-temps. Sur la figure 13, les lignes pointillées sont supposées correspondre à un temps cosmique constant x°.
**
Figure 13 : Un « observateur extérieur au repos », « considérant » l’évolution d’une particule-test sur une géodésique. Temps cosmique x°
**
Considérons maintenant un autre choix x pour le temps cosmique. Voir la figure 14.
**
Figure 14 : Un « observateur extérieur au repos », « considérant » l’évolution d’une particule-test sur une géodésique. Temps cosmique x **
Précisons que les lignes pointillées ne représentent pas les trajectoires des photons. Les photons se déplacent le long de géodésiques particulières, des géodésiques nulles, qui sont invariantes par changement de coordonnées.
Nous avons encore Ds(O) = Dx° = Dx, mais les intervalles Ds'(TP) et Ds"(TP) peuvent être très différents, bien qu’ils se réfèrent à la même géodésique, car les couples (A',B') et (A",B") peuvent différer. Fondamentalement, ils dépendent de la coordonnée temporelle choisie, ou du « marqueur temporel ».
- Le changement de coordonnées temporel d’Eddington et sa forme étendue.
Le changement de coordonnées suivant, introduit par Eddington en 1924, illustrant ce point, est : (42)
L’élément de ligne devient alors : (43)
Comme le terme gxx s’annule sur la sphère r = Rs, celle-ci devient une surface de décalage vers le rouge infini (comme dans l’élément de ligne classique de Schwarzschild). La matrice devient : (44)
dont le déterminant est : (45)
- r 4 sin2 q
et ne s’annule plus, quelle que soit la valeur de r. Pour des raisons qui seront expliquées plus tard, étendons ce changement de coordonnées à : (46)
Exprimé dans le système de coordonnées (x, r, q, j), l’élément de ligne devient : (47)
dont le déterminant a la même forme (44). Notons que le changement de coordonnées d’Eddington correspond à la valeur d = -1. Nous étudions les géodésiques à l’aide des équations de Lagrange, basées sur la fonction : (48)
avec :
En outre, à partir de l’expression de l’élément de ligne, nous avons classiquement pour les particules matérielles (ds ≠ 0) : (49)
Une équation de Lagrange donne : (50)
Considérons la géodésique plane q = p/2, ce qui donne : (51)
Le long d’une géodésique, par rapport au temps propre s, l’évolution de j est monotone. Une autre équation de Lagrange donne : (52)
c’est-à-dire : (53)
En combinant avec (49), de façon surprenante, d disparaît : (54)
Notons que si dr = 0 (vitesse nulle) lorsque r tend vers l'infini, cela correspond à l = 1. Lorsque r tend vers l'infini, d'après (53) : (55)
Si l ≥ 1, lorsque r tend vers l'infini, nous obtenons : (56)
avec
nous obtenons (57)
Dans le repère [r, j], nous retrouvons, pour les géodésiques non nulles (ds ≠ 0), l'expression différentielle classique : (58)
qui fournit les motifs des figures 7, 8 et 9. Nous pouvons maintenant définir un nouveau temps cosmique par : (59)
x = ct
...L’élément de ligne (43) reste asymptotiquement euclidien. À « grande distance », le temps propre Ds d’un observateur au repos s’identifie à l’intervalle Dt.
- Intervalles de temps pour les chemins radiaux.
Nous pouvons calculer l’intervalle de temps Dt = Dx/c d’une particule de masse non nulle suivant une géodésique, à partir de l’équation différentielle : (60)
Pour les « géodésiques radiales » (h = 0) : (61)
Près de la sphère de Schwarzschild, nous obtenons : (62)
l = 1 correspond à une particule-test dont la vitesse tend vers zéro à l'infini.
Considérons ce cas particulier : (63)
D’après (54)
n = -1 correspond aux chemins (dr < 0).
n = +1 correspond aux chemins (dr > 0).
...Notons que le changement de coordonnées particulier d’Eddington correspond (pour r ≥ Rs) à d = +1. Lorsque nous calculons le temps de parcours radial Dt d’une particule-test, par rapport à ce nouveau temps cosmique, nous trouvons que ce dernier dépend de la direction du mouvement et du signe de d, c’est-à-dire du produit dn. Lorsqu’il est positif, le temps de parcours d’une particule-test le long d’une géodésique radiale (r ≥ Rs) est fini. Lorsqu’il est négatif, ce temps de parcours devient infini.
...Comme première conséquence, si appliqué au modèle de trou noir à symétrie sphérique, le changement de coordonnées d’Eddington donne un temps de chute libre fini Dt. Lorsque r = Rs, la vitesse de la particule devient : (64)
Une particule-test, tombant vers la sphère de Schwarzschild, l’atteint avec la vitesse c.
- Vitesse de la lumière.
Les photons se déplacent le long de géodésiques nulles, correspondant à : (65)
Considérons la vitesse : (66)
D’après (65), nous obtenons : (67)
Lorsque r tend vers l'infini, vj tend vers ±c.
Lorsque dr < 0, nous avons n < 1. Alors, lorsque r = Rs pour les chemins (dr < 0) : (68)
Lorsqu’une particule-test tombe vers la sphère de Schwarzschild, le long d’un chemin radial, elle l’atteint avec la vitesse de la lumière. En résumé : (69)
(70)
La vitesse de la lumière est différente selon que l’on considère des chemins (dr > 0) ou (dr < 0).
- Effet de traînage de cadre.
Considérons le tenseur métrique de Kerr : (71)
où r est une coordonnée spatiale différente de celle définie ci-dessus. Nous reproduisons simplement l’équation 7.110 de la référence [1]. Calculons la vitesse du photon (ds = 0) pour des mouvements tangents à des cercles (q = p/2, r = constant). Nous trouvons : (72)
c’est-à-dire deux valeurs distinctes. Cela correspond à un traînage azimutal et est une propriété du tenseur métrique de Kerr. D’après la référence [1], 7.7, « La solution de Kerr et la rotation », nous lisons :
Un effet physique très intéressant découle de la nature rotationnelle de la solution de Kerr ; un corps en mouvement géodésique subit une force proportionnelle au paramètre a, rappelant une force de Coriolis. En termes vagues, nous pouvons penser que la source tournante « traîne » l’espace autour d’elle. Dans un sens machien, les sources « s’affrontent » aux conditions aux limites lorentziennes à l’infini pour établir un cadre inertiel local.
Réexprimé en termes de coordonnées d’Eddington, le trou noir, considéré comme source du champ, induit un traînage radial du cadre.
- Trou noir et fontaine blanche.
Dans la section 4, nous avons suggéré une nouvelle interprétation de la géométrie de Schwarzschild où la sphère de Schwarzschild, voir figure 9, se comporte comme une sphère de gorge reliant deux « plis demi-espace-temps ». Nous pouvons imaginer une structure similaire combinant les deux géométries de Schwarzschild suivantes : (73)
(74)
Ces deux sont dérivées de (43), la première expression (73) correspondant à d = -1 et la seconde (74) à d = +1. Le lien ne pose aucun problème, car d n’apparaît pas dans le calcul de la représentation [r, j] des géodésiques. Voir l’équation (58). Nous obtenons une paire « trou noir - fontaine blanche », sans « singularité centrale ». La matière peut entrer dans le trou noir, mais ne peut pas en sortir. D’un autre côté, la matière peut s’échapper de la fontaine blanche, mais ne peut pas y pénétrer. Le temps de transit est fini dans un sens, et infini dans l’autre. Calculé avec le nouveau temps cosmique x, le temps de transit fini est similaire à celui calculé avec le temps propre s. Pour les chemins radiaux : (75)
Ce temps est très court. Comme l’a montré cet article, le modèle de trou noir repose sur un choix particulier des coordonnées, notamment du temps cosmique. Comme indiqué dans la section 6, le choix du marqueur temporel est purement arbitraire. Le choix classique donne un système quasi-stationnaire, où la chute de la matière, versée dans le trou noir, est « gelée dans le temps », par rapport à un observateur extérieur. Mais cet article montre qu’un autre choix du marqueur temporel, dérivé de l’idée d’Eddington, « dégèle » le processus. Du point de vue, les trous noirs, ou les couples trou noir-fontaine blanche, ne peuvent pas exister comme objets permanents, car ils pourraient avaler des dizaines de masses solaires par milliseconde. Il reste donc une question ouverte :
- Que se passe-t-il lorsque l’étoile à neutrons dépasse sa limite de stabilité ?
- Espace de représentation.
Avant d’essayer de présenter un projet alternatif de modèle, quelques mots sur ce que nous pourrions appeler « espaces de représentation ». Au début de l’article, nous avons étudié une surface 2D définie par son élément de ligne. Il s’est avéré possible d’immerger cette surface dans R3, ce qui nous a donné une représentation isométrique de cet objet géométrique. En passant, nous avons mentionné une représentation [r, j].
Il n’est pas possible de donner une représentation évidente d’une hypersurface quadridimensionnelle, car nous ne pouvons pas la dessiner ni montrer de figures. Mais l’hypersurface peut être représentée dans de nombreux espaces de représentation, correspondant à divers choix de coordonnées, car l’objet est fondamentalement invariant par changement de coordonnées. Par exemple, nous pouvons introduire le changement (6). Alors l’élément de ligne devient : (76)
pour r > 0
et : (77)
pour r < 0.
Les géodésiques « radiales » (par exemple q = p/2, dj = 0) convergent vers le centre géométrique O du système (dans cette représentation particulière). Ce point est comparable à un « point hyperconique ». Une symétrie par rapport à un point dans un espace 3D est une symétrie P.
Dans ce repère [t, r, q, j], l’élément de ligne de Schwarzschild est P-symétrique. Il est également indépendant du temps (invariant par translation temporelle, c’est-à-dire correspondant à un état stationnaire) et T-symétrique, invariant par :
t → -t
Version originale (anglais)
- The choice of a time marker.
In the [ t , r , q , j ] coordinates, corresponding to the line element (25) the determinant of the metric is : (34)
which vanishes when r becomes zero. Anyway, in 1924, Eddington [10] showed that the nullity of the metric was coordinate-dependent. Let us first return to the initial form (35)
Insist on the fact that the choice of coordinate system is a purely arbitray, for the metric, solution of the tensor-form equation (36)
S = 0
is basically coordinate-invariant. We decide that particles follow geodesics. The arbitrary chosen coordinates brings the physical significance of this geometric solution. We can choose x° = ct, c being a constant. But we can choose another frame of reference. It is up to us. The only requirement, for a chosen chronological marker x°, or t , x , is that the metric would be asymptotically euclidean : (37)
or : (38)
as expressed in cartesian coordinate system. Remember that a riemanian metric is euclidean if one can find a system of coordinates where the line-element quadratic form has constant coefficients. The set of the signs is the signature. If this last is ( + - - - ) this is a Minkowski's metric. (39)
being identified to an elementary distance, it seems a reasonable requirement to impose the metric to be asymptotically euclidean "at large distance", whatever the chosen definition for such a distance ( r or r , from above) is.
The definition of the "cosmic time" or "space marker", remains a completely free choice. Conversely we cannot modify the proper time s, or, more precisely, the time-interval Ds between two given points of the manifold, for it is basically coordinate independent. In addition, one assumes that particles can travel in both directions, along a given geodesic.
**
Fig. 12 : The travel of a particle on a given geodesic.
**
The travel of a test-particle along a geodesic is a phenomenon. Another geodesic of the manifold is supposed to refer to some "external observer, at rest". But rest state depends on the coordinate choice (x°, x1 , x2 , x3) , which is completely arbitrary.
This "external observer" is supposed to be located in a portion of the manifold where the metric is euclidean, or quasi euclidean, i.e. has the form (37). Then the rest conditions means that (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
For such a rest-state observer any proper time interval identifies to the associated arbitrarly chosen "cosmic time interval": (41)
Ds = Dx°
...The choice of cosmic time being purely arbitrarly, the evolution of the test particle in time depends on this choice. Consider two points A and B, on a given geodesic, which is supposed to refer to an external observer. These points are space-time events. On figure 13 the dotted lines are supposed to refer to constant cosmic time x°.
**
Fig. 13 : An "external observer at rest", "considering" the evolution of a test-particle on a geodesic. Cosmic time x°
**
Consider now another choice x for cosmic time. See figure 14.
**
Fig. 14 : An "external observer at rest", "considering" the evolution of a test-particle on a geodesic. Cosmic time x **
Let's precise that dotted lines are not photons' paths. Photons travel on peculiar, null geodesics, which are coordinate-invariant.
We still have Ds(O) = Dx° = Dx but the intervals Ds'(TP) and Ds
Ces deux éléments sont dérivés de (43), le premier élément de ligne (73) correspondant à d = -1 et le second (74) à d = +1. La liaison ne pose aucune difficulté, car d n’apparaît pas dans le calcul de la représentation [r, j] des géodésiques. Voir l’équation (58). On obtient ainsi une paire « trou noir – fontaine blanche », sans « singularité centrale ». La matière peut pénétrer dans le trou noir, mais ne peut en ressortir. De l’autre côté, la matière peut s’écouler hors de la fontaine blanche, mais ne peut y pénétrer. Le temps de transit est fini dans une direction et infini dans l’autre. Calculé avec la nouvelle coordonnée temporelle cosmique x, ce temps de transit fini est semblable à celui calculé avec le temps propre s. Pour les trajectoires radiales : (75)
Ce temps est très court. Comme l’a montré cet article, le modèle de trou noir repose sur un choix particulier des coordonnées, et notamment du temps cosmique. Comme souligné dans la section 6, le choix du marqueur temporel est purement arbitraire. Le choix classique conduit à un système quasi-stationnaire, dans lequel la chute de la matière, injectée dans le trou noir, apparaît « figée dans le temps » du point de vue d’un observateur extérieur. Toutefois, le présent article démontre qu’un autre choix de marqueur temporel, issu de l’idée d’Eddington, « décongèle » le processus. Dès lors, du point de vue considéré, les trous noirs, ou les paires trou noir – fontaine blanche, ne peuvent exister comme objets permanents, puisqu’ils peuvent avaler des dizaines de masses solaires par milliseconde. Il subsiste donc une question ouverte :
- Que se passe-t-il lorsqu’une étoile à neutrons dépasse sa limite de stabilité ?
- Espace de représentation.
Avant d’essayer de présenter un projet alternatif de modèle, quelques mots à propos de ce que nous pourrions appeler les « espaces de représentation ». Au début de l’article, nous avons étudié une surface à 2 dimensions, définie par son élément de ligne. Il s’est avéré possible d’incorporer cette surface dans R³, ce qui fournit une représentation isométrique de cet objet géométrique. Au passage, nous avons mentionné une représentation [r, j].
Il n’est pas possible de donner une représentation évidente d’une hypersurface à quatre dimensions, car nous ne pouvons ni la dessiner ni présenter des figures à son sujet. Toutefois, l’hypersurface peut être figurée dans de nombreux espaces de représentation, correspondant à divers choix de coordonnées, puisque l’objet est fondamentalement indépendant du système de coordonnées choisi. Nous pouvons, par exemple, introduire le changement (6). L’élément de ligne devient alors : (76)
pour r > 0
et : (77)
pour r < 0.
Les géodésiques « radiales » (par exemple q = p/2, dj = 0) convergent vers le centre géométrique O du système (dans cette représentation particulière). Ce point est comparable à un « point hyperconique ». Une symétrie par rapport à un point, dans un espace à 3 dimensions, est une symétrie P. Dans la représentation [t, r, q, j], l’élément de ligne de Schwarzschild est symétrique par rapport à P. Il est également indépendant du temps (invariant par translation temporelle, c’est-à-dire correspondant à un état stationnaire) et symétrique temporellement (T-symétrique), invariant sous la transformation :
t → -t
- Le choix d'un marqueur temporel.
Dans les coordonnées [t, r, q, j], correspondant à l'élément de ligne (25), le déterminant du tenseur métrique est : (34)
qui s'annule lorsque r devient nul. Toutefois, en 1924, Eddington [10] a montré que la nullité du tenseur métrique dépendait des coordonnées. Revenons tout d'abord à la forme initiale (35)
Insistons sur le fait que le choix du système de coordonnées est purement arbitraire, car le tenseur métrique, solution de l'équation tensorielle (36)
S = 0
est fondamentalement invariant par changement de coordonnées. Nous décidons que les particules suivent des géodésiques. Les coordonnées arbitrairement choisies donnent une signification physique à cette solution géométrique. Nous pouvons choisir x° = ct, c étant une constante. Mais nous pouvons choisir un autre système de référence. C'est à nous de choisir. La seule condition, pour un marqueur chronologique choisi x°, ou t, x, est que le tenseur métrique soit asymptotiquement euclidien : (37)
ou : (38)
comme exprimé dans un système de coordonnées cartésiennes. Rappelons qu'un tenseur métrique riemannien est euclidien si l'on peut trouver un système de coordonnées où la forme quadratique de l'élément de ligne a des coefficients constants. L'ensemble des signes constitue la signature. Si cette dernière est ( + - - - ), il s'agit d'un tenseur métrique de Minkowski. (39)
étant identifié à une distance élémentaire, il semble raisonnable d'imposer que le tenseur métrique soit asymptotiquement euclidien « à grande distance », quelle que soit la définition choisie pour une telle distance (r ou r, comme ci-dessus).
La définition du « temps cosmique » ou du « marqueur spatial » reste un choix entièrement libre. Inversement, nous ne pouvons pas modifier le temps propre s, ou plus précisément l'intervalle de temps Ds entre deux points donnés de la variété, car il est fondamentalement indépendant des coordonnées. En outre, on suppose que les particules peuvent se déplacer dans les deux sens le long d'une géodésique donnée.
**
Figure 12 : Le parcours d'une particule le long d'une géodésique donnée.
**
Le parcours d'une particule-test le long d'une géodésique est un phénomène. Une autre géodésique de la variété est supposée correspondre à un « observateur extérieur au repos ». Mais l'état de repos dépend du choix des coordonnées (x°, x1, x2, x3), qui est entièrement arbitraire.
Cet « observateur extérieur » est supposé se trouver dans une région de la variété où le tenseur métrique est euclidien ou quasi-euclidien, c’est-à-dire de la forme (37). Alors les conditions de repos signifient que (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Pour un tel observateur au repos, tout intervalle de temps propre s’identifie à l’intervalle de « temps cosmique » arbitrairement choisi : (41)
Ds = Dx°
...Le choix du temps cosmique étant purement arbitraire, l’évolution de la particule-test dans le temps dépend de ce choix. Considérons deux points A et B sur une géodésique donnée, supposée correspondre à un observateur extérieur. Ces points sont des événements espace-temps. Sur la figure 13, les lignes pointillées sont supposées correspondre à un temps cosmique constant x°.
**
Figure 13 : Un « observateur extérieur au repos », « considérant » l’évolution d’une particule-test sur une géodésique. Temps cosmique x°
**
Considérons maintenant un autre choix x pour le temps cosmique. Voir la figure 14.
**
Figure 14 : Un « observateur extérieur au repos », « considérant » l’évolution d’une particule-test sur une géodésique. Temps cosmique x **
Précisons que les lignes pointillées ne représentent pas les trajectoires des photons. Les photons se déplacent le long de géodésiques particulières, des géodésiques nulles, qui sont invariantes par changement de coordonnées.
Nous avons encore Ds(O) = Dx° = Dx, mais les intervalles Ds'(TP) et Ds"(TP) peuvent être très différents, bien qu’ils se réfèrent à la même géodésique, car les couples (A',B') et (A",B") peuvent différer. Fondamentalement, ils dépendent de la coordonnée temporelle choisie, ou du « marqueur temporel ».
- Le changement de coordonnées temporel d’Eddington et sa forme étendue.
Le changement de coordonnées suivant, introduit par Eddington en 1924, illustrant ce point, est : (42)
L’élément de ligne devient alors : (43)
Comme le terme gxx s’annule sur la sphère r = Rs, celle-ci devient une surface de décalage vers le rouge infini (comme dans l’élément de ligne classique de Schwarzschild). La matrice devient : (44)
dont le déterminant est : (45)
- r 4 sin2 q
et ne s’annule plus, quelle que soit la valeur de r. Pour des raisons qui seront expliquées plus tard, étendons ce changement de coordonnées à : (46)
Exprimé dans le système de coordonnées (x, r, q, j), l’élément de ligne devient : (47)
dont le déterminant a la même forme (44). Notons que le changement de coordonnées d’Eddington correspond à la valeur d = -1. Nous étudions les géodésiques à l’aide des équations de Lagrange, basées sur la fonction : (48)
avec :
En outre, à partir de l’expression de l’élément de ligne, nous avons classiquement pour les particules matérielles (ds ≠ 0) : (49)
Une équation de Lagrange donne : (50)
Considérons la géodésique plane q = p/2, ce qui donne : (51)
Le long d’une géodésique, par rapport au temps propre s, l’évolution de j est monotone. Une autre équation de Lagrange donne : (52)
c’est-à-dire : (53)
En combinant avec (49), de façon surprenante, d disparaît : (54)
Notons que si dr = 0 (vitesse nulle) lorsque r tend vers l'infini, cela correspond à l = 1. Lorsque r tend vers l'infini, d'après (53) : (55)
Si l ≥ 1, lorsque r tend vers l'infini, nous obtenons : (56)
avec
nous obtenons (57)
Dans le repère [r, j], nous retrouvons, pour les géodésiques non nulles (ds ≠ 0), l'expression différentielle classique : (58)
qui fournit les motifs des figures 7, 8 et 9. Nous pouvons maintenant définir un nouveau temps cosmique par : (59)
x = ct
...L’élément de ligne (43) reste asymptotiquement euclidien. À « grande distance », le temps propre Ds d’un observateur au repos s’identifie à l’intervalle Dt.
- Intervalles de temps pour les chemins radiaux.
Nous pouvons calculer l’intervalle de temps Dt = Dx/c d’une particule de masse non nulle suivant une géodésique, à partir de l’équation différentielle : (60)
Pour les « géodésiques radiales » (h = 0) : (61)
Près de la sphère de Schwarzschild, nous obtenons : (62)
l = 1 correspond à une particule-test dont la vitesse tend vers zéro à l'infini.
Considérons ce cas particulier : (63)
D’après (54)
n = -1 correspond aux chemins (dr < 0).
n = +1 correspond aux chemins (dr > 0).
...Notons que le changement de coordonnées particulier d’Eddington correspond (pour r ≥ Rs) à d = +1. Lorsque nous calculons le temps de parcours radial Dt d’une particule-test, par rapport à ce nouveau temps cosmique, nous trouvons que ce dernier dépend de la direction du mouvement et du signe de d, c’est-à-dire du produit dn. Lorsqu’il est positif, le temps de parcours d’une particule-test le long d’une géodésique radiale (r ≥ Rs) est fini. Lorsqu’il est négatif, ce temps de parcours devient infini.
...Comme première conséquence, si appliqué au modèle de trou noir à symétrie sphérique, le changement de coordonnées d’Eddington donne un temps de chute libre fini Dt. Lorsque r = Rs, la vitesse de la particule devient : (64)
Une particule-test, tombant vers la sphère de Schwarzschild, l’atteint avec la vitesse c.
- Vitesse de la lumière.
Les photons se déplacent le long de géodésiques nulles, correspondant à : (65)
Considérons la vitesse : (66)
D’après (65), nous obtenons : (67)
Lorsque r tend vers l'infini, vj tend vers ±c.
Lorsque dr < 0, nous avons n < 1. Alors, lorsque r = Rs pour les chemins (dr < 0) : (68)
Lorsqu’une particule-test tombe vers la sphère de Schwarzschild, le long d’un chemin radial, elle l’atteint avec la vitesse de la lumière. En résumé : (69)
(70)
La vitesse de la lumière est différente selon que l’on considère des chemins (dr > 0) ou (dr < 0).
- Effet de traînage de cadre.
Considérons le tenseur métrique de Kerr : (71)
où r est une coordonnée spatiale différente de celle définie ci-dessus. Nous reproduisons simplement l’équation 7.110 de la référence [1]. Calculons la vitesse du photon (ds = 0) pour des mouvements tangents à des cercles (q = p/2, r = constant). Nous trouvons : (72)
c’est-à-dire deux valeurs distinctes. Cela correspond à un traînage azimutal et est une propriété du tenseur métrique de Kerr. D’après la référence [1], 7.7, « La solution de Kerr et la rotation », nous lisons :
Un effet physique très intéressant découle de la nature rotationnelle de la solution de Kerr ; un corps en mouvement géodésique subit une force proportionnelle au paramètre a, rappelant une force de Coriolis. En termes vagues, nous pouvons penser que la source tournante « traîne » l’espace autour d’elle. Dans un sens machien, les sources « s’affrontent » aux conditions aux limites lorentziennes à l’infini pour établir un cadre inertiel local.
Réexprimé en termes de coordonnées d’Eddington, le trou noir, considéré comme source du champ, induit un traînage radial du cadre.
- Trou noir et fontaine blanche.
Dans la section 4, nous avons suggéré une nouvelle interprétation de la géométrie de Schwarzschild où la sphère de Schwarzschild, voir figure 9, se comporte comme une sphère de gorge reliant deux « plis demi-espace-temps ». Nous pouvons imaginer une structure similaire combinant les deux géométries de Schwarzschild suivantes : (73)
(74)
Ces deux sont dérivées de (43), la première expression (73) correspondant à d = -1 et la seconde (74) à d = +1. Le lien ne pose aucun problème, car d n’apparaît pas dans le calcul de la représentation [r, j] des géodésiques. Voir l’équation (58). Nous obtenons une paire « trou noir - fontaine blanche », sans « singularité centrale ». La matière peut entrer dans le trou noir, mais ne peut pas en sortir. D’un autre côté, la matière peut s’échapper de la fontaine blanche, mais ne peut pas y pénétrer. Le temps de transit est fini dans un sens, et infini dans l’autre. Calculé avec le nouveau temps cosmique x, le temps de transit fini est similaire à celui calculé avec le temps propre s. Pour les chemins radiaux : (75)
Ce temps est très court. Comme l’a montré cet article, le modèle de trou noir repose sur un choix particulier des coordonnées, notamment du temps cosmique. Comme indiqué dans la section 6, le choix du marqueur temporel est purement arbitraire. Le choix classique donne un système quasi-stationnaire, où la chute de la matière, versée dans le trou noir, est « gelée dans le temps », par rapport à un observateur extérieur. Mais cet article montre qu’un autre choix du marqueur temporel, dérivé de l’idée d’Eddington, « dégèle » le processus. Du point de vue, les trous noirs, ou les couples trou noir-fontaine blanche, ne peuvent pas exister comme objets permanents, car ils pourraient avaler des dizaines de masses solaires par milliseconde. Il reste donc une question ouverte :
- Que se passe-t-il lorsque l’étoile à neutrons dépasse sa limite de stabilité ?
- Espace de représentation.
Avant d’essayer de présenter un projet alternatif de modèle, quelques mots sur ce que nous pourrions appeler « espaces de représentation ». Au début de l’article, nous avons étudié une surface 2D définie par son élément de ligne. Il s’est avéré possible d’immerger cette surface dans R3, ce qui nous a donné une représentation isométrique de cet objet géométrique. En passant, nous avons mentionné une représentation [r, j].
Il n’est pas possible de donner une représentation évidente d’une hypersurface quadridimensionnelle, car nous ne pouvons pas la dessiner ni montrer de figures. Mais l’hypersurface peut être représentée dans de nombreux espaces de représentation, correspondant à divers choix de coordonnées, car l’objet est fondamentalement invariant par changement de coordonnées. Par exemple, nous pouvons introduire le changement (6). Alors l’élément de ligne devient : (76)
pour r > 0
et : (77)
pour r < 0.
Les géodésiques « radiales » (par exemple q = p/2, dj = 0) convergent vers le centre géométrique O du système (dans cette représentation particulière). Ce point est comparable à un « point hyperconique ». Une symétrie par rapport à un point dans un espace 3D est une symétrie P.
Dans ce repère [t, r, q, j], l’élément de ligne de Schwarzschild est P-symétrique. Il est également indépendant du temps (invariant par translation temporelle, c’est-à-dire correspondant à un état stationnaire) et T-symétrique, invariant par :
t → -t
Version originale (anglais)
- The choice of a time marker.
In the [ t , r , q , j ] coordinates, corresponding to the line element (25) the determinant of the metric is : (34)
which vanishes when r becomes zero. Anyway, in 1924, Eddington [10] showed that the nullity of the metric was coordinate-dependent. Let us first return to the initial form (35)
Insist on the fact that the choice of coordinate system is a purely arbitray, for the metric, solution of the tensor-form equation (36)
S = 0
is basically coordinate-invariant. We decide that particles follow geodesics. The arbitrary chosen coordinates brings the physical significance of this geometric solution. We can choose x° = ct, c being a constant. But we can choose another frame of reference. It is up to us. The only requirement, for a chosen chronological marker x°, or t , x , is that the metric would be asymptotically euclidean : (37)
or : (38)
as expressed in cartesian coordinate system. Remember that a riemanian metric is euclidean if one can find a system of coordinates where the line-element quadratic form has constant coefficients. The set of the signs is the signature. If this last is ( + - - - ) this is a Minkowski's metric. (39)
being identified to an elementary distance, it seems a reasonable requirement to impose the metric to be asymptotically euclidean "at large distance", whatever the chosen definition for such a distance ( r or r , from above) is.
The definition of the "cosmic time" or "space marker", remains a completely free choice. Conversely we cannot modify the proper time s, or, more precisely, the time-interval Ds between two given points of the manifold, for it is basically coordinate independent. In addition, one assumes that particles can travel in both directions, along a given geodesic.
**
Fig. 12 : The travel of a particle on a given geodesic.
**
The travel of a test-particle along a geodesic is a phenomenon. Another geodesic of the manifold is supposed to refer to some "external observer, at rest". But rest state depends on the coordinate choice (x°, x1 , x2 , x3) , which is completely arbitrary.
This "external observer" is supposed to be located in a portion of the manifold where the metric is euclidean, or quasi euclidean, i.e. has the form (37). Then the rest conditions means that (40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
For such a rest-state observer any proper time interval identifies to the associated arbitrarly chosen "cosmic time interval": (41)
Ds = Dx°
...The choice of cosmic time being purely arbitrarly, the evolution of the test particle in time depends on this choice. Consider two points A and B, on a given geodesic, which is supposed to refer to an external observer. These points are space-time events. On figure 13 the dotted lines are supposed to refer to constant cosmic time x°.
**
Fig. 13 : An "external observer at rest", "considering" the evolution of a test-particle on a geodesic. Cosmic time x°
**
Consider now another choice x for cosmic time. See figure 14.
**
Fig. 14 : An "external observer at rest", "considering" the evolution of a test-particle on a geodesic. Cosmic time x **
Let's precise that dotted lines are not photons' paths. Photons travel on peculiar, null geodesics, which are coordinate-invariant.
We still have Ds(O) = Dx° = Dx but the intervals Ds'(TP) and Ds"(TP) may be fairly differents, although the they refer to the same geodesic, for the couples (A',B') and (A",B") may differ. Basically, they depend on the chosen tim coordinate, or "time marker"..
- **The Eddington's time coordinate change and its extended form. **
The following coordinate change, introduced by Eddington in 1924, an illustration of that point, is : (42)
Then the line element becomes (43)
As the gxx term becomes zero on the sphere r = Rs , this last is an infinite redshift surface (as in the classical Schwarzschild metric line element). The matrix becomes : (44)
whose determinant is : (45)
- r 4 sin2 q
and no longer vanishes, whatever the r-value is. For reasons that will be explained lated, let us extend this coordinate change to : (46)
Expressed with the ( x , r , q , j ) coordinate system, the line element becomes : (47)
whose determinant has the same form (44). Notice that the Eddington's coordinate change of corresponds to d = - 1 value. We study the geodesics, using the Lagrange equations, based on the function : (48)
with :
In addition, from the line element expression, we have, classically, for material particles (ds ¹ 0) : (49)
One Lagrange's equation gives : (50)
Consider the plane geodesic q = p/2 , which gives : (51)
Along a geodesic, with respect to the proper time s, the evolution of j, is monotonic. Another Lagrange's equation gives : (52)
i.e. : (53)
Combining to (49), surprizingly, d disappears : (54)
Notice that if dr = 0 (null velocity) when r tends to infinite, it corresponds to l = 1.When r tends to infinite, after (53) : (55)
If l ³ 1 , when r tends to infinite, we get : (56)
with
we get (57)
In the [ r , j ] we refind, for non null geodesics (ds ¹ 0), the classical form's differential expression : (58)
which provides patterns of figures 7, 8 and 9. Now we can define a new cosmic time, through : (59)
x = ct
...The line element (43) is still asymptotically euclidean. At "large distance" the proper time Ds of a rest observer identifies to the interval Dt.
- Time intervals for radials paths.
We may compute the time-interval Dt = Dx/c of a non zero mass particule, following a geodesic, through the differential equation : (60)
For "radial geodesics" ( h = 0 ) : (61)
Close to the Schwarzschild's sphere, we get : (62)
l = 1 corresponds to a test particle whose velocity tends to zero at infinite.
Consider that peculiar case : (63)
From (54)
n = - 1 corresponds to (dr < 0) paths.
n = +1 corresponds to (dr > 0) paths.
...Notice that the peculiar Eddington's coordinate change corresponds (for r ³ Rs) to d = + 1 . When we compute the radial travel time Dt of a test particle, with respect to this new cosmic time, we find this last depends on the direction of this movement and on the sign of d, i.e. on the product dn. When it is positive, the travel time of a test particle, along a radial geodesic (r ³ Rs) is finite. When it is negative this travel time becomes infinite.
...As a first consequence, if applied to the spherically symmetric black hole model, the Eddington's coordinate change gives a finite free fall time Dt. When r = Rs the velocity of the particle becomes : (64)
A test particle, falling towards the Schwarzschild sphere, reaches it at the velocity c.
- Light velocity.
Photons travel on null geodesics, corresponding to : (65)
Consider the velocity : (66)
From (65) we get : (67)
When r tends to infinite, vj tends to ± c .
When dr < 0 we have n < 1 . Then, when r = Rs for (d r< 0) paths : (68)
When a test particle falls towards the Schwarzschild sphere, along a radial paths, it reaches it at the velocity of the light. To sum up : (69)
(70)
The velocity of the light is different, considering (dr > 0) or (d r< 0) paths.
- **The frame-dragging effect. **
Consider the Kerr metric : (71)
where r is a space coordinate different from the one defined above. We just reproduce the equation 7.110 of reference [1]. Compute the velocity of the photon (ds = 0) for movements which are tangent to circles (q = p/2, r = constant). We find : (72)
i.e. two distinct values. This corresponds to an azimutal frame-dragging and is a property of the Kerr metric. From reference [1], 7.7, "The Kerr solution and rotation"we read :
*A very interesting physical effect results from the rotational nature of the Kerr solution; a body in geodesic motion experiences a force proportional to the parameter *a *reminiscent of a Coriolis force. Loosely speaking, we may think of the rotating source as "dragging" space around with it. In a Machian sense, the sources "competes" with the Lorentzian boudary conditions at infinity in the establishment of a local inertial frame. *
Rephrased in terms of Eddington's coordinates, the black hole, considered as the source of the field, induces a *radial frame-dragging. *
- **Black hole and white foutain. **
In section 4 we have suggested a new interpretation of the Schwarzschild geometry where the Schwarschild sphere, see figure 9, behaves like a throat sphere, linking two "half space-time folds". We can imagine a similar structure, combining the two following Schwarzschild geometries : (73)
(74)
These two are derived from (43), the first line element (73) corresponding to d = -1 and the second one (74) to d = +1 . The linking arises no difficulty for d does not appear in the computation the [ r, j ] representation of geodesics. See equation (58). We get a couple "black hole-white fountain", without "central singularity". Matter can enter the black hole, but not go out. On the other side, matter can flow out of the white fountain, but not get in. The transit time is finite in one direction, and infinite along the other one. Computed with the new cosmic time x, the finite transit time is similar to the one as computed with proper time s. For radial paths : (75)
This time is very short. As was shown in this paper, the black hole model is based on a peculiar choice of the coordinates, and especially of the cosmic time. As pointed out in section 6 the choice of the time-marker is purely arbitrary. The classical one gives a quasi steady-state system, where the fall of the matter, poured into the black hole is "frozen in time", with respect to an external observer. But the present paper shows that another choice of the time marker, derived from Eddington's idea, "defrosts" the process. From this point of view black holes, or couples black hole-white fountain, cannot exist as permanent objects, for they can swallow dozens of solar masses per millisecond. So that there still is an open question :
- What happens when a neutron star overcomes its limit of stability ?
- Representation space.
Before trying to present an alternative project of model, few words about what we could call "representation spaces". In the begining of the paper, we have studied a 2d surface, as defined by its line element. It appeared to be possible to imbed this surface in R3, which gave as isometric representation of this geometrical object. By the way, we mentioned a [r,j] representation.
It is not possible to give an evident representation of a four dimensional hypersurface for we cannot draw it and show figures. But the hypersurface can be figured in many representation spaces, corresponding to various coordinate choices, for the object is basically coordinate-invariant. We can, for example, introduce the change (6). Then the line element become : (76)
for r > 0
and : (77)
for r < 0.
"Radial" geodesics (For example q = p/2 , dj = 0 ) focuss on the geometrical center O of the system (in this peculiar representation). This point is comparable to an "hyperconic point". A symmetry with respect to a point, in a 3d space, is a P-symmetry.
In this [ t , r , q , j ] the Schwarschild's line element is P-symmetric. It is also time-independent (invariant through time translation, i.e. corresponds to steady state) an T-symmetric, invariant through :
t ® - t