23)** Description dans un espace à dix dimensions.**
Dans des travaux antérieurs ([22], [23] et [24]), nous avons développé une tentative de description des particules dans un espace à dix dimensions :
(148)
( x , y , z, t , z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6 ) = ( x , y , z, t , z** ) = ( r , t , z ** )
avec six dimensions supplémentaires : une extension de l'espace à cinq dimensions de Kaluza-Klein (voir référence [25], chapitre 5 "La Relativité à 5 dimensions", page 413, où l'inversion x5 ® - x5, l'inversion de la coordonnée de Kaluza, est identifiée à la conjugaison de charge). Ce travail s'appuyait sur un groupe, suggérant que le couple associé (espace-temps plus espace-temps jumeau) correspond à une symétrie CPT, la symétrie C correspondant à :
(148)
z** ** ® -z** **
(inversion des six dimensions supplémentaires de type Kaluza, extension des travaux de Souriau [25]). Cela a montré que la dualité matière-antimatière est valable dans le pli jumeau ([23] et [24]) et fournit une nouvelle interprétation géométrique du théorème dit CPT [24].
L'espace-temps de Schwarzschild peut être plongé dans un espace à dix dimensions, ce qui suggère que ces dimensions supplémentaires pourraient correspondre à des caractéristiques quantiques. La symétrie correspondante est le groupe :
(149)
Il s'agit d'un groupe à deux composantes, qui est le groupe d'isométrie de la métrique, en considérant la géométrie de Schwarzschild comme plongée dans un espace à dix dimensions.
En introduisant :
(150)
on obtient un groupe dont la dimension est 4.
La valeur b = - 1 correspond à la symétrie C. Cela signifie qu'au sein de chaque pli espace-temps, chaque géodésique possède une "image miroir" z ® - z, qui correspond à une particule d'antimatière suivant le même chemin. La dualité matière-antimatière est valable dans les deux demi-plis.
b = m = -1 correspond à la symétrie CPT. Lorsqu'une matière, appartenant au pli F, est projetée dans un "trou noir" et ressort de la "fontaine blanche" associée, bien que son incrément de temps propre Ds ne soit pas modifié (il ne peut pas l'être), cette particule, voyageant dans le pli CPT-symétrique F*, devient CPT-symétrique. Elle reste une particule de matière. Le transfert (y compris le transfert hyperspatial hypothétique rapide, évoqué ci-dessus) ne transforme pas la matière en antimatière, ni inversement, mais la "masse apparente" m* = - m (voir référence [15] et équation (110)) est modifiée.
Dans le pli "orthochrone" F, la matière et l'antimatière possèdent une masse et une énergie positives, comme indiqué dans les références [23] et [24]. Mais lorsqu'elles sont transférées vers le pli jumeau F*, qui possède un marqueur de temps opposé t* = - t, elles se comportent comme des particules de masse négative par rapport aux particules du premier, voir la section 14.
Conclusion.
En partant du modèle dit de trou noir, considéré comme une interprétation physique de la géométrie de Schwarzschild, nous avons réexaminé le problème du destin d'une étoile à neutrons lorsqu'elle dépasse sa limite de stabilité. Nous avons tout d'abord présenté un nouvel outil géométrique : la géométrie hypertorique, à travers des exemples en 2D et 3D (section 2). Nous avons montré que les pathologies associées aux métriques, découlant de leur élément de ligne exprimé dans un système de coordonnées donné, pouvaient être corrigées par un choix plus approprié, formulé en termes de "topologie locale". Par exemple, nous avons montré que dans les deux exemples donnés, la surface 2D et l'hypersurface 3D, dont les groupes d'isométrie étaient O2 et O3, ces structures géométriques n'étaient pas simplement connexes.
Nous avons étendu la méthode à la géométrie de Schwarzschild et montré que les caractéristiques singulières pouvaient être entièrement éliminées en considérant un espace-temps non simplement connexe. Nous avons attribué à la géométrie de Schwarzschild une signification physique différente, celle-ci étant considérée comme un pont reliant deux univers, le nôtre et un univers jumeau.
Nous avons montré que le "gel du temps", pilier du modèle de trou noir, était une simple conséquence d'un choix particulier du marqueur de temps. En utilisant un autre marqueur, inspiré des travaux d'Eddington (1924), nous avons construit un modèle complètement différent, avec une dérive radiale du cadre (similaire à la dérive azimutale du tenseur de Kerr). Nous avons montré que la solution de Schwarzschild pouvait être interprétée comme un "pont spatial" reliant deux univers, deux espaces-temps, ce lien fonctionnant comme un tunnel à sens unique. Nous avons montré que le temps de transit d'une particule-test était fini et court, ce qui remet en question le modèle classique de trou noir.
En étendant le groupe d'isométrie de la métrique de Schwarzschild, nous avons montré que les deux univers étaient énantiomorphes (symétriques P) et possédaient des marqueurs de temps opposés (t* = -t). En utilisant les outils des groupes : l'action coadjointe d'un groupe sur son espace des moments, nous avons donné une signification physique à cette "inversion du temps", à travers la sphère de Schwarzschild, considérée comme une surface de gorge. Lorsqu'une particule de masse positive traverse le pont spatial, sa contribution au champ gravitationnel est inversée : m* = -m (comme l'a montré J.M. Souriau en 1974, l'inversion du marqueur de temps est équivalente à l'inversion de la masse et de l'énergie).
Comme la question du destin d'une étoile à neutrons instable reste un problème ouvert, nous avons présenté un projet de modèle alternatif : le transfert hyperspatial d'une partie de l'étoile à neutrons, à travers un pont spatial, la matière s'écoulant vers l'univers jumeau à une vitesse relativiste.
En passant, nous avons rappelé certains défauts bien connus du modèle de Kruskal, notamment le fait qu'il n'est pas asymptotiquement lorentzien à l'infini.
Nous avons présenté quelques tentatives de plonger des sous-ensembles de géodésiques de Schwarzschild, avec des paramètres particuliers (vitesse nulle à l'infini, chemins radiaux dans le plan q = p/2). Nous avons suggéré de considérer la géométrie de Schwarzschild comme une hypersurface plongée dans un espace à dix dimensions. En reliant ce travail aux précédents, fondés sur la théorie des groupes, nous avons étendu le modèle à une version symétrique CPT. La dualité matière-antimatière est valable dans les deux plis. Lorsque la matière est transférée vers l'univers jumeau, elle subit une symétrie CPT et sa masse (sa contribution au champ gravitationnel) est inversée. Mais il reste de la matière. De même, l'antimatière s'écoulant dans le pont spatial reste de l'antimatière, avec une masse opposée, car l'inversion du marqueur de temps, comme l'a montré Souriau, implique l'inversion de la masse.
Références.
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[2] Schwarzschild K. : Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteineschen Theory, Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1916, p.189-196
[3] Birkhoff G ; "Relativity and Modern Physics", Cambridge, Mass. 1923
[4] Einstein A : "Spielen Gravitationsfelder im Aufbau des materiallen Elementarteilchen eine wessentliche Rolle. Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin ; reprintend in Lorentz-Einstein-Minkowski "Das Relativitâtsprinzip", Leipzig 1922. Traduction anglaise : "The Principle of Relativity" , Londres 1922, réimprimé par Dover, New York.
[5] Finlay-Freundlich E. On the empirical Foundations of the General Theory of Relativity, in A. Beer Ed. "Vistas in Astronomy", vol.1 Pergamon Press, Londres 1955.
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[8] Weinberg S : Gravitation and Cosmology, New York, 1972.
[9] N. SRAVROULAKIS Mathématiques et trous noirs. Gazette des mathématiciens n°31, juil.86 pp.119-132
[10] Eddington A.S. : A comparison of Withehead's and Einstein's formulæ Nature 113 : 192 (1924)
[11] P. Midy et J.P. Petit : Scale Invariant Cosmology. International Journal of Physics D, juin 1999, pp.271-280
[10bis] J.P. Petit : Dynamic groups of Physics. 1998. Geometrical Physics B,1. (site web http://www.jp-petit.com)
[12] J.M. Souriau : Structure of dynamical systems, Birkhauser Ed, 1998 et Editions Dunod (français) 1974.
[13] J.P. Petit : The missing mass problem. Il Nuovo Cimento B Vol. 109 juillet 1994 et Geometrical Physics A,2 (site web http://www.jp-petit.com : Geometrical Physics A,1)
[14] J.P. Petit : Twin Universe cosmology. Astronomy and Space Science 1995, 226 pp. 273-307 et Geometrical Physic A,2 (site web http://www.jp-petit.com Geometrical Physics A,2 )
[15] J.P. Petit et P. Midy : Matter ghost matter astrophysics 1 : the geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation. Geometrical Physics A,4 (site web http://www.jp-petit.com).
[16] J.P. Petit et P. Midy : Matter ghost matter astrophysics 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A,5 (site web).
[17] J.P. Petit et P. Midy : Matter ghost matter astrophysics 3 : The radiative era : The problem of the "origin" of the Universe. The problem of the homogeneity of the early Universe.. Geometrical Physics A,6. 1998 (site web http://www.jp-petit.com).
[18] J.P. Petit : Cosmological model with variable velocity of light. Modern Phys Letters A3, 1988, pp. 1527
[29]** **J.P. Petit, Mod. Phys. Lett. A3 ( 1988) 1733
[20]** **J.P. Petit, Mod. Phys. Lett. A4 ( 1989) 2201
[21] J.P. Petit et P. Midy : Repulsive dark matter Geometrical Physics A,3. 1998 (site web http://www.jp-petit.com)
[22] J.P. Petit et P. Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional components of the momentum of a group acting on a ten dimensional space. Geometrical definition of antimatter. Geometrical Physics B,2. 1998 (site web http://www.jp-petit.com).
[23] J.P. Petit et P. Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 2 : Geometrical definition of Dirac's antimatter. Geometrical Physics B,3. 1998 (site web http://www.jp-petit.com)
[24] J.P. Petit et P. Midy : Geometrization of matter and antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : A first geometric description of antimatter after Feynmann. So-called CPT theorem. Geometrical Physics B,4. 1998 (site web http://www.jp-petit.com)
[25] J.M. Souriau : Géométrie et Relativité (en français uniquement), Hermann Ed. 1964
[26] A. Sakharov : "CP violation and baryonic asymmetry of the Universe". ZhETF Pis'ma 5 : 32-35 ( 1967) ; Traduction JETP Lett. 5 : 24-27 (1967)
[27] A. Sakharov : "A multisheet Cosmological model" Preprint Institute of Applied Mathematics, Moscou 1970
[28] A. Sakharov : "Cosmological model of the Universe with a time vector inversion". ZhETF 79 : 689-693 ( 1980 ) ; traduction en Sov. Phys. JETP 52 : 349-351 (1980)
[29] A. Sakharov : "Topological structure of elementary particles and CPT asymmetry" in "Problems in theoretical physics", dédié à la mémoire de I.E. Tamm, Nauka, Moscou 1972, pp. 243-247
[30] A.D. Sakharov , ZhETF Pis'ma 5 : 32 ( 1967 ) ; JETP Lett. 5.24 (1967) trad. Preprint R2-4267, JINR, Dubna
[31] D. Novikov, ZhETF Pis'ma 3:223 ( 1966 ) ; JETP Lett. 3:142 (1966), trad Astr. Zh. 43:911 (1966) Sov. Astr. 10:731 (1967 )
[32] J.P. Petit : "Univers énantiomorphes à temps propres opposés", Compte Rendu de l'Académie des Sciences de Paris, mai 1977, t.285 pp. 1217-1221
[33] J.P. Petit : "Univers en interaction avec leur image dans le miroir du temps". Compte Rendu de l'Académie des Sciences de Paris, juin, 7, 1977, t. 284, série A, pp. 1413-1416
[40] J.P. Petit Le Topologicon, Ed. Belin, France, 1983 (disponible sur cd-rom. Demander à l'auteur).
Version originale (anglais)
23)** Decription in a ten-dimensional space.**
In formers papers ([22], [23] and [24]) we have developped an attempt to describe particles in a ten dimensional space :
(148)
( x , y , z, t , z 1, z 2, z 3, z 4, z 5, z 6 ) = ( x , y , z, t , z** ) = ( r , t , z ** )
with six additional dimensions : an extension of the five dimensional Kaluza-Klein space (see reference [25], chapter 5 "La Relativité à 5 dimensions", page 413, where de inversion x5 ® - x5, the inversion of the Kaluza coordinate, is identified to the charge conjugation). This work was based on a group, suggesting that the associated couple (space-time plus twin space time) corresponds to a CPT symmetry, the C-symmetry corresponding to :
(148)
z** ** ® -z** **
(inversion of the six additional Kaluza like dimension, extension of Souriau's work [25]. This showed the duality matter-antimatter holds in the twin fold ([23] and [24]) and provides a new geometric interpretation of the so-called CPT theorem [24].
Schwarschild space-time can be imbedded in a ten dimension space, which suggests that these additonal dimensions could correspond to quantum features. The subsequent symmetry corresponds to the group :
(149)
It's a two component group, which is the isometry group of the metric, considering the Schwarzschild geometry as imbedded in a ten-dimensional space.
Introducing :
(150)
we get group whose dimension is 4.
The value b = - 1 corresponds to C-symmetry. It means that in each space-time fold any geodesic has a "mirror image" z ® - z , which corresponds to an antimatter particle following the same path. Matter antimatter duality holds in boths half folds.
b = m = -1 corresponds to CPT symmetry. When matter, which belongs fold F, is poured into a "black hole" and raises out of the associated "white fountain", although its proper time increment Ds is not changed (it cannot be), this particle, cruising in a the CPT-symmetrical fold F*, becomes CPT-symmetric. It is still a particle of matter. The transfer (including transient, fast hypothetical hyperspatial transfer, evoked above) does not transform matter into antimatter, and vice-versa, but the "appearent mass" m* = - m (see reference [15] and equation (110)) is changed.
In "orthochron" fold F, matter and antimatter own positive mass and energy, as shown in references [23] and [24]. But, when they are transfered towards the twin fold F*, which owns an opposite time marker t* = - t, they behave like negative mass particles with respect to particles of the first one, see section 14.
Conclusion.
Starting from the so called black hole model, considered as a physical interpretation of Schwarzschild geometry, we have reconsidered the problem of the fate of a neutron star when this lats overcomes its limit of stability. We have first presented a new geometric tool : hypertoric geometry, through 2d and 3d examples (section 2). We have shown that pathlogies associated to metrics, arising from their line element, expressed in a given coordinate system, can be cured by a more suitable choice, phrased in terms of "local topology". For example we have showed that in the two given examples, the 2d surface and 3d hypersurface, whose isometry groups were O2 ans O3, these geometric structures were not simply connected.
We have extended the method to Schwarzschild geometry and showed that the singular features could be fully eliminated, considering not simply connected space time. We have given the Schwarzschild geometry a different physical significance, this last being considered as a bridge linking two universes, ours and a twin one.
We have showed that the "freeze of time", keystone of the blach hole model, was a simple consequence of a peculiar time marker choice. Using another one, inspired by Eddington's work (1924) we have built a completely different model, with radial frame dragging (similar to the azimutal frame-dragging of the Kerr metric). We have showed that the Schwarzschild solution can be interpreted as a "space bridge" between two universes, two space-times, this link working as a one-way tunnel. We have showed that the transit time of a test particle was finite and short, which made the classical black hole model questionable.
Extending the isometry group of the Schwarzschild metric we have showed that the two Universe were enantiomorphic (P-symmetric) and owned opposite time markers (t* = -t). Using groups' tool : the coadjoint action of a group on its momentum space, we have given the physical significance of this "time inversion", through Schwarzschild sphere, considered as a throat surface. When a positive mass particle passes through the space bridge, its contribution to the gravitational field is inversed : m* = -m (as shown by J.M.Souriau in 1974 the inversion of the time marker is equivalent to the inversion of the mass and energy).
As the question of the fate of a destabilized neutron star became a still open problem, we have presented a project of an alternative model : the hyperspatial transfer of a part of the neutron star, through a space bridge, matter flowing towards the twin universe at relativistic velocity.
By the way we have recalled some well-known defects of the Kruskall model, particularly the fact that it is not asymptotically Lorentzian at infinite.
We have presented some attempts to imbed subsets of Schwarzschild geodesics, with peculiar parameters (zero velocity at the infinite, radial paths in plane q = p/2). We have suggested to consider Schwarzschild geometry as an hypersurface, imbeded in a ten dimensional space. Linking the present work to former ones, based on group theory, we have extended the model to a CPT symmetric one. Matter antimatter duality holds in both folds When matter is transfered towards twin Univers, it undergoes a CPT-symmetry and its mass (its contribution to the gravitional field) is reversed. But it is still matter. Similarly, antimatter flowing in space bridge remains antimatter, with opposite mass, for the inversion of the time marker, as shown by Souriau, implies the inversion of the mass.
Références.
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[2] Schwarzschild K. : Über das Gravitational eines Massenpunktes nach der Einsteineschen Theory, Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1916, p.189-196
[3] Birkhoff G ; "Relativity and Modern Physics", Cambridge, Mass. 1923
[4] Einstein A : "Spielen Gravitationsfelder im Aufbau des materiallen Elementarteilchen eine wessentliche Rolle. Sitzber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin ; reprintend in Lorentz-Einstein-Minkowski "Das Relativitâtsprinzip", Leipzig 1922. English translation : "The Principle of Relativity" , London 1922, reprinted by Dover, New York.
[5] Finlay-Freundlich E. On the empirical Foundations of the General Theory of Relativity, in A. Beer Ed. "Vistas in Astronomy", vol.1 Pergamon Press, London 1955.
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[8] Weinberg S : Gravitation and Cosmology, New York, 1972.
[9] N.SRAVROULAKIS Mathématiques et trous noirs. Gazette des mathématiciens n°31, juil.86 pp.119-132
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[40] J.P.Petit Le Topologicon, Ed. Belin, France, 1983 (available on cd-rom. Ask the author).