Le Retournement de la Sphère
7 décembre 2004
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Introduction.
On considèrera dans ce qui va suivre des surfaces
fermées, comme la sphère, le tore et quelques autres. Ce sont
des surfaces au sens où l'entend l'homme de la rue, c'est à dire
que ce sont des objets à 2 dimensions qu'on représente dans un
espace euclidien à trois dimensions, R3, qui est notre espace mental
de représentation. Ces surfaces peuvent faire l'objet de plusieurs types
de représentations. Si elles ne se recoupent pas elles-même, on
dira qu'elles sont plongées (dans R3). Si elle se recoupent
on parlera alors d'immersions et ce recoupement se traduira alors par
la présence d'un ensemble d'auto-intersection (self-intersection).
Dans nos plongements on supposera que le plan tangent
varie continûment et que la surface est exemple de singularités
comme pourrait l'être par exemple le sommet d'un cône. Nos surfaces
seront régulières.
Dans le cas des immersions on demandera alors à
ce que le long des lignes d'auto-intersection les deux plans tangents aux nappes
qui se croisent soient distincts.
Le monde la géométrie, tel que le conçoit
le mathématicien, est assez différent du monde physique. Le fait
que les surfaces puisse s'auto-traverser ne le gêne nullement. Le monde
physique ne permet pas ce genre de chose. Mais cela devient possible dans le
monde métaphysique. Ainsi dans la Bible on lit que lorsque les morts
ressusciteront, cela sera sous la forme de "corps glorieux". Ils pourront
alors passer au travers de n'importe quoi et en principe seront capables de
se traverser eux-mêmes. Ainsi, quand le temps du Jugement Dernier sera
venu, si vous baladez dans Rome sous forme de corps glorieux, que vous êtes
perdu et que vous cherchiez la piazza Navona, vous pourrez être tenté
de demander votre chemin à un autre mortel ressuscité, ayant la
même apparence que vous. Supposons que la personne que vous interrogez
se dirige dans la direction opposée par rapport à cette place.
Dans l'espace physique ordinaire, pour vous indiquer le bon chemin il lui faudrait
pivoter sur lui-même pour pointer son doit dans cette direction. Mais
s'il chemine sous forme de corps glorieux, cette rotation ne sera plus nécessaire.
Il pourra pointer son index sur son nombril et se traverser lui-même.
Lorsque sa main réapparaîtra en émergeant de son dos il
ne lui restera plus qu'à vous dire "c'est par là". En
enfonçant son bras au travers de son ventre il aura créé
dans son enveloppe corporelle un ensemble d'auto-intersection constitué
par deux cercles, qui disparaîtra lorsqu'il reprendra sa configuration
normale.
Si un être humain ferme la bouche, met une pince
à linge sur ses narines pour les obturer et qu'on fait abstraction de
ses autres orifices naturels son enveloppe corporelle adopte alors la topologie
de la sphère S2. Imaginons un être ressuscité sous forme
de corps glorieux dont les orifices naturels seraient ainsi obturés.
Nous savons qu'il peut se traverser lui-même, c'est à dire que
son enveloppe corporelle peut passer d'une situation de plongement à
une situation d'immersion. Un des problèmes métaphysique qui s'est
alors posé a été de savoir si un bonhomme resuscité
sous forme de corps glorieux pouvait se retourner dans faire de plis.
Une petite remarque en passant. Les prestidigitateurs
savent utiliser des "cercles magiques" qui peuvent s'interpénétrer
"de façon magique". On pourrait imaginer de représenter
des surfaces à l'aide d'une sorte de "grillage magique" tels
que les deux nappes, représentées ici l'une en noir et l'autre
en rose, puissent se traverser dans difficulté.
Le grillage magique
De toute façon, il faut convenir qu'ils n'y a
souvent pas beaucoup de différence entre les mathématiques et
la magie. J'ai conçu il y a vingt ans une bande dessinée : le
Topologicon. Elle est maintenant épuisée et introuvable, sauf
sous forme d'objet de collection. Sur l'une des pages on pouvait voir ceci :
Il est bien dommage que les éditions
Belin aient décidé d'abandonner cette collection. Il faut dire
qu'avec un prix de fabrication d'à peine plus d'un euros, vendre les
albums 13 euros (plus le port), en vente par correspondance, en dehors du fait
que cela laissait une marge bénéficiaire de 12 euros, c'est à
dire avec un bénéfice dépassant 92 pour cent du prix de
vente, ne correspond pas à une stratégie commerciale très
évidente, surtout pour du noir et blanc.
Considérons une sphère S2 plongée
dans R3. Nous supposons que sa surface extérieure est grise et que son
intérieur a une couleur vieux rose. Nous pouvons appuyer sur deux points
antipodaux, que nous appellerions arbitraitement "pôle nord"
et "pôle sud", jusqu'à les mettre en contact selon un
point. On peut faire ça par exemple avec un beignet. Quand il s'agit
d'un beignet mathématique (on ne sait pas si les beignets ressuscitent
ou non sous forme de corps glorieux) les deux régions polaires, après
avoir été en contact selon un point, peuvent s'auto-traverser
selon une courbe d'auto-intersection qui affecte la forme d'un cercle. En anticipant,
nous dirons que cette surface à subi une catastrophe de type Do.
On peut alors être tenté d'essayer de retourner
le beignet, la sphère, en poursuivant l'opération. Mais alors
un bourrelet va se former, qui va dégénérer selon un vilain
pli, ou plus exacterment une surface de rebroussement (figure d). .
A la fin des années cinquante la grave question
de savoir si on pouvait retourner des beignets métaphysiques sans faire
de plis restait non résolue. A dire vrai, tout le monde pensait que cela
était strictement impossible. Mais en 1957 un mathématicien, Stephen
Smale (qui reçut la médaille Field mais pour un tout autre travail
) démontra que les différentes immersions de la sphère
S2 dans R3 constituaient un unique ensemble et qu'il était toujours possible
de trouver une suite de déformations continues d'immersions (qu'on appelle
aussi homotopie régulière) permettant de passer d'une situation
à une autre. Le corollaire était qu'on devait pouvoir passer à
l'aide d'une suite continue d'immersion du plongement standard de la sphère
S2 au plongement antipodal. Dit en termes plus simples : on devait pouvoir retourner
une sphère sans faire de plis, à condition de lui permettre de
se retourner elle-même.
Le patron de Smale s'appelait Raoul Bott. Celui-ci demanda
à son élève comment on devait s'y prendre et Smale répondit
qu'il n'en avait pas la moindre idée, mais que son théorème
était totalement inattaquable. Smale ne voyait pas du tout dans l'espace
mais il n'en avait cure (comme c'est le cas chez beaucoup de géomètres).
Et, si on est tout à fait franc, après avoir démontré
son théorème il se moquait éperduement de la façon
dont on pourrait s'y prendre pour concrétiser la chose et s'était
empressé de s'intéresser à un autre sujet, laissant ses
collègues mathématiciens dans la plus grande perplexité.
je trouve que ça n'est pas très sympa de créer comme ça
des problème et de laisser ensuite les gens se débrouiller pour
trouver la solution, dix ans après.
Il faut dire qu'il est assez difficile d'imaginer des
immersions, dans sa tête. Pourtant on connaît des surface qui ne
peuvent être représentées dans R3 que de cette façon.
La bouteille de Klein, par exemple.
Bouteille de Klein
On l'a représentée ici avec un système
de maillage-système de coordonnées constitué par deux ensembles
de courbes fermées, comme le tore. On peut ainsi mailler une bouteille
de Klein sans créer de singularité de maillage. Mais comme on
peut le voir cette surface s'auto-traverse nécessairement selon une courbe
fermée, un cercle. On ne peut donc pas plonger une bouteille de Klein
dans R3. J'ai essayé, ça ne marchepas. On ne peut que l'immerger.
Grâce à mes talents de dessinateur vous arrivez à peu près
à vous représenter cet objet. Mais quand il s'est agi de retourner
une sphère il a fallu envisager des configurations beaucoup plus compliquées.
La façon de les représenter n'était pas des plus commodes.
Certains utilisaient de la pâte à modeler. Quand on les voyait
discuter entre eux dans des colloques, ils se mettaient généralement
à l'écart, et ouvrait devant leurs collègues des boites
à chaussures ou des cartons à chapeaux, contenant des objets plus
ou moins monstrueux. Le dessin ci-dessus évoque la façon la plus
commode de construire ces objets et de les manipuler : avec ce qu'on appelle
du "fil de fer cuivré", un alliage qui est assez souple pour
que l'on puisse le plier sans difficulté, mais qui conserve néanmoins
son élasticité. La meilleure façon de procéder consiste
alors à matérialiser les point de rencontre des lignes (nous recommandons
des tiges de 2 mm de diamètre) en les fixant à l'aide de ligatures
de fil. L'avantage est qu'on peut les faire glisser, du moins jusqu'à
ce qu'on considère que l'objet a acquis une forme définitive.
On peut alors supprimer tout glissement à l'aide d'un point de colle.
Dans la pratique il est assez rare qu'on ait à
se servire de bouteilles de Klein. Ci-après, une photographie d'une bouteille
de Klein que j'utilise pour mes besoins personnels.
Ces objets, pour peu qu'on ait quelque sens des formes,
sont assez beaux. J'en ai fait construire un certain nombre quand j'étais
professeur de sculpture à l'Ecole des Beaux-Arts d'Aix en Provence Mais
avant que je ne passe à cette technique il y eut bien des tâtonnements
où nous mélangions le fil de fer mou et le carton, ce qui donnait
des résultats d'une esthétique tout à fait discutable.
Je me rappelle qu'un jour j'avais du prendre le train à Marseille pour
amener à Paris à mon regretté ami le mathématicien
André Lichnérowicz plusieurs surfaces dont j'avais réussi
à construire des représentations sufisamment parlantes. Il y avait
en particulier la surface de Boy où j'avais plaqué une cartographie
centré sur un pôle unique. Cela a donné à la fin
un objet absolument superbe, qui fut exposé pendant vingt ans dans la
salle pi du Palais de la Découverte de Paris.
Mais il y a un an la direction du Musée estima que cette surface était
passée de mode et elle repose maintenant dans un grenier ou dans une
cave. J'espère qu'elle n'a pas été écrasée
dans le transport. Tout cela pour dire que vous ne pourrez maintenant voir de
surface de Boy nulle part, sinon dans des livres, ou dans un CD ROM sur lequel
j'ai consigné mes 18 bandes dessinées scientifiques en format
pdf, dont le Topologicon. Comment
se procurer ce CD-rom.
Mais revenons à ce voyage que j'avais entrepris,
de Marseille à Paris. J'étais déjà encombré
par deux valises et j'avais décidé de prendre avec moi trois modèles.
La seule solution avait été de les accrocher autour de mon cou.
Mais quand j'ai traversé le hall de la gare et que j'ai vu comment les
gens me regardaient j'ai compris qu'ils s'imaginaient avoir affaire à
un fou qui avait obtenu de son asile une permission de sortie. Il aurait été
totalement vain de tenter de leur expliquer le contraire et j'ai du subir ce
calvaire avec toute la dignité possible.
Ce qui est amusant c'est que les gens qui construisent
des choses de ce genre sont assez rares. Il y avait en Amérique un mathématicien
nommé Charles Pugh, qui travaillait au département de mathématiques
de l'université de Berkeley. J'aurai l'occasion de reparler de lui par
la suite. Pugh était absolument génial avec le grillage pour les
poules, mais personnellement j'ai toujours préféré la technique
du fil de fer cuivré.
Revenons à cette histoire de retournement de sphère.
Le premier qui réussit à venir à bout de ce problème
fut le géomètre Anthony Phillips Il publia son travail, c'est
à dire une suite de dessins dans un numéro de Scientific Americain,
en 1967. Il y a plusieurs façons de retourner une sphère. L'une
consiste à amener chaque point de la sphère en coïncidence
avec son antipode. Elle prend alors la forme d'une surface de Boy. J'ai toujours
rêvé de trouver un sponsor pour construire une magnifique sculpture
qui représenterait un globe terrestre qui serait replié en surface
de Boy. Faute de pouvoir construire l'objet j'en ai fait l'illustration de couverture
du Topologicon :
La sphère terrestre recollée sur elle-même
selon une surface de Boy
Dans une telle configuration, si on creuse
un trou au pôle nord on émerge aussitôt de l'autre côté,
au pôle sud, puisque ces deux points sont antipodaux. Un Français
qui creuserait un trou dans sa cave se retrouverait en Nouvelle Zélande,
etc.
La version trouvée par Anthony Phillips
consiste effectivement à décrire la façon dont la sphère
se configure en forme de revêtement à deux feuillets de la surface
de Boy, qui est bien entendu une surface unilatère. Si on disposait d'un
produit magique, la traversine, qui donnerait aux surfaces le don de
pouvoir se traverser elles-mêmes, il suffirait de joindre chaque à
son antipode par un fil, qu'on ferait se rétrécir jusqu'à
devenir de longueur nulle. Si on ne peut pas aisément représenter
cette transformation on peut néanmoins s'intéresser à une
partie de la sphère, par exemple son voisinage équatorial. C''est
ce qui a été fait dans les animations qui suivent. Cette surface,
dotée de deux bords circulaires ressemble à une jante de roue
de bicyclette. On a figuré trois rayons, reliés aux points diamétralement
opposés. En faisant tendre la longueur de ces rayons vers zéro
cette bande bilatère se configurera en revêtement à deux
feuillets d'un ruban de Moebius à trois demi-tours. Ci-après,
deux animations assez grossières. celle de gauche est lente et celle
de droite rapide.
Ce ruban de Moebius à trois demi-tours
est le "voisinage équatorial" de la surface de Boy. C'est
sur cette bande que vient s'enrouler l'équateur de la sphère.
" L'équateur " de la surface de Boy
Quant aux deux pôles de la sphère
ils viennent en coïncidence sur le pôle unique de la surface. Celle-ci,
comme la bouteille de Klein, ne peut être plongée dans R3. Elle
ne peut qu'être représentée sous forme d'une immersion.
Elle possède alors un ensemble d'auto-intersection qui a la forme d'une
hélice à trois pales dont on aperçoit des extrémité,
qui ressemblent aux "tympans" de trois "oreilles". Dans
les planches suivantes on trouvera quelques éléments pour mieux
"lire" cette surface. En cas de problème, procurez-vous un
Topologicon.
En haut et à gauche une surface
de Boy. Comme cette surface est unilatère ont ne saurait utiliser deux
couleurs. En b' l'ensemble d'auto-intersection, trifolié,
évoquant les pales d'une hélice en b".
La courbe se recoupe en un point triple T. Les dessins suivants sont là
pour aider le lecteur à s'y retrouver.
Tout est bon pour tenter d'illustrer la
structure d'une surface : des bandelettes, un montage avec des pièces
rapportées. On voit qu'un sculpteur trouverait son bonheur avec cet objet
réellement fascinant. Un mot au passage sur son histoire. En 1901 un
étudiant du grand mathématicien allemand Hilbert, Werner Boy,
évoqua devant lui une surface dont personne n'avait eu l'idée
auparavant. Les vacances étaient toutes proches. Hilbert dit à
son étudiant :
- Ce problème me paraît intéressant. Si
vous voulez, revenez me voir à la rentrée, nous en discuterons.
Les vacances passèrent, mais à
la rentrée Boy ne réapparut pas. Au bout de deux mois, Hilbert
esseya de le trouver. D'autres étudiants lui ayant signalé son
adresse, il s'y rendit. Mais la logeuse lui déclara que le jeune Werner
Boy lui avait rendu les clés avant l'été et qu'il n'était
plus réapparu. Toutes les recherches menées pour le retrouver
s'avérèrent vaines, de même que celles de retrouver des
membres de sa famille. Il se volatilisa littéralement. Si vous vous rendez
en Allemagne, n'espérez pas vous rendre sur la tombe de cet illustre
inventeur : elle n'existe pas.
Sur la dernière figure, en bas et
à droite, on a fait figurer, en blanc, la surface de Boy proprement dite
et avec des couleurs grises et roses les deux côtés de la sphère
qui la revêt. Les points A et A' sont, sur cette sphère, antipodaux.
On comprend en tout cas comment ce revêtement à deux feuillets
de la surface de Boy peut être utilisé pour retourner la sphère.
Supposons que nous disposions de la suite de transformations, de l'homotopie
régulière qui ait permis de transformer une sphère rose
à l'extérieur, grise à l'intérieur en cette figure
en bas et à droite. Il suffirait alors d'échanger les deux nappes
(en les faisant s'auto-traverser), entre autre les points A et A' et d'opérer
les mêmes transformations, effectuées à rebours, pour tomber
sur le plongement antipodal de cette sphère, présentant cette
fois sa couleur grise à l'extérieur.
Dans la même logique on peut s'attendre
à ce qu'un tore puisse se configurer en revêtement à deux
feuillets d'une ... bouteille de Klein. Voici à quoi ressemble ce revêtement.
Revêtement à deux feuillets de la bouteille
de Klein
Si on parvient à configurer un tore
de cette façon il suffit encore une fois d'échanger les nappes
adjacentes, situées de part et d'autres de la bouteille de Klein (non
représentée ici), puis d'opérer les opérations en
sens inverse pour tomber sur le tore retourné. Ce travail a été
présenté dans le numéro de janvier 1979 de Pour la Science
dans un article signé B. Morin et J.P.Petit. Je me suis chargé
de la partie dessine et Morin du texte. Bien qu'il ait cité beaucoup
de monde dans ce papier, il m'a oublié au passage, comme il a oublié
de mentionner que j'étais l'inventeur de cette partie du travail, présenté
sur les pages 46 et 47. Mais ce sont des choses qui arrivent quand on collabore
étroitement avec un collègue. Vous savez comment c'est : on est
tellement habitué à sa présence depuis des années
et on est tellement soucieux de n'oublier personne qu'on finit par l'oublier
lui, comme s'il faisait partie du mobilier. Pour plus de détails ce travail
a été publié sous mon nom aux Comptes Rendus de l'Académie
des Sciences de Paris le 20 novembre 1978, sous le titre "Retournement
non-trivial du tore", l'article ayant été présenté
par l'Académicien André Lichnérowicz.