Le Retournement de la Sphère
8 décembre
2004
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Permutation des points cuspidaux d'une crosscap
Ceci va constituer un petit intermède,
sur le mode "à quoi peut servir le retournement de la sphère
? ". Ici : à permuter les deux points cuspidaux d'une Crosscap,
ce qui pouvait sembler a priori impossible. J'ai inventé ce petit truc
il y a une bonne douzaine d'années. Ca n'a jamais été publié.
Mais où publier ce genre de chose? On ne sait pas trop. Il ne s'agit
pas "d'un résultat majeur en mathématiques", mais c'est
un xercice quand même assez séduisant. Dans ce qui va suivre on
va faire usage de représentations polyédriques. A droite la Crosscap
"ronde" et à gauche une de ses multiples représentations
polyédriques possibles.
La Crosscap avec une de ses multiples représentations
polyédriques.
Dans la figure en bas et à droite
on s'est arrangé pour loger les deux points cuspidaux C1 et C2 situés
à l'extrêmité de sa ligne d'auto-intersection dans ce qu'on
peut considérer comme une portion de sphère. Nous savons que nous
pouvons retourner une sphère. Donc nous pouvons faire subir à
cet objet le même traitement, sans nous préoccuper des différentes
étapes de cette transformation. En polyédrique cela consistera
à retourner le cube.
Tout ce que nous savons c'est qu'en fin
d'opération on aura deux sortes d'invaginations qui se présentent
comme ce que verrait un observateur qui se situerait "à l'intérieur"
de la Crosscap initiale ( ce qui est une expression impropre puisque cette surface
est unilatère ).
Après retournement, du cube à gauche,
de la sphère à droite
La représentation polyédrique
est quand même sacrément commode pour ne pas perdre le fil de ces
opérations. Il ne reste plus qu'à enfiler deux doigts dans ces
invaginations et de tirer le tout vers l'extérieur :
Tirer le point cuspidal C2 "à l'extérieur"
Si cela vous amuse, vous pourrez construire
les modèles polyédriques avec du carton. A moins qu'un courageux
ne construise ces modèles en vrml pour qu'on puisse les manipuler.
Il ne reste plus qu'à finaliser l'opération.
Passage à une immersion identique à celle
du départ, avec les points cuspidaux permutés.
J'ai promis, un jour, de faire un dossier
racontant mes rencontres avec le psychanalyste Jacques Lacan. La Crosscap lui
avait servi pour modéliser le "fantasme fondamental". Il s'était
polarisé sur le "point cuspidal central" et négligeant
simplement le second. En cette région centrale Lacan avait localisé
le "phallus linguistique" ou "objet petit a". Je vous raconterai
le reste une autre fois. Toujours est-il que Lacan n'avait pas prévu
que ces points puissent être " père - mutés ".
En fait, quand il m'avait parlé de cette modélisation linguistico
- géométrico - psychanalytique j'avais froncé les sourcils
en imaginant que dans cette Crosscap les deux points cuspidaux puissent jouer
les rôles différents et, dans la seconde qui suivait, simplement
en m'étant posé la question, j'avais trouvé comment les
échanger. Lacan en fut assez sidéré, je me rappelle. Son
fantasme fondamental avait deux phallus linguistiques au lieu d'un seul. Toute
son affaire avait été articulée autour de cet objet. Mais
je lui ai aussitôt proposé une solution de rechange en situant
le phallus linguistique au pôle (unique) d'une surface de Boy. Ainsi,
tout rentra dans l'ordre à sa grande satisfaction.
Cet épisode se situe assez peu de
temps avant sa mort. A ce que j'ai pu constater, ce redéploiement psychanalytico-géométrique
n'a apparemment pas encore diffusé au sein de la communauté des
psychanalystes lacaniens.