Le Retournement du Tore
9 décembre 2004
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Une retombée de ces travaux : le retournement trivial
du tore
S'il s'était avéré
si compliqué de retourner une sphère, par contre, partant de là,
il est extrêmement facile de retourner un tore. On peut même dire
que c'est à la portée d'un enfant de dix ans. Celui-ci n'est après
tout d'une sphère munie d'une anse. On procède comme cela fut
fait pour permuter les deux points cuspidaux d'une Crosscap, c'est à
dire qu'on retourne la sphère sans se poser de questions. L'anse se retrouve
alors à l'intérieur. Disons que ce "pont", se transforme
en "passage souterrain". Or, tous les ingénieurs des travaux
publics le savent, tout passage souterrain, dans un réseau routier, peut
être transformé en point à l'aide d'une homotopie régulière.
Quand la sphère est retournée
il suffit alors de glisser un doigt dans ce passage et de tire un coup sec.
Voir les dessins ci-après.
Le retournement trivial du tore
Bien que cela se voie assez mal sur ce dessin
on a fait figurer en a un des cercles générateurs
du tore, ceux-ci constituant une des deux familles de cercles permettant de
le cartographier sans créer de singularité de maillage ( voir
le Topologicon ). Lorsque l'anse a été concentrée dans
une région d'une sphère ansée b la courbe
est toujours visible. Quand la sphère ansée a été
retournée, en c, et que l'opérateur glisse son
doigt dans le passage, cette courbe entoure son doigt. Quand il "extrait"
l'anse, en d, on voit ( image finale e, celle
du tore retourné ) que ce cercle est devenu le .. cercle de gorge de
la surface. Ainsi, quand on part d'un tore cartographié à l'aide
d'un double réseau de cercles méridiens et de cercles parallèles
( le cercle de gorge appartenant à cette seconde famille ) on voit que
l'opération de retournement échange ces deux familles.
Cela a quelque chose de magique et j'avoue que cela dépasse mon entendement
personnel. Chacun doit apprendre à connaître ses limites. Je pense
personnellement qu'il il y a certaines démarches mentales où le
cerveau devrait être équipé d'un fusible.