comological model with variable light velocity

MODÈLE COSMOLOGIQUE À VITESSE DE LA LUMIÈRE VARIABLE :

INTERPRÉTATION DES DÉCALAGES ROUGES.

Jean-Pierre PETIT.

Observatoire de Marseille

Physics Letters A, Vol.3, n° 18, déc. 1988, p.1733

RÉSUMÉ :

c

Le modèle à vitesse de la lumière variable c, constante gravitationnelle G, constante de Planck h, présenté dans la référence [1], est étendu à l'électromagnétisme. L'entropie est trouvée proportionnelle à Log t et, dans une représentation espace-entropie, la métrique est conforme à une métrique plate. Une nouvelle relation de jauge est proposée, fondée sur des considérations géométriques, correspondant à une constante de Rydberg variant comme R. La loi de Hubble reste valable. L'âge de l'univers reste inchangé tandis que son rayon est trouvé être la moitié de la valeur de Mattig. Le décodage complet du décalage rouge devient possible. Les distances des sources sont très similaires. Les densités volumiques de puissance des quasars lointains auraient pu être grandement surestimées, tandis que l'augmentation de leur magnitude absolue, telle qu'obtenue par la théorie classique, pourrait être due à la variation séculaire de c. En supposant que le rapport masse électron-proton varie comme R, on obtient une constante de structure fine a, un rayon de Bohr et un rapport force électromagnétique sur force gravitationnelle qui se comportent comme des constantes absolues.

1 - INTRODUCTION

Plusieurs auteurs ont tenté de développer des modèles avec des constantes physiques variant dans le temps [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Aucun n'a remis en question la vitesse de la lumière c, toujours considérée comme une constante absolue. Si l'on veut préserver la forme des équations de conservation, la constante d'Einstein

c = - 8 p G / c 2 doit être considérée comme une constante absolue. Dans ces conditions, si l'on veut maintenir la vitesse de la lumière c comme une constante absolue et une constante gravitationnelle Gvariable, il faut ajouter un terme source à l'équation de champ, voir la référence [3]. Ainsi, toutes ces théories impliquent une création constante de matière.

Dans un article précédent [1], nous avons montré qu'une vitesse de la lumière variable pouvait conduire à un modèle cohérent si à la fois Get la constante de Planck h suivaient des relations de jauge convenables. Ainsi, la création constante de matière n'était plus nécessaire. L'extension de la métrique de Robertson-Walker à une configuration à vitesse de la lumière variable, introduite dans l'équation de champ, a donné un ensemble complet de relations de jauge. Rappelons les caractéristiques principales du modèle décrit dans [1] :

(1)

(2) m (masse des particules) » R

(3) h (constante de Planck) » R 3/2 » t

(4) G (constante gravitationnelle) » 1/R

(5) R (longueur caractéristique) » t 2/3

(6) V (vitesse d'une particule libre) » R -1/2 » c

(7) r (densité de masse) » 1/R 2

(8) mc 2 = constante

Voici une brève digression sur l'entropie.

2. TEMPS OU ENTROPIE ?

La formulation relativiste de la fonction de distribution de vitesse est :

(9)

où m est la masse au repos, Tla température, n la densité de nombre et K2 une fonction de Bessel.

Si b = (<v 2 > 1/2 / c) << 1, on obtient la fonction de distribution classique de Maxwell-Boltzmann :

(10)

Calculons maintenant l'entropie par baryon, définie par :

(11)

où k est la constante de Boltzmann. Nous avons n » R -3, m » Ret R » t 2/3, T = constante (voir référence [1]), telles que :

(12)

Alors :

(13) s = k Log t + H(b)

Dans le modèle, b est invariant de jauge, de sorte que s » Log t.

Dans la cosmologie classique, l'univers est isentropique. On pourrait considérer quelque peu paradoxal qu'un tel changement énorme dans le temps s'accompagne d'une variation d'entropie presque nulle. Dans le nouveau modèle, l'entropie croît avec le temps. Notons que la singularité du BIG BANG correspond à s = - ¥.

Définissons maintenant l'entropie par :

(14) s = 3/2 k Log t

Revenons à la métrique de Robertson-Walker

(15)

Nous obtenons :

(16)

Dans la représentation {entropie, variables d'espace}, la métrique est conforme à une métrique plate. Du point de vue cosmologique, l'entropie (qui, d'autre part, est invariante par transformation de Lorentz) pourrait être un meilleur choix que le temps.

En outre, si nous décrivons l'univers dans un espace des phases (position plus vitesse), nous trouvons que l'hypervolume caractéristique associé R 3 c 3 varie comme t.

3. LE DÉCALAGE ROUGE ET LA MÉTRIQUE DE ROBERTSON-WALKER :

Considérons un objet rayonnant, disons une nébuleuse N1, pouvant être considéré comme une particule. Supposons que sa lumière soit observée sur une nébuleuse N2 placée à l'origine des coordonnées comobiles. La nébuleuse N1 est caractérisée par la valeur de son marqueur de distance indépendant du temps z, définie par la relation :

(17)

La lumière émise à l'instant t1 est observée sur N2 à l'instant t2 avec t2 > t1.

La distance entre N1 et N2 est R(t) dz et est dépendante du temps, mais dz ne l'est pas. La lumière se propage sur une géodésique nulle :

(18)

ds 2 = (dx°) 2 - R 2 dz 2 = 0

Considérons la lumière émise par N1 à une valeur correspondante x°1 + Dx°1 du paramètre chronologique. Elle sera reçue à x°2 + Dx°2, où elle sera déterminée par la relation :

(19)

Considérons Dx°1 comme l'équivalent de la période d'un phénomène physique, par exemple l'émission de rayonnement sur N1, et Dx° comme étant court par rapport à l'équivalent du temps de trajet de N1 à N2 (en termes de paramètre chronologique x°). Le phénomène périodique apparaîtra, vu depuis N2, comme ayant une « période » Dx°2, telle que, d'après la relation ci-dessus, l'accroissement de l'intégrale q sera nul. Cela, par un calcul élémentaire, donne :

(20)

Introduisons maintenant le temps cosmologique t défini précédemment par dx° = c dt et notons R(x°1) = R1, R(x°2) = R2, c(x°2) = c2, c(x°1) = c1, nous obtenons :

(21)

4. LE PROBLÈME DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME :

Nous ne pouvons plus affirmer que l'énergie Ei(t1), émise par l'atome à l'instant t1, serait identique à l'énergie d'émission correspondante Ei(t2) d'un atome similaire à l'instant t2, dans les conditions de laboratoire. L'émission de lumière est un phénomène électromagnétique. Tout le monde sait que la description classique du champ, appliquée à un espace-temps quadridimensionnel, ne prend pas en compte le phénomène électromagnétique. Pour obtenir une description complète de l'univers, la gravitation et l'électromagnétisme devraient être intégrés dans un cadre géométrique commun. Malheureusement, cela n'a pas encore été fait de manière satisfaisante, de sorte que notre travail perd un peu de sa cohérence. Supposons, par exemple, que la constante de Rydberg (énergie d'ionisation de l'hydrogène) obéisse simplement à la relation de jauge hypothétique suivante :

(22)

Ei » Rg

(Notons que ceci est une hypothèse totalement arbitraire). Explorons les conséquences de cette hypothèse sur le décodage du décalage rouge. Plus tard, nous tâcherons de la relier à des relations de jauge possibles.

5. LE PHÉNOMÈNE DU DÉCALAGE ROUGE :

Dans la description classique, le décalage rouge z est dû à l'effet Doppler, plus un effet supplémentaire de la relativité restreinte. L'indice 1 se réfère à l'émetteur et l'indice 2 au récepteur. Pour une ligne spectrale donnée, appelons E1 = h1 n1o l'énergie d'émission et E2 = h2 n2o l'énergie d'émission correspondante dans les conditions actuelles du laboratoire, pour la même ligne. La lumière est émise par un atome au repos à la fréquence n1 = n1o, correspondant à la longueur d'onde l1 = c1 / n1 = l1O. n2 sera la fréquence de réception mesurée, avec l2 = c2 / n2 et l2o = c2 / n2o. L'énergie de tout processus radiatif suivra la loi générale de jauge supposée (22).

Nous pouvons définir le décalage rouge z :

• Comme le rapport entre les longueurs d'onde :

(23)

(24)

(a)

(b)

(c)

nous obtenons :

(25)

Notons que, pour g = 1, nous retrouvons le modèle classique.

• Comme le rapport entre les fréquences :

(26)

nous obtenons le même résultat.

• Comme le rapport entre les énergies.

(27)

même chose. La relation classique suggère le choix g = 1.

6. LA LOI DE HUBBLE ET LA MÉTRIQUE DE ROBERTSON-WALKER :

Développons la fonction 1/R(t) en série par rapport à

(28)

nous obtenons :

(29)

Dans R'2 et R"2, la prime désigne la dérivation par rapport à t.

En particulier, au premier ordre :

(30)

Ensuite, développons les expressions suivantes :

(31a)

(b)

(c)

En nous référant à l'ordre un :

(32)

Comme première approximation, l'astronome mesure d2 @ R2 z, de sorte que :

(33)

Ce n'est rien d'autre que la loi du décalage rouge de Hubble, qui reste valable dans ce cadre à vitesse de la lumière variable. À partir de la mesure de d2, c2 et z, nous pouvons déduire la constante dite de Hubble, c'est-à-dire l'âge de l'univers.

Prenons R = 3/2 c t (voir référence [1]).

(34)

L'âge de l'univers correspond à :

(35)

Une valeur g = 1 donne la valeur du modèle standard.

7. LE DÉCALAGE ROUGE ET L'ÉVALUATION DE LA DISTANCE :

Revenons à la métrique de Robertson-Walker, qui fournit :

(36)

Dans l'approche classique, prenons le modèle d'Einstein-de Sitter (k = 0). Nous obtenons :

(37a)

Avec R = a t 2/3, nous avons :

(b)

d'où

(38)

Si z est faible : d2 » 3/2 ct2 z

si z tend vers l'infini : d2 tend vers 3 c t2

Bien sûr, la formule de Mattig donne le même résultat :

(39a)

(b)

(c)

Revenons à la métrique de Robertson-Walker, suivant notre modèle, avec k = -1 :

(d)

écrivons :

(e)

(f)

Soit :

(g)

Alors :

(h)

Pour les chemins radiaux :

(i)

(j)

Log (1 + z) = Arg th u

(k)

(l)

Quand z tend vers l'infini, nous retrouvons l'horizon (3/2)c2 t2, qui est deux fois plus petit que la valeur standard 3 c2 t2.

Remarquez que ceci est complètement similaire à la loi donnant v r /c (où v r est la vitesse radiale) en fonction de z, dans le modèle standard.

Comparons les distances, telles qu'elles sont données par notre modèle et le modèle standard.

(40)

Elles sont similaires pour de faibles valeurs de z.

8. LE PROBLÈME DES QUASARS :

Les quasars correspondent actuellement à des valeurs de z allant de 0,13 à 4. Les diamètres des quasars sont estimés à partir de leur période de fluctuation T. Nous obtenons un diamètre maximal c T.

Par rapport à l'approche standard, ce modèle donne des valeurs plus grandes, car c était plus grande à une époque antérieure.

La puissance volumique est rapportée à la taille des galaxies. Appelons P QSO la puissance absolue émise par un quasar et P Gla puissance absolue émise par une galaxie. La densité de puissance relative du QSO, par rapport à une galaxie, est :

(41)

Mais dans notre modèle, les galaxies ne sont plus constantes en taille. Elles croissent avec le temps. Supposons que le quasar soit intégré dans une galaxie. La taille de cette galaxie croîtra comme (1 + z). Ainsi, notre facteur correctif, par rapport aux valeurs standards pour la densité de puissance, impliquera trois effets :

• Changement de distance (elles sont un peu plus proches).

• Changement de diamètre (dû à la variation de c).

• Changement de taille de la galaxie.

Étant donné P QSO et P G, le coefficient (57) devient p' = p x avec :

(42)

c'est-à-dire :

(43)

z h x 0 1 1

0,13

1,025

0,606

Le quasar le plus proche

0,2

1,03

0,467

0,5

1,048

0,177

1

1,024

0,0463

1,5

0,985

0,0157

2

0,946

0,0063

2,5

0,912

0,00296

3

0,882

0,00152

3,5

0,856

0,000842

4

0,834

0,0005

Le quasar le plus éloigné

5

0,8

0,000201

6

0,771

0,0001

7

0,75

0,0000485

8

0,731

0,0000275

9

0,71

0,0000162

10

0,7

0,0000102

Nous voyons que cette correction réduit la magnitude absolue du quasar observé, et que cette correction augmente avec z. Ainsi, si ce modèle était bon, le modèle classique aurait grandement surestimé la densité volumique de puissance des quasars. En outre, l'augmentation observée de la magnitude absolue des quasars pourrait être due au changement séculaire de c.

Classiquement, l'étendue des galaxies est liée à la longueur de Jeans, mais le modèle ne fournit aucune information disponible sur les tailles d'objets émetteurs comme les étoiles ou les quasars. Cela dépend du processus d'émission d'énergie. Comme nous n'avons pas défini de relation de jauge possible pour les coefficients de fusion, nous n'avons pas encore de modèle disponible. En tout cas, les quasars pourraient croître dans le temps, comme les galaxies, et les observations tendent à soutenir cette hypothèse, qui sera examinée plus en détail dans le prochain article consacré à l'interaction détaillée du modèle avec les observations disponibles.

9. RELATIONS DE Jauge ASSOCIÉES.

L'énergie d'ionisation de l'hydrogène obéit à : Ei = 1/2 a 2 m e c 2, où a est la constante de structure fine et m e la masse de l'électron. Nous avons supposé que Ei » Rg avec g = 1, afin de s'ajuster au modèle classique, voir (25), (33) et (35). Introduisons le rapport masse électron-proton d = m e /m p. Selon le premier article [1], m p » m n » m » R. Ainsi, mc 2 est une constante absolue. Alors :

(44)

La constante de structure fine a et le rapport masse électron-proton d ne peuvent être maintenus constants ensemble. Nous envisagerons deux possibilités :

9.1) Prenons d » constante. Alors :

(45)

En introduisant les relations de jauge pour h et c, nous obtenons e 2 / e o » R 3/2 et la force électromagnétique Fem = e 2 /4 p e o R 2 » R -1/2.

Alors :

(46)

ce qui est similaire à une ancienne idée de Dirac [4, 5].

Calculons maintenant le rayon de Bohr :

(47)

9.2) Maintenant, prenons a » constante absolue. Alors m e » R 2, et e 2 / e o » R. La longueur

Comme première approximation, l'astronome mesure d

2

@

R 2 z

, tel que :

(33)

Ce n'est rien d'autre que la loi du décalage vers le rouge de Hubble, qui reste valable dans ces conditions de vitesse de la lumière variable. À partir de la mesure de d

2

, c

2

et z, nous pouvons déduire la constante dite de Hubble, c'est-à-dire l'âge de l'univers.

Soit R = 3/2 c t (voir référence [1]).

(34)

L'âge de l'univers correspond à :

(35)

Une valeur A g = 1 donne la valeur du modèle standard.

7. LE DÉCALAGE VERS LE ROUGE ET L'ÉVALUATION DE LA DISTANCE :

Revenons au métrique de Robertson-Walker, qui donne :

(36)

(37a)

Avec R = a t

2/3

, nous avons :

(b)

d'où

(38)

Si z est faible : d

2

» 3/2 ct 2 z

si z tend vers l'infini : d

2

tend vers 3 c t

2

Bien sûr, la formule de Mattig donne le même résultat :

(39a)

(b)

(c)

Revenons au métrique de Robertson-Walker, selon notre modèle, avec k = -1 :

(d)

écrivons :

(e)

(f)

Soit :

(g)

Alors :

(h)

Pour les chemins radiaux :

(i)

(j)

Log (1 + z) = Arg th u

(k)

(l)

Lorsque z tend vers l'infini, nous retrouvons l'horizon (3/2)c

2 t 2

, qui est deux fois plus petit que la valeur standard 3 c

2 t 2

.

Remarquez que ceci est complètement similaire à la loi donnant v

r

/c (où v

r

est la vitesse radiale) en fonction de z, dans le modèle standard.

Comparons les distances, telles qu'elles sont données par notre modèle et par le modèle standard.

(40)

Elles sont similaires pour de faibles valeurs de z.

8. LE PROBLÈME DES QUASARS :

Par rapport à l'approche standard, ce modèle donne des valeurs plus grandes, car c était plus élevé à une époque antérieure.

La puissance volumique est rapportée à la taille des galaxies. Appelons P

QSO

la puissance absolue émise par un quasar et P

G

la puissance absolue émise par une galaxie. La densité de puissance relative du QSO, par rapport à une galaxie, est :

(41)

Mais dans notre modèle, les galaxies ne sont plus constantes en taille. Elles croissent au fil du temps. Supposons que le quasar soit intégré dans une galaxie. La taille de cette galaxie croîtra comme (1 + z). Ainsi, notre facteur correctif, par rapport aux valeurs standards pour la densité de puissance, implique trois effets :

• Changement de distance (elles sont un peu plus proches).

• Changement de diamètre (en raison de la variation de c).

• Changement de taille de la galaxie.

Étant donné P

QSO

et P

G

, le coefficient (57) devient

p' = p x

avec :

(42)

c'est-à-dire :

(43)

z h x 0 1 1

0,13

1,025

0,606

Le quasar le plus proche

0,2

1,03

0,467

0,5

1,048

0,177

1

1,024

0,0463

1,5

0,985

0,0157

2

0,946

0,0063

2,5

0,912

0,00296

3

0,882

0,00152

3,5

0,856

0,000842

4

0,834

0,0005

Le quasar le plus éloigné

5

0,8

0,000201

6

0,771

0,0001

7

0,75

0,0000485

8

0,731

0,0000275

9

0,71

0,0000162

10

0,7

0,0000102

Nous voyons que cette correction réduit la magnitude absolue du quasar observé, et que cette correction augmente avec z. Ainsi, si ce modèle était bon, le modèle classique aurait grandement surestimé la densité de puissance volumique des quasars. En outre, l'augmentation observée de la magnitude absolue des quasars pourrait être due au changement séculaire de c.

9. RELATIONS DE Jauge ASSOCIÉES.

L'énergie d'ionisation de l'hydrogène obéit à : E

i

= 1/2

a 2 m e c 2

, où

a

est la constante de structure fine et m

e

la masse de l'électron. Nous avons supposé que E

i

» Rg

avec g = 1, afin de s'adapter au modèle classique, voir (25), (33) et (35). Introduisons le rapport de masse électron-proton d = m e /m p. Selon le premier article [1], m p » m n » m » R. Ainsi, mc

2

est une constante absolue. Alors :

(44)

La constante de structure fine a et le rapport de masse électron-proton d ne peuvent pas être maintenus constants ensemble. Nous envisagerons deux possibilités :

9.1) Prenons d » constant. Alors :

(45)

En introduisant les relations de jauge pour h et c, nous obtenons : e

2 / e o » R 3/2

et la force électromagnétique F

em

= e

2 /4 p e o R

2 » R

-1/2

.

Alors :

(46)

ce qui est similaire à une ancienne idée de Dirac [4, 5].

Calculons le rayon de Bohr :

(47)

9.2) Maintenant, prenons a » constante absolue. Alors m

e

» R

2

. et e

2 / e o » R. La longueur de Compton de l'électron h/m

e

c, le rapport entre la force gravitationnelle et la force électromagnétique et le rayon de Bohr deviennent des constantes absolues.

Dans les références [10] à [13], plusieurs auteurs étudient la possible variabilité de plusieurs grandeurs : a, a

2 (g p/g e)(m e/m p), m e/m p, où g p et g e sont les rapports gyro-magnétiques du proton et de l'électron. Selon B.E.G. PAGEL [13], nous avons :

Effet

Grandeur Limite supérieure approximative à 3 s de variation.

Écartement des doublets optiques.

a

3 %

Comparaison des décalages vers le rouge optiques et 21 cm.

a

2 (g p/g e)(m e/m p) 10

-3

Comparaison des décalages vers le rouge de l'hydrogène et des métaux.

d = m e/m p

50 %

En conséquence, nous choisissons la deuxième possibilité, avec un rapport de masse variable. Notez que dans les deux cas, nous obtenons g p/g e » 1/R.

10. CONCLUSION

Ici, nous avons essayé d'étendre le modèle introduit dans la référence [1] à l'électromagnétisme. Une loi de jauge a été suggérée : nous avons supposé que l'énergie d'ionisation Ei (constante de Rydberg) varie comme R

g

. Des considérations géométriques locales recommandent la valeur g = 1, qui tient compte du processus de désionisation pendant l'évolution cosmique. La distance d'une source radiative, telle qu'elle est déduite du métrique de Robertson-Walker, donne des résultats assez similaires aux valeurs du modèle standard, mais ce nouveau modèle tend à réduire considérablement la densité de puissance estimée des sources distantes comme les quasars. En outre, l'augmentation de la magnitude absolue en z, telle qu'elle est déduite du modèle classique, pourrait être due à la variation séculaire de c.

Avec un rapport de masse électron-proton d = m e/m p qui varie comme R, nous obtenons une constante de structure fine a qui se comporte comme une constante absolue.

REFERENCES :

[1]

J.P.PETIT : Une interprétation du modèle cosmologique à vitesse de la lumière variable. Modern Physics Letters A......

[2]

E.A. MILNE : Relativité cinématique Oxford 1948.

[3]

F.HOYLE & J.V.NARLIKAR : Modèles cosmologiques dans la théorie gravitationnelle invariante conforme. Mon. Notices Roy. Astr. Soc. 1972 155 pp 3O5-325.

[4]

P.A. DIRAC : 1937, Nature, 139, 323 [5]

P.A. DIRAC : 1973 Proc. Roy. Soc. London, A333, 4O3

[6]

V.CANUTO & J.LODENQUAI : Cosmologie de Dirac, Ap.J. 211 : 342-356 1977 15 janvier.

[7]

T.C.VAN FLANDERN : La constante gravitationnelle change-t-elle ? Ap.J, 248 : 813-816

[8]

A.JULG. L'hypothèse des grands nombres de Dirac et la création continue. Ap.J. 271 : 9-1O 1983 1er août

[9]

V.CANUTO & S.H. HSIEH : Le rayonnement du corps noir à 3 K, l'hypothèse des grands nombres de Dirac, et la cosmologie covariante à l'échelle. Ap.J., 224 : 3O2-307, 1978 1er septembre

[10]

B.E.J.PAGEL : Sur les limites de la variabilité passée du rapport de masse proton-électron imposées par les décalages vers le rouge des lignes d'absorption des quasars. Mon. Not. astr. Soc. (1977), communication courte, 81P-85P.

[11]

A.M.WOLFE & R.L.BROWN & M.S.ROBERTS. Limites à la variation des grandeurs atomiques fondamentales sur des échelles de temps cosmiques. Physical Review Letters Vol 37, numéro 4, 26 juillet 1976.

[12]

A.D.TUBBS & A.M.WOLFE : Preuves d'uniformité à grande échelle des lois physiques. A.P.J, 236 : L1O5-1O8, 198O 15 mars

[13]

B.E.J.PAGEL. Implications de la spectroscopie des quasars pour la constance des constantes. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 3 31O, 245-247 , 1983.