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Nous n'allons pas écrire les composantes du moment du groupe de Bargmann. Schématiquement écrivons le moment du groupe de Bargmann comme ci-après :
J B = { un scalaire m , plus les autres composantes du moment }
L'action coadjointe
indique comment se transforment les différentes composantes du moment. Mais cette action coadjointe commence par la relation simple :
(63)
m' = m
L'action coadjointe du groupe de Bargmann sur son moment commence par conserver conserve la masse, qui émerge ainsi avec un
statut purement géométrique
.
Construction de l'action coadjointe du groupe de Poincaré sur son espace des moments J
p
.
Si vous êtes déjà complètement largué, laissez tomber. C'est normal et ça va devenir de plus en plus hard au fil des pages. Je ne sais plus trop, à ce stade, à qui s'adresse ce qui suit. A des physiciens théoriciens ou à des mathématiciens sans doute, mais probablement pas à des plombiers-zingueurs. Mais un élève de Grande Ecole ou de licence de physique, qui s'accrochera pourra suivre. Ce ne sont jamais que des matrices.
Tout part d'un groupe de matrices de format (4,4) qui constituent le groupe de Lorentz, dont l'élément est
L.
Ceux-ci se définissent axiomatiquement à partir d'une matrice
G:
(64)
selon :
(65)
t L G L = G
faisant intervenir la transposée de la matrice
L.
Les matrice
Lforment un groupe.
Démonstration
.
L'élément neutre est
L
= 1 :
Soient
L 1
et
L 2
deux élément de l'ensemble. Vérifions que le produit
L 1 L 2
appartient au groupe. Si c'est le cas :
t ( L 1 L 2 ) G L 1 L 2 = G
Mais :
t ( A B
) =
t Bt A
Donc :
t ( L 1 L 2 ) G L 1 L 2 = t L 2 t L 1 G L 1 L 2 = t L 2 ( t L 1 G L 1 ) L 2 = t L 2 G L 2
Calculons ensuite l'inverse de la matrice L . On part de la définition axiomatique des éléments L :
t L G L = G
On multiplie à droite par
L -1
:
t L G L L -1 = G L -1 t L G = G L -1
On multiplie à gauche par
G:
Gt L G = G G L -1 Gt L G = L -1
Donc la matrice inverse de
Lest :
L -1 = Gt L G
Soit :
(66)
le vecteur espace-temps. La matrice
Gvient de la métrique de Minkowski, qui peut alors s'écrire ( avec c = 1) :
(67)
Exercice : montrer que la matrice inverse obéit à :
(68)
On introduit alors un vecteur translation spatio-temporelle :
(69)
A partir duquel on fabrique l'élément
g p du groupe de Poincaré :
(70)
Exercice : montrer que ceci forme un groupe et calculer la matrice inverse :
(71)
Ci-après le "vecteur tangent au groupe, élément de son "Algèbre-de-Lie" :
(72)
A partir de ceci on va calculer l'anti-action :
(73)
d g p
' =
g p -1 x d g p x g p
Par souci de commodité de calcul, on remarque que ;
(74)
Gd L
est une matrice antisymétrique. Appelons-là :
(75)
donc :
(76)
Posons :
(77)
A partir de ce matériel on va constituer l'anti-action :
(78)
d g p
' =
g p -1 x d g p x g p
Tous calculs fait on obtiendra l'application :
(79)
Si vous voulez sauter cette partie de simple calcul matriciel, reportez vous équation (80) , bas de page
(79a)
(79b)
d'où les éléments de l'anti-action :
(79c)
mais :
(79d)
donc :
(79e)
mais
GG
= 1
donc
:
(79f)
d'où on tire l'application :
(79g)
Ce qui constitue l'anti-action cherchée, l'application :
(80)
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