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Un élément
g
p du groupe de Poincaré Gp est défini par une suite de paramètres {
p
i}, dont, nous l'avons déjà dit, le nombre représente la
dimension du groupe
. La matrice
d g
(g = e)
est constituées avec les quantités {
dp
i} . L'application ci-dessus est donc du type :
(81)
Autrement dit, à une ensemble de scalaires
dp
i on fait correspondre un nombre égal de scalaires
dp
i
'.
La dualité consiste à postuler l'invariance d'un scalaire, selon :
(82)
n étant la dimension du groupe (dix, pour le groupe de Poincaré). Les scalaires Ji représentent les composantes du moment, de même nombre.
Nous déciderons de décomposer ce moment
Jen deux objets. Le premier sera une matrice
Manti-symétrique de format (4,4), donc ayant six composantes, et le second un "quadrivecteur"
P, matrice de de format (4,1) :
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Nous écrirons le produit scalaire sous la forme :
(85)
Tr signifiant "trace de", et nous aurons encore :
(86)
forme linéaire dont l'invariance assure la dualité.
avec :
(87)
(87b)
(87c)
mais
GG
= 1
donc ceci vaut :
(88)
Identifions les termes en
y (89)
C'est à dire :
(90)
----> Là encore suivent des détails de calcul
matriciel. Si vous le souhaitez,
en cliquant ici
vous pouvez aller directement au résultat
Dans la trace on peut effectuer une permutation circulaire des termes.
(90a)
(90b)
(90c)
le deuxième terme du second membre est égal au produit d'une matrice ligne par une matrice colonne.
Ceci est égal à la trace du produit inversé (ci après, schématiquement, le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne):
(90d)
Dans cette trace, je peux opérer une permutation circulaire :
(90e)
D'où :
(90f)
(90g)
Ici on va appliquer de nouveau le théorème sur les traces des matrices qui sont le produit d'une autre matrice par une matrice symétrique.
Toute matrice peut être symétrisée ou antisymétrisée. De plus la trace du produit d'une matrice par une matrice symétrique est nulle.
(90h)
Je peux appliquer cela à la matrice (90i)
puisqu'on prend la trace
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
mais :
(90l)
donc
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
et :
(90q)
finalement :
(90r)
En regroupant et en changeant les prime de côté l'obtiens mon action de groupe :
