8
(91)
Cette action coadjointe peut s'écrire sous forme matricielle.
La matrice du groupe de Poincaré est :
(92)
sa transposée est :
(93)
Considérons la matrice :
(94)
C'est à dire que nous allons mettre le moment
(95)
Jp = {
M,
P }
sous forme matricielle et formons le produit :
(96)
(97)
(98)
que je peux identifier à la matrice :
(99)
Jp est donc le moment du groupe de Poincaré, mis sous forme matricielle. Et l'action coadjointe s'écrit :
(100)
A titre d'exercice, le lecteur pourra, en s'appuyant sur les axiomes, vérifier que c'est bien une
action
.
Le moment du groupe de Poincaré peut être explicité comme suit :
(101)
Cette matrice est antisymétrique ( ce qui entraîne que sa diagonale principale est constituée par des zéro).
Mest la matrice :
(102)
Explicitons-là :
(103)
C'est bien une matrice antisymétrique, hypothèse formulée dès le départ, qui dépend de six paramètres :
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Les trois derniers ( fx , fy , fz) sont les composantes d'un vecteur, le vecteur-
passage f
:
(105)
Les trois premiers ( lx , ly , lz) sont les composantes indépendantes d'une matrice antisymétrique (3,3), le
tournoiement l
:
(106)
Ainsi :
(107)
Le vecteur
Pest le
quadri-vecteur impulsion-Energie
:
(108)
On peut alors expliciter le moment du groupe de Poincaré, dans toute sa généralité :
(109)
On vérifie que c'est bien un objet à dix composantes (nombre égal à celui des dimensions du groupe).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p , f , l
}
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