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Négacones.
Construisons maintenant ce que nous appellerons un « négacone ». Pour construire un posicone, nous avons retiré un secteur d'un plan. Ici, nous en ajoutons un, correspondant à un angle q :
(30)
Sur cette surface, nous pouvons tracer des lignes géodésiques, à l’aide de notre ruban adhésif, et former un triangle avec trois d’entre elles. Si vous mesurez la somme des angles, vous constaterez qu’elle est égale à 180° – q. Nous dirons qu’elle définit une concentration de courbure négative.
Il existe des objets à courbure négative chez vous. Certains sièges, par exemple : (30 bis)
Si nous prenons un disque, nous obtenons la figure (31) :
(31)
Bien sûr, si le triangle formé par les trois géodésiques ne contient pas le sommet S, qui contient toute la courbure angulaire (négative), la somme sera celle de la géométrie euclidienne : 180°.
La selle de cheval.
** **Vous pouvez construire un grand nombre de négacones élémentaires
d’angle – Dq et les assembler. Vous pouvez le faire afin d’obtenir une distance presque constante entre deux sommets voisins. Vous obtiendriez alors une surface à densité de courbure négative constante : une selle de cheval. Mais cette surface ne se refermera jamais.
En général, le géomètre l’appelle une surface à courbure négative constante. (32)
« Négacone obtus ».
Dans une section précédente, en utilisant une surface à densité de courbure positive constante (une portion de sphère) et une portion de posicone, nous avons construit un posicone obtus.
De façon similaire, nous pouvons construire ce que nous appellerons un négacone obtus. Il faut assembler une selle de cheval à une portion de négacone, le long de leur bord circulaire commun. Pour assurer la continuité du plan tangent, la courbure (négative) contenue dans la selle de cheval doit être égale à la courbure négative impliquée dans la construction du négacone.
Il est relativement facile de construire la portion de négacone requise ! (33)
NB : Comme le posicone, le négacone peut servir de matrice d’impression. Mais il est difficile de voir comment rouler un négacone sur un plan plat. Il est donc plus simple de rouler le plan sur une matrice à courbure négative.
Gutenberg a inventé la technique d’impression. Une gravure en relief est taillée sur un plan. Ensuite, on y applique de l’encre et on presse sur un plan.
Par la suite, la matrice d’impression a été transformée en cylindre, pour l’impression de journaux (imprimante rotative).
Mais personne, à ma connaissance, n’a utilisé la presse conique.
Dans tous les cas, le point important est de mettre les deux surfaces en contact, peu importe la méthode. Soit vous déplacez la matrice, soit vous roulez le papier (la surface plane).
Comme le montre la figure (34), vous pouvez utiliser une matrice conique pour imprimer quelque chose sur un plan. Certains journaux coniques, mis à plat. (34)
Il n’est pas définitivement certain que personne n’utilisera cela un jour. Supposons que vous souhaitiez produire des robes, avec un design particulier correspondant à une symétrie conique. Supposons que vous deviez en produire des milliers. Vous pourriez graver le motif sur une matrice conique, puis l’utiliser pour imprimer sur le tissu. Le client pourrait l’acheter et fabriquer la « robe conique », en étant certain que le motif obtenu serait correct, partout.
Sur la figure (35) est ce que vous obtenez en imprimant avec une matrice à courbure négative. À droite, un négacone mis à plat. (35)
Sur la figure (36) est montré comment assembler la selle de cheval à la portion de négacone.
Au passage, vous pourriez vous demander :
- Comment puis-je mesurer la courbure angulaire négative contenue dans ma selle de cheval ?
Dans certaines régions du Texas, près des départements de mathématiques, lorsqu’on achète une selle de cheval, la courbure angulaire correspondante est indiquée sur le ticket joint. Sinon, en comparant le périmètre du bord, ou l’aire, à la valeur euclidienne calculée à partir du rayon de ce disque de courbure négative, vous pouvez en déduire la courbure angulaire correspondante. Considérez cela comme un exercice fructueux. (36)
(37)
Maintenant, nous pouvons utiliser notre ruban adhésif, tracer des géodésiques et les projeter sur un plan, comme indiqué sur la figure (38).
(38)
Comme d’habitude, cette projection plane fait référence à notre « monde mental », au mur de la caverne de Platon. L’aspect de la géodésique projetée signifierait pour nous qu’une force répulsive agit sur nos objets de référence, par exemple une force gravitationnelle répulsive. En réalité, tout cela devrait découler de la géométrie sous-jacente.
Version originale (anglais)
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**Negacones.
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Let us build now what we will call a "negacone". To build a posicone, we removed a sector from a plane. Here we add one, corresponding to an angle q :
(30)
On this surface we can draw geodesic lines, with our sticky tape and make a triangle with three of them. If you measure the sum of the angles, you will see that it is 180°-q . We will say that it defines a negative curvature concentration.
There are objects with negative curvature in your home. Some seats, for example : (30 bis)
If we take a disk we get the figure (31) :
(31)
Of course, if the triangle composed by the three geodesics does not contain the summit S, which contains all the (negative) angular curvature, the sum will be the euclidean sum : 180°.
The horse saddle.
** **You can build a great number of elementary negacones
with angle - Dq and join them. You can do that in order to have an almost constant distance between two neighbour summits. Then you would build a constant negative curvature density surface : a horse saddle. But this surface will never get closed.
In general the geometer call it a *constant negative curvature surface.
*(32)
"Blunt negacone".
In a precedent section, using a constant positive curvature density surface (a portion of a sphere) and a portion of posicone we built a blunt posicone.
Similarly we can build what we will call a blunt negacone. We have to join a horse saddle to a portion of negacone, along their common circular border. In order to manage the continuity of the tangent plane the (negative) curvature contained in the horse saddle must be equal to the negative curvature involved in the negacone building.
It is relatively easy to build the required portion of a negacone !
(33)
NB : As the posicone, the negacone can be used as a printing matrix. But we can hardly see how to roll a negacone on a flat plane. It is therefore easier to roll the plane on a negative curvature matrix.
Gutemberg invented the printing technique. A design in relief is carved on a plane. Then one puts ink on it and presses it onto a plane.
Later the printing matrix was converted into a cylinder, for newspaper printing (rotative press).
But no one, as far as I know, used the conical press.
In all cases, the important point is to put the two surface into contact, whatever one does. Either you move the matrix, or you roll the paper (the plane surface).
As shown on figure (34) you can use a conical matrix to print something on a plane. Some conical newspaper, put flat.
(34)
It is not definitively sure that nobody will use that, someday. Suppose you want to produce robes, with a special design, corresponding to conical symmetry. Suppose that you have to produce thousands of robes like that. You could engrave the native design on a conical matric, then use it to print on the material,or the fabric. The customer could buy it and make the "conical" robe, being sure that the obtained patter would be good, all over.
On figure (35) is what you get if you print with a negative curvature matrix. On the right a negacone put flat.
(35)
On figure (36) it shows how to join the horse saddle to the portion of negacone.
By the way, you may ask :
- How can I measure the negative angular curvature contained in my horse saddle ?
In some places in Texas, close to mathematical departments, when you buy a horse saddle the corresponding angular curvature is indicated on the joined ticket. If not when you compare the perimeter of the border, or the area,to the euclidean value, calculated from the radius of this regative curvature disk, you can deduce the corresponding angular curvature. Consider this as a fruitfull exercise.
(36)
(37)
Now we can use ou sticky tape, draw geodesics and project it on a plane, as shown on figure (38).
(38)
As usual this plane projection refers to our "mental world", the wall of Plato's cavern. The aspect of the projected geodesic would mean for us that some repulsive force is acting on our reference objects, for example a *repulsive gravitational force *. In fact, all that should come from underlying geometry.