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Inversement, des singularités intrinsèques réelles existent sur les surfaces. Ce sont de véritables singularités géométriques :
(55)
(56)
(57)
Et ainsi de suite…
Par ailleurs, un pli est une région particulière d’une surface où la courbure linéaire est concentrée. Sur la figure (57), à gauche, nous avons une courbure linéaire négative ; à droite, une courbure linéaire positive.
Dans chaque sous-figure, nous avons utilisé deux portions de sphère. L’objet global possède la même topologie que la sphère, ce qui signifie que sa courbure angulaire totale vaut $4\pi$.
Supposons que l’objet à gauche ait été construit à partir de deux portions de sphère, chacune contenant une courbure angulaire de $3\pi$ :
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
C’est trop. Ainsi, la courbure linéaire (négative) doit compenser cela afin d’obtenir la valeur finale requise $4\pi$ :
En conclusion, notre pli contient une courbure négative de :
$$
-2\pi
$$
Cette courbure est uniformément répartie le long de la courbe circulaire, le long du pli.
Revenons aux figures (57). Nous avons représenté des triangles construits à partir de lignes géodésiques. Mais vous pouvez traverser un pli sans aucun problème avec un ruban adhésif (étroit). Vous savez comment calculer, et prédire, la somme des trois angles du triangle. Il vous suffit de comparer l’aire du triangle à l’aire de la sphère. Le surplus de courbure vaut :
$$
\text{(58)}
$$
Mais vous devez prendre en compte la courbure (négative ou positive) contenue dans la portion de pli, c’est-à-dire dans l’arc $mn$. Cette courbure vaut :
$$
\text{(59)}
$$
Supposons qu’une sorte de lentille, à droite de la figure (57), soit construite à partir de deux portions de sphère, chacune contenant une courbure angulaire de $\pi$. Ainsi, si l’on ignore le pli, cet ensemble de deux portions de sphère contient une courbure angulaire de $2\pi$. Or, cette lentille possède une topologie sphéroïdale ; la contribution de la courbure angulaire doit donc être $2\pi$. Par conséquent :
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(courbure totale de la sphère)}
$$
Vous pouvez également prédire la somme des angles de ce triangle étrange, formé par trois lignes géodésiques. L’arc $mn$ contient la courbure angulaire linéaire suivante :
$$
\text{(60)}
$$
Lorsque l’on mesure la quantité de courbure angulaire contenue dans le pli, à l’intérieur du triangle, on peut évaluer l’écart par rapport à la somme euclidienne, qui vaut $\pi$.
Vous voyez ainsi que vous pouvez traiter relativement aisément ces problèmes de courbure sur des surfaces.
Une surface peut posséder des points coniques ou des lignes de pli. Ce sont des singularités intrinsèques, et non ces singularités artificielles, dues à un choix particulier de coordonnées. Remarquons que l’on peut lisser le pli ; on obtient alors une forme ressemblant à une cacahuète :
$$
\text{(61)}
$$
Cela revient à lisser le sommet ponctuel d’un cône (courbure angulaire concentrée), transformant l’objet en un cône émoussé (courbure angulaire répartie sur une portion de sphère).
Supposons que les deux portions de sphère, représentées ci-dessus dans la figure (61), correspondent chacune à $2/3$ de sphère, soit une courbure :
$$
\text{(62)}
$$
La portion grise de la « cacahuète » contient une courbure négative, précisément :
$$
\text{(63)}
$$
Version originale (anglais)
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Oppositely, real intrinsic singularities exist, on surfaces. *They are true geometric singularities :
*(55)
(56)
(57)
And so on...
By the way a fold is a peculiar region of a surface where *linear curvature *is concentrated. On figure (57), left, we have a negative linear curvature. On the right a positive linear curvature.
We used in each sub-figure two portions of a sphere. The global object has the same topology as the sphere, which means that its total angular curvature is 4p .
Suppose the object on the left was built with two portions of spheres containing, each, a 3p angular curvature.
3p + 3p = 6p
This is too much. Then the (negative) linear curvature must balance that, in order to give the final required value 4p :
As a conclusion our fold contains a negative curvature :
- 2p .
This curvature is uniformly distributed along the circular curve, along the fold.
Return back to figures (57). We have figured triangles, built with geodesic lines. But the way you can cross a fold without any problem with a (narrow) sticky-tape. You know how to compute, to predict the sum of the three angles of the triangle. You just need to compare the area of the triangle to the area of the sphere. The excess of curvature is :
(58)
But you have to take account of the (negative or positive) curvature contained in the portion of the fold, in the arc mn. It is :
(59)
Suppose a sort of lens, on the right of figure (57) is built from two portions of a sphere, each containing a p angular curvature. Therefore, if we forget the fold, this set of two portions of a sphere contains a 2p angular curvature. But this lens has a spheroidal topology. The angular curvature contribution must be 2p. Then :
2p + 2p = 4p ( total curvature of the sphere )
You can also predict the sum of this strange triangle, formed from three geodesic lines. The arc mn contains the linear angular curvature :
(60)
When measuring the amount of angular curvature contained in the fold, inside the triangle, one can size the depart from the euclidean sum, which is p .
You see that you can handle these curvature problems, on surfaces, relatively easily.
A surface may own conical points, or fold lines. They are intrinsic singularities, not these artificial singularities, due to some choice of coordinates. Notice we can smooth the fold. Then we get a peanut :
(61)
This is similar to smoothing the point-like summit of a cone (concentrated angular curvature), transforming the object into a blunt cone (angular curvature displayed on a portion of a sphere).
Suppose the two portions of sphere, above,on figure (61) represent 2/3 of a sphere, each, i.e a curvature
(62)
The grey portion of the "peanut" contains negative curvature. Precisely :
(63)