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Contexte géométrique.****
Une sphère est un objet géométrique à deux dimensions. Il nous faut deux grandeurs, deux nombres, deux scalaires, pour localiser un point sur elle.
Une sphère est une surface qui possède une topologie. Sa topologie est différente de celle du tore.
Les deux possèdent des systèmes géodésiques. Comme indiqué dans une section précédente, nous pouvons imaginer deux points distincts M1 et M2 sur une sphère et une courbe reliant ces deux points. Nous pouvons alors mesurer la longueur le long de ce chemin particulier. Il s'agit d'une quantité invariante par changement de coordonnées. Une sphère S² existe indépendamment de tout espace représentatif en 3D. Mais nous pouvons la représenter dans notre espace euclidien familier en 3D, dans lequel nous sommes supposés vivre. Nous pouvons alors lui attribuer un centre et relier tous ses points à ce centre. Voir la figure (116). Chaque point correspond à deux angles : q et j.
(116)
Nous avons pratiqué un trou dans la sphère afin de montrer les vecteurs OM, où O est le centre et M un point de la sphère.
Maintenant, la figure (117) conserve les vecteurs et oublie la sphère.
(117)
Ces demi-droites sont infinies, mais nous les avons représentées coupées à une longueur donnée, correspondant au rayon R de notre sphère. Chaque droite correspond à un couple ( q , j ). La structure métrique a disparu. Aucune géodésique, aucune longueur. Qu'est-ce qui reste ?
Chaque demi-droite a des voisins, qui forment son voisinage. Chaque demi-droite peut être imaginée comme enfermée dans une succession de cônes (figure (118)).
(118)
Autour de toute droite, nous pouvons placer autant de cônes que nous voulons. Entre deux de ces cônes, nous pouvons toujours en insérer un autre. Cela suggère intuitivement le concept de différentiabilité. Dans un tel objet géométrique, il n'y a aucune discontinuité.
Maintenant, oublions la sphère et prenons une surface plane. C'est un ensemble de points. Quel que soit le système de coordonnées que je choisis, je peux définir les points à l'aide de deux grandeurs : (x,y), (r,q), etc.
Un couple de nombres réels. Ces couples sont choisis dans R², c’est-à-dire dans l’ensemble des nombres réels, comme (3,8705 , -17,56).
Tout couple de nombres réels (x ; y) possède un nombre infini de voisins (x + Dx ; y + Dy).
Ces objets « pré-métriques » sont appelés par les mathématiciens variétés.
Il est assez difficile de penser à un tel milieu « souple ». Dans la figure (119), nous avons représenté une surface plane rigide, munie de propriétés métriques, et en dessous, l’ombre de ses points.
(119)
Une ombre n’a pas de forme propre, ni d’étendue. Elle dépend de l’écran et de la production des rayons lumineux. Sur la figure (120), nous suggérons la relativité de l’ombre par rapport à l’objet.
(120)
Ces « droites parallèles » sont similaires à ces rayons que nous avons introduits pour relier les points d’une sphère à son centre. Ici, les points du plan sont « reliés » à une « source » située à l’infini.
Abandonnons cette dernière idée de droites droites. Considérons un paquet de spaghettis cuits (s’ils ne le sont pas, ils devraient être rigides et cassants). Nous pouvons les courber. Mais nous imposons aux spaghettis de rester joints ensemble. Leur voisinage ne doit pas être modifié.
(121)
Tout cela est très grossier, je le sais, et pas entièrement rigoureux. Je cherche simplement à suggérer au lecteur ce qu’est une variété, un objet géométrique sans métrique, dont la propriété principale est que chaque point possède des voisins.
Une variété est un ensemble de points m. Je peux imaginer que j’associe à chaque point d’une variété un couple (M1, M2) de points appartenant à des surfaces réelles, possédant des propriétés métriques, des longueurs, etc.
J’appelle la variété à n dimensions une variété squelette et les surfaces associées à n dimensions simplement des plis. Ensuite, je construis le revêtement à deux plis d’une variété.
Sur la figure (122) se trouve le revêtement à deux plis d’une variété m2 (deux dimensions).
(122)
Dans la figure (122), j’ai représenté des plis euclidiens identiques et parallèles, munis de la même métrique. Mais je peux construire la figure (123) :
Nous appellerons M et M* des points conjugués. Construire ces deux plis à partir d’une « variété squelette » a un sens précis : à tout point M du pli F, nous pouvons associer un et un seul point conjugué M*. Il existe une application point à point. Nous pouvons alors oublier la variété squelette.
À tout voisinage d’un point du pli F correspond le voisinage de son point conjugué M*. Voir la figure (124). Cela signifie qu’à toute région régulière de F correspond une région régulière conjuguée appartenant à F*.
(124)
Cela montre notamment que les points conjugués M et M* sont décrits par le même ensemble de coordonnées.
Version originale (anglais)
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Geometric context.****
A sphere is a two dimensional geometric object. We need two quantities, two numbers, two scalars, to locate a point on it.
A sphere is a surface which owns a topology. Its topology is different from the torus' one.
Both own geodesic systems. As pointed out in a preceding section, we can figure two distinct points M1 and M2 on a sphere and a curve which links them. Then we can measure the length along this peculiar path. It's a coordinate-invariant quantity. A S2-sphere exists independently of any 3d representative space. But we can figure it in our familiar euclidean 3d space, which we are supposed to live in. Then we can give a center to this sphere and join all its points to it. See figure (116). Each point corresponds to two angles : q and j.
(116)
We have managed a hole in the sphere in order to show the vectors OM, where O is the center and M a point of the sphere.
Now, figure (117) keep the vectors and forget the sphere.
(117)
These half straight lines are infinite, but we figured these cut, at a given length, corresponding to the radius R of our sphere. Each straight line corresponds to a couple ( q , j ). The metric structure has disappeared. No geodesics, no length. What's remaining ?
Any of those half straight lines has neighbours, which form its neighbourhood. Each half straight line could be figured as enclosed in a succession of cones ( figure (118) ) .
(118)
Around any line we can put as many lines of cones we want. Between two of these cones we always can put another one. It suggests intuitively the concept of differentiability . In such a geometrical object there is no discontinuity.
Now, forget the sphere and take a plain surface. It is a set of points. Whatever is the coordinates system I choose, I can define the points with two quantities : (x,y), (r,q), and so on.
A couple of real numbers. These are picked in R2, i.e. in the set of real numbers, like (3,8705 , - 17,56).
Any couple of real number ( x ; y ) owns an infinite number of neighbours ( x + Dx ; y + D y ) .
These "pre-metric" objects are called by mathematicians manifolds .
It rather difficult to think about such "flexible" medium. In (119) we have figured a rigid, plain surface, with metric properties and, below, the shadow of its points.
(119)
A shadow has no proper shape, nor span. It depends on the screen and light rays production. On figure (120) we suggest the relativity of the shadow, with respect to the object.
(120)
These "parallel lines" are similar to those rays we introduced, to link the points of a sphere to its center. Here the points of the plane are "linked" to a "source" which is at infinite.
Give up this last idea of straight lines. Consider a bundle of cooked spagheti ( if they are not, they should be rigid and breakable ). We can bend it. But we impose the spagheti to keep joined together. Their neighborhood must not be modified.
(121)
All that is very crude, I know, and not fully rigorous. I just try to suggest to the reader what can be a manifold, a geometrical object without metric, where the main property is that any point has neighbours.
A manifold is a set of points m . I can imagine I associate any point of a manifold to a couple (M1 , M2) of points, which belong to real surfaces, which own metric properties, length, and so on....
I call the n-dimensional manifold a skeleton-manifold and the associated n dimensional surfaces just folds. Then I build the two-folds cover of a manifold.
On figure (122) the two-folds cover of a manifold m2 (two dimensions).
(122)
In (122) I have figured identical, parallel euclidean folds ( planes ) with same metrics. But I can build the figure (123) :
We will call M and M* conjugated points. Building these two folds from a "skeleton manifold" has a definite meaning : to any point M of the fold F we can associate one and only one conjugated point M*. There is a point to point mapping. Then we can forget the skeleton-manifold.
To the vicinity of any point of the fold F corresponds the vicinity of its conjugated point M*. See figure (124). This means that to any regular region of F corresponds a conjugated regular region that belongs to F*.
(124)
This shows in particular that the conjugated points M and M* are described by the same set of coordinates.