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Courbures conjuguées.****
Comment comprendre des espaces à 3 dimensions, possédant une courbure locale positive ou négative ?
Commencez par des surfaces à 2 dimensions. Considérez une sphère et fixez un clou en un point quelconque de celle-ci, comme indiqué sur la figure (125). Fixez un fil dont la longueur est L, reliant le clou à un crayon. Vous pouvez utiliser cela pour tracer un cercle, un parallèle de la sphère. Un parallèle d'une sphère est l'ensemble des points situés à la même distance L d'un point donné S.
Nous pouvons faire des opérations similaires (figures (125)) :
- Sur une selle de cheval
- Sur un plan.
(125)
Sur une surface plane, le périmètre est 2πL tandis que l'aire du disque est πL².
Sur la sphère, le périmètre et l'aire du disque sont plus petits. À l'inverse, sur la selle de cheval, ils sont plus grands.
Considérons une sphère et un parallèle qui correspond à son équateur. Voir la figure (126). Les valeurs correspondent à la figure (126).
(126)
L'aire du disque est 3,875 fois plus grande que la portion (grise) correspondante de la sphère. Son périmètre est 1,57 fois plus long que la longueur de l'équateur.
Des tests similaires montreraient la courbure négative de la selle de cheval. Si nous traçons une courbe fermée, ensemble des points situés à la même distance L d'un point donné, sur une selle de cheval, l'aire de ce disque à courbure négative est plus grande que l'aire d'un disque plat πL². De même, le périmètre du disque à courbure négative est plus grand que celui du disque plat : 2πL.
La géométrie est une science pour les aveugles. Les géomètres cherchent à concevoir des tests que des habitants d'un espace donné pourraient effectuer afin de découvrir par eux-mêmes ses propriétés géométriques. À partir des figures précédentes, les habitants d'une surface à deux dimensions, incapables de voir celle-ci depuis un point extérieur (car ils vivent dedans), pourraient découvrir, à partir de mesures d'aire et de longueur, si la portion de surface qu'ils habitent possède une courbure locale positive, une courbure locale négative, ou une courbure locale nulle (espace euclidien).
Notez qu'il existe des surfaces dont la courbure locale peut être positive, nulle ou négative. Exemple : un tore.
(126ter)
Des méthodes similaires s'appliquent aux espaces à 3 dimensions. Choisissez un point O, n'importe où. Prenez un fil, un « crayon », et servez-vous-en pour tracer l'ensemble des points situés à une distance donnée L du point considéré. Vous obtenez une sphère et pouvez mesurer son aire. Si cette surface a été construite dans un espace euclidien à 3 dimensions, cette aire sera : 4πL².
Si cette aire est trouvée plus petite, cela signifie que cet espace à 3 dimensions n'est pas euclidien. Il s'agit d'un espace à 3 dimensions de Riemann, à courbure positive. Si nous mesurons le volume, nous constaterons qu'il est plus petit que :
(127)
La situation sera inversée si nous traitons un espace à 3 dimensions à courbure négative. L'aire de la sphère, considérée comme l'ensemble des points situés à une distance donnée L d'un point fixe O, sera plus grande que 4πL². Le volume à l'intérieur de cette surface fermée sera plus grand que (127).
La cosmologie ne repose pas sur des espaces simples à 3 dimensions, mais sur des hypersurfaces à 4 dimensions (à signature « hyperbolique »), de sorte que cette présentation est limitée. Il faut la considérer comme un modèle didactique rudimentaire.
La courbure scalaire de Riemann d'un espace à n dimensions est quelque peu différente.
Dans notre modèle cosmologique actuel, nous supposons que la courbure scalaire de Riemann locale, aux points conjugués (M, M), sont opposées :
*(127bis)
R* = - R
Le spécialiste trouvera plus de détails dans l'article :
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, mars 1998.
Ensuite, une image didactique utile en 2 dimensions, correspondant à la figure 39.
(128)
En haut : un posicone lissé. Courbure locale (angulaire) nulle dans la partie du posicone. Densité de courbure positive constante dans la partie (grise) d'une sphère.
En bas : un « negacone lissé ». Densité de courbure locale (angulaire) nulle dans la partie du negacone entourant la selle de cheval. Densité de courbure négative constante dans la partie de la selle de cheval, face à la partie d'une sphère.
Les courbures sont conjuguées. Face à face, avec correspondance point à point, les parties de courbure locale nulle du posicone et du negacone.
Face à face, avec correspondance point à point, une surface à courbure positive constante (une partie d'une sphère) et une surface à courbure négative (selle de cheval). Les densités de courbure sont égales et opposées. Les bords circulaires sont reliés, point à point.
Ceci est une image didactique de notre modèle cosmologique. Pour plus de détails mathématiques, voir :
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, mars 1998.
Version originale (anglais)
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Conjugated curvatures.****
How can we understand 3d spaces, with local positive or negative curvature ?
Start with 2d surfaces. Consider a sphere and fix a nail somewhere on it, as shown on figure (125). Fix a string, whose length is L, joining the nail and a pencil. We can use this to draw a circle, a *parallel *of the sphere. A parallel of a sphere is the set of the points which lie at the same distance L from a given point S.
We can do similar operations ( figures (125 ) :
-
On a horse saddle
-
On a plane.
(125)
On the plane surface the perimeter is 2 p L while the surface of the disk is p L2.
On the sphere the perimeter and the area of the disk are smaller. On the horse saddle, on the contrary, they are larger.
Consider a sphere and a parallel which identifies to its equator. See figure (126). The values correspond to figure (126)
(126)
The area of the disk is 3.875 times larger than the corresponding (grey) portion of the sphere. Its perimeter is 1.57 times longer that the equator's length
Similar tests would show the negative curvature of the horse saddle. If we draw a closed curve, set of points at the same distance L of a given point, on a horse saddle, the surface of this negative curvature disk is larger than the surface of a flat disk p L2. Similarly the perimeter of the negative curvature disk is larger than the one of the flat disk : 2 p L .
Geometry is a science for the blind. Geometers try to build tests that inabitants of a given space could operate in order to discover by themselve its geometric properties. From the precedent figures, the inhabitants of a two dimensional surface, unable to see this one from an external point of view (for the live in) could discover, through area and length measurement, if the portion of a surface they live in owns a positive local curvature, a negative local curvature, or a null local curvature (euclidean space).
Notice that there are surfaces whose local curvature can be positive, null or negative. Example : a torus.
(126ter)
Similar methods apply for 3d spaces. Choose a point O , somewhere. Take a string, a "pencil", and use it to draw the set of the points located at a given distance L from the considered point. You get a sphere and you can measure its area. If this surface has been built in an euclidean 3d space, this area will be : 4 p L2 .
If this area is found smaller, it means that this 3d space is not euclidean. It is a riemanian 3d space, with positive curvature. If we measure the volume we will find it smaller than :
(127)
The situation will be reversed if we deal with a negatively curved 3d space. The area of the sphere, considered as the set of point located at a given distance L of a fixed point O will be larger than 4 p L2 . The volume, inside that closed surface, will be larger than (127).
Cosmology is not founded on simple 3d spaces, but on 4d-hypersurfaces ( with "hyperbolic signature" ) so that such presentation is limited. We must consider it as a crude didactic model.
The Riemann, scalar curvature of a n-dimensional space is somewhat different.
In our present cosmologic model, we will assume that the local scalar riemann curvature, at conjugated points ( M , M ) are opposite :
*(127bis)
R* = - R
The specialist will find more details in the paper :
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A , 5 , march 1998.
Next, a useful 2d didactic image, which corresponds to figure 39.
(128)
Top : a smoothed posicone. Null local (angular) curvature in the portion of posicone. Constant positive (angular) curvature density in the (grey) portion of a sphere.
Below : a "smoothed negacone". Null local (angular) curvature density in the portion of negacone surrounding the horse saddle. Constant negative (angular) curvature density in the portion of the horse saddle, facing the portion of a sphere.
The curvatures are conjugated. Face to face, with point to point correspondence, null local curvature portions of posicone and negacone.
Face to face, with point to point correspondence, a constant positive curvature surface (a portion of a sphere) and a negative curvature surface (horse saddle). The curvature densities are equal end opposite. The circular borders are linked, point to point.
This is a didactic image of our cosmologic model. For more mathematical details, see :
J.P.Petit & P.Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4 , march 1998.