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La courbure (positive).

...Lorsque nous avions tracé notre triangle,
constitué par des lignes géodésiques, sur un plan, la somme
de ses angles au sommet valait p.
Un plan... est une surface plane, "non courbe", euclidienne. La somme
des angles de ce triangle est donc la somme euclidienne. Dans l'expérience
précédente nous avons vu que si un triangle ne contenait pas le
sommet de notre cône, la somme restait euclidienne. Par contre quand le
triangle contient le sommet S, alors cette somme présente un excès
q, quel que soit
le triangle, du moment qu'il contient ce point. Nous dirons que le sommet du
cône est un point de courbure concentrée.

...Nous pouvons maintenant passer à d'autres
expériences. Après avoir fabriqué deux cônes, avec
des découpes q1 et
q2 nous pouvons
coller ces deux éléments de surface l'un à l'autre.

...Une façon plus simple de procéder
consiste à opérer deux découpes dans une feuille de bristol
et à fabriquer la surface suivante :

Vous pourrez alors tracer sur cette surface autant de triangles géodésiques
que vous voudrez :

• N'enserrant ni S1 ni S2 : Somme des angles : p

• Enserrant seulement S1 : Somme des angles p

• q1

• Enserrant seulement S2 : Somme des angles : p

• q2

• Enserrant les deux points S1 et S2 : Somme des angles
  : p + q1+
  q2

...On imagine aisément qu'on puisse fabriquer
un grand nombre de mini posicônes d'angle Dq
faible et qu'on puisse les coller les uns sur les autres. On pourrait
même se débrouiller pour qu'il y ait une densité de courbure
constante par unité de surface, en assimilant cette courbure à
la somme des Dq associés
à chaque sommet de ces mini posicônes.

...En rendant ces mini posicônes de plus
en plus petits (de même que l'angle élémentaire Dq
qui leur est associé) on peut se servir de ceci pour construire
une portion de surface à densité de courbure constante.

La sphère est une surface à densité de courbure constante.
On dira plus simplement à courbure locale constante.

Un �uf est une surface courbe, à *densité de courbure variable.*On dira plus simplement à courbure locale variable.

...La Relativité Générale
consiste à identifier masse volumique r
et courbure locale. Bien sûr, la relativité Générale
traite non pas de surfaces à deux dimensions, ni même à
trois, mais d'hypersurfaces à quatre dimensions. Il ne faut donc pas
trop demander à ce qui précède et nous ne devrons considérer
ces figures que comme des images didactiques, destinées à fixer
les idées. Mais elles ne sont pas si mauvaise que cela.

Image didactique 2d d'un astre.

Un astre, comme le soleil, est une concentration de matière, entourée,sinon
de vide, du moins d'un quasi-vide (donc d'une région à courbure
très faible). En deux dimensions l'image didactique sera celle d'un cône
émoussé.

...Un cône émoussé est fabriqué
à l'aide de deux éléments : une calotte sphérique,
à courbure constante (ou à "densité de courbure constante")
et un tronc de cône. Ce tronc de cône est "plat", sa densité
de courbure est nulle. C'est une surface euclidienne. C'est l'image didactique
2d d'un astre de masse volumique r
constante.

...On pourrait au passage se demander comment
raccorder parfaitement un tronc de cône et une calotte sphérique,
de manière à ce que le plan tangent soit continu.

...C'est simple. Le tronc de cône est fabriqué
à partir d'un cône, lequel implique une découpe d'un angle
q . La calotte sphérique
contient une certaine "quantité de courbure", qui est aussi un angle.
C'est la somme de tous les angles des mini posicônes qui la constituent.
Il faut que ces deux angles soient égaux.

Mais comment évaluer la quantité de courbure contenue dans une
calotte sphérique donnée ? .

...

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