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Invariance par
changement de coordonnées.

...Voilà
un concept-clef de la Relativité Générale, qui n'est
pas facile à présenter. Nous avons dit que rechercher une "solution
cosmologique", stationnaire ou instationnaire, revient à construire
une hypersurface à quatre dimensions qui soit "solution de l'équation
de champ".

...Prenons
par exemple un objet en tôle qui ait la topologie de la sphère.
C'est "une sphère en tôle". Là encore on imagine bien
qu'on puisse déformer cette surface en chauffant et en refroidissant
par endroits. Par exemple en chauffant en un point et en refroidissant la
région antipodale on transformerait cette sphère en �uf. Un
�uf est un objet qui a la topologie de la sphère, mais qui est une
surface à courbure variable.

...En
chauffant à un endroit et en refroidissant à un autre, on va
créer des tensions dans le métal. Bien sûr, comme
ce matériau est conducteur, si on cessait de chauffer et de refroidir,
la température s'homogénéiserait et l'objet reprendrait
sa forme sphérique. Ce qui qui compte c'est qu'on arrive à créer
une situation stationnaire avec un champ de température non-uniforme.
Ce champ engendre des tensions et on pourrait concrétiser ces
tensions sous la forme d'un objet mathématique T
appelé tenseur.

Quelque chose décrit
la géométrie de l'objet. Cela s'appelle une métrique. C'est à partir de ce second objet mathématique qu'on peut
:

• Calculer le tenseur
  géométrique S

• Calculer les géodésiques
  de la surface.

La géométrie
de cette surface pourrait se calculer à partir d'une équation
analogue à l'équation d'Einstein, du style :

S = a T

où a est une
constante. En connaissant a priori le champ de température dans la
tôle, donc le tenseur des tensions, on pourrait en déduire
sa géométrie. La meilleure façon de "lire" cette géométrie
serait d'analyser alors le système des géodésiques.
Nous connaissons celles de la sphère (ses "grands cercles"). Les
géodésiques d'un �uf sont différentes.

...Pour
décrire ces géodésiques nous aurons besoin de définir
un système de coordonnées sur la surface. Pour la sphère,
on pourra prendre le classique système azimut-site.

...Dans
ce système de coordonnées particulières, les géodésiques
de la sphère correspondraient à certaines équations.

Sur cette sphère
les courbes q
= Cte représentent la famille de géodésiques passant
par deux points. Par contre les courbes j
= Cte (parallèles)
ne sont pas des géodésiques de la surface.

...On
pourrait aussi définir un système de coordonnées analogues
et écrire les équations des géodésiques de la
surface "�uf". Mais on remarque aussitôt une chose essentielle : les
géodésiques de la surface sont indépendantes des coordonnées
que l'on choisit pour les décrire , de même que les points
d'une sphère, ou d'un �uf, existent, indépendamment du système
de coordonnées utilisé pour les repérer.

...De
même, sur un plan, on peut représenter des points en coordonnées
cartésiennes ou en coordonnées polaires. Les droites du plan
sont des géodésiques.

Une droite peut être
décrite dans deux systèmes de coordonnées :

...Il
s'agit de la même géodésique, avec deux descriptions
totalement différentes. Les droites du plan existent indépendamment
de la manière dont on les décrit, du choix des coordonnées
utilisées. Et on peut en imaginer... une infinité.

...Alors,
qu'est-ce qui est intrinsèque ? Réponse : la longueur s mesurée
sur une droite (ou le long d'un contour curviligne quelconque). Entre deux
points M1 et M2 d'une surface le trajet de longueur
minimal est une géodésique.

...De
même la distance séparant deux points, sur une géodésique
des objets "sphère" ou "�uf" est également une grandeur qui
est indépendante du système de coordonnées choisies.
Si on prend deux points M1 et M2 sur une surface et
qu'on trace l'arc géodésique qui les joint, la longueur s mesurée
le long de cet arc sera la même, quel que soit le système des
coordonnées utilisé pour repérer les points.

...Il
en est de même pour l'hypersurface à quatre dimensions que nous
appelons "univers". Elle possède son système de géodésiques,
également invariantes par changement de coordonnées. Nous n'habitons
pas dans un espace (x , y , z , t) avec des coordonnées de position
et une coordonnée de temps, mais dans une hypersurface quadridimensionnelle
qui peut être entièrement décrite par son réseau
de géodésiques. Sur ces géodésiques il existe
une longueur s qui est également invariante par changement de coordonnées.
Les points de cette hypersurface ne sont plus des points de l'espace, mais
des points d'une hypersurface espace-temps. On les appelle des événements
. Deux événements distincts sont donc séparés
par quelque chose qu'on appelle s. Mais qu'est-ce que c'est donc ?

C'est le temps
propre .

...Une
trajectoire géodésique dans cette hypersurface espace-temps
sépare deux événements M1 et M2. Tout ce que je puis
dire c'est que si j'avais utilisé un véhicule pour effectuer
ce trajet dans l'espace temps, il se serait écoulé un laps de
temps s, sur mon horloge de bord.

Un
choix de coordonnées consiste à repérer les points de
l'espace temps par des coordonnées d'espace (x , y , z) et une coordonnée
de temps t . Mais comme ce choix est arbitraire cet espace et ce temps n'ont
pas d'existence intrinsèque. Ce ne sont que des façons de "lire"
la surface, de la parcourir. Seule contrainte : en fonction de l'hypothèse
faite, on ne peut se déplacer que selon des géodésiques
et sur ces dernières, la seule chose fiable à laquelle on peut
s'accrocher, c'est le "temps propre écoulé" s, et non ce temps
t , simple système de repérage chronologique (chronological
marker).

Pour chaque choix du
système de coordonnées, un système différent de
lecture des événements, des phénomènes.

...Les
physiciens ont donc cherché un formalisme qui soit indépendant
du choix des coordonnées. C'est l'essence du formalisme tensoriel. On ne peut pas en dire plus sur ce sujet, sous peine d'entrer dans des
détails techniques relativement complexes.

Le problème des singularités.

Sur une sphère,
le choix de coordonnées angulaires classique introduit deux singularités
polaires.

Impossible de cartographier
une sphère sans introduire ce genre de singularités polaires.

...A
noter qu'on peut cartographier une sphère avec une singularité
unique. On crée sur la sphère une première famille de
courbes (des cercles) en la coupant par des plans, comme indiqué ci-après
:

Puis une seconde famille
:

En dehors de cette unique
singularité, pas de problème. Si on regardait cette sphère
de l'autre côté, on verrait ceci :

...En
dehors de l'unique singularité S, on repère les points sans
difficultés. Mais les valeurs des paramètres a
et b définissant cette singularité
de maillage Ssont .... n'importe quoi...

...Pourtant
une sphère n'est pas géométriquement, intrinsèquement
singulière. Tournez une boule de billard en tous sens, ou un �uf, vous
n'y découvrirez aucun point singulier.

Ces
singularités-la ont donc été créées par
le choix des coordonnées.

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