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Il existera, par contre,
de véritable singularités géométriques :

Etc....

..Au
passage le pli est une région particulière de la surface qui
contient de la courbure linéique , à gauche négative,
à droite, positive. A dessein on a fabriqué ces deux surfaces
avec des calottes sphériques. L'objet final a la topologie de la sphère.
Il possède donc une courbure totale égale à 4p
. Supposons que l'objet de gauche ait été fabriqué avec
deux fois trois quarts de sphère (partant de sphères de même
rayon). Ces composants correspondent donc chacun à une courbure de
3p. Total 6p . On sait donc immédiatement
combien le pli contient de courbure (négative) : - 2p
. Celle-ci est uniformément distribuée le long du pli circulaire.
On sait donc calculer la somme des angles du triangle ABC. En mesurant sa
surface on connaît d'abord la quantité de courbure (angulaire)
qu'il contient C'est :

Il faut retrancher la
quantité de courbure contenue dans l'arc mn. C'est :

La lentille a aussi la
topologie de la sphère. Donc le pli contient une courbure linéique
positive égale à 2p.

...On
peut également calculer la somme des angles du bizarre triangle ABC,
qui est constitué par trois lignes géodésiques. Les géodésiques
franchissent allègrement les plis. Vous n'avez qu'à fait l'expérience
avec votre ruban adhésif.

L'arc mn contient la
courbure linéique : Supposons
que l'espèce de lentille indiquée plus hautait été
fabriquée avec deux quarts de sphères, identiques. Chacun contient
une courbure égale à p . Donc, dans
la surface (sans le pli) contient la courbure 2p
.

...En
comptabilisant la courbure angulaire contenue dans le triangle ABC et dans
l'arc-pli on peut connaître l'écart, positif, à la somme
euclidienne p .

On voit qu'on peut assez
facilement jongler avec ces problèmes de courbure, pour les surfaces.

...Une
surface peut comporter des points singuliers ou des plis. Dans ce cas il s'agit
de singularités réellement géométriques, intrinsèques,
et non résultant d'un choix de coordonnées.

...Au
passage notons que cette courbure linéique pourrait être répartie
sur une portion de surface. Par exemple, pour la figure de gauche, on obtiendrait
:

...C'est
la démarche analogue à celle qui avait été présentée
plus haut, où la courbure concentrée au sommet d'un cône
avait été distribuée sur une calotte sphérique
(cône émoussé). Si
les deux calottes sphériques composant la surface ci-dessus représente
par exemple chacune deux tiers de sphère, soit une courbure

La surface grisée
contiendra une courbure négative C, uniformément distribuée,
telle que :

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