אקסיומטיקה חדשה של קבוצות

אקסיאומטיקה חדשה של קבוצות **

--- **

...סוריאו גר באפליקציה ב-Aix העתיק. הדלת שמובילה לרחוב היא יפהפייה. בכניסה מונח כלי רכב די מוזר: כיסא נישואין עתיק, שייך לבעלת המקום, שמאזנים, אני חושב. הכיסא עומד על הקיר. נשאר רק למצוא שני נושאים, להכניס את שני המוטות הארוךים של העץ במעגלים ולשבת בו כדי לצאת לטיול. הפתחים מוגדרים בפינות: הזכוכיות של הצדדים ניתנות להורדה, לא באמצעות מנוף, אלא על ידי הפעלת חבלים של עור, כמו שהיה בשדות הרכבת של ילדותי.

...כל זה מרגיע את החזון שלי. אני מבין שאני לא יצאתי אי פעם בכיסא נישואין. אני משוכנע שבעתים של אבטלה, אנשים יכולים להרוויח את ליבם על ידי יישום קו רגיל ראשון של כיסאות נישואין ב-Aix העתיק. היה מספיק לבנות כלי רכב שמשלים את הכיסאות של העבר. זה לא חייב להיות קשה במיוחד. ואז להשיג שני מלבושים עם תכשיטים, שתי קוביות וקדימה. מסלול: הקורס מירבאו. זה יספיק בגדול. אחר כך נשאר רק לחשוף, להרגיש קצת דמיון.

...יון-מריה גר לבדו עם החתול שלו, פיוום, באפליקציה הרחבה שלו, מלאה בדקורציות, בפינות עץ. פיוום הוא נחמד מאוד. עם זאת, אין לי שום תשוקה לחתולים. אבל זה חתול מאוד מושלם ומעורר רגש.

אנחנו בדרך כלל עובדים kitchen, שלב אחד למעלה. pièce קטנה, מתחת למדרגות, שגודלה הצר מתנגן עם הגודל הגדול של החדרים למטה. בכל פעם שיון-מריה מנסה להכניס לי לשתות את המשקה המועדף שלו: פרטן-ברנקה, על בסיס צבעוני, שאני מוצא ממש נורא, אבל הוא מוסיף לו כל מיני תכונות.

...כשעושה סיבוב בעיר, הוא לוקח את ה-GPS שלו, שהוא לא יוצא ממנו. באמת מעניין לראות איך מכוונים אותך על ידי לוויינים שנמצאים במרחק ארבעים אלף ק"מ מהרחוב שבו אתה מתהלך. כדי לקבל רשת טובה יותר, سورיאו נוטה לצעוד לאורך ציר הרחוב, עיניו מחוברות למסך הקריסטל. זה נראה יעיל, אך גם מסוכן למדי.

...אני חושב שאנחנו נהנים מאוד, שנינו. בלילה אחד בדצמבר, הלכתי לבקר אותו, וזה נתן את השיחה הבאה.

• אני אדבר על קבוצות. אתה זוכר את האקסיומות?

• כן, יש שש. הן:

1 - קיימים איברים a, b, c... שייכים לקבוצה E

2 - קיימת פעולה פנימית, מסומנת ב-o ("עיגול"), שמאפשרת לשלב שני איברים מקבוצה.

a שייך לקבוצה E

b שייך לקבוצה E

a o b שייך לקבוצה E

3 - הפעולה היא אסוציאטיבית:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - קיים איבר נייטרלי e כך ש:

a o e = e o a = a

5 - כל איבר a מהקבוצה יש לו הפכי, מסומן ב-a-1, כך ש:

a-1 o a = a o a-1 = e

זה חמישה?

• בסופו של דבר, חמישה, ארבעה, או אחד. אין כלל מוחלט בנוגע לספירה של אקסיומות. אפשר גם לשלב את האקסיומות 1 ו-2 למשהו אחד:

• קיימים איברים a, b, c, וכו', שייכים לקבוצה E, עם חוק יסוד פנימי שמקיים:

a שייך לקבוצה E

b שייך לקבוצה E

a o b שייך לקבוצה E

זה שקול.

• טוב, חמישה, ארבעה, לא חשוב. איפה אתה רוצה להגיע?

• אני אאבד את מה שקראת אקסיומות 4 ו-5, שמתארות את האיבר הניטרלי וההפכי, ואמירם במקומן באקסיומה של הסנדוויץ'. בסך הכול, האקסיומות הן:

1 - קיימים איברים a, b, c... שייכים לקבוצה E

2 - קיימת פעולה פנימית, מסומנת ב-o ("עיגול"), שמאפשרת לשלב שני איברים מקבוצה.

a שייך לקבוצה E

b שייך לקבוצה E

a o b שייך לקבוצה E

3 - הפעולה היא אסוציאטיבית:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - יהיו שלושה איברים a, b, c, שייכים לקבוצה E.

המשוואה:

a o y o b = c

יש לה פתרון יחיד.

זה מה שאני קורא לאקסיומה של הסנדוויץ', שבו "הבקר" y נחטף בין האיברים a ו-b, c הוא ה entidad הסנדוויץ'. האקסיומה אומרת:

תמיד אפשר להוציא את הבקר מהסנדוויץ'.
*

ואני אומר שאותן אקסיומות מגדירות קבוצות, הן שקולות לسابקות.

• הפתרון היחיד y הוא איבר של הקבוצה E, מכיוון שהפעולה פנימית ואסוציאטיבית.

• כמובן, זה מובן מאליו.

• אבל זה טוב יותר כשאומרים את זה. אני לא יודע איך תנסה להחזיר את שתי האקסיומות שמתארות את האיבר הניטרלי וההופכי, אבל אני מבין לפחות מה גרם לך לחשוב על הרעיון הזה.

• חשבתי "למה זה מועיל?"

• בדיוק. למה זה מועיל שיהיה איבר ניטרלי? כפי שהוא, זה אומר "אם יש לי קבוצה E ואיבר ניטרלי, אני יכול לשלב את כל האיברים של הקבוצה עם אותו איבר ולקבל את אותו דבר". זה לא עוזר לי בכלל. באותו אופן, למה זה מועיל להפכי כשלעצמו? כשעושים חישובים על קבוצות, על משהו כלשהו, תמיד מצליחים, על ידי כפל מימין או משמאל באיברים או בהופכיהם, ליצור את a o a-1 או a-1 o a, שנותנים e, ואז b o e או e o b שנותנים b. אקסיומת הסנדוויץ' שלך היא "פונקציונלית".

• אם תרצה. נמשיך למשפטים שמגיעים מאקסיומת הסנדוויץ'. הראשון הוא:

I - קיים איבר ניטרלי שכאשר מורכב עם עצמו, נותן את עצמו:

e = e o e

II - האיבר הניטרלי הוא יחיד.

הוכחה:

נתחיל מאקסיומת הסנדוויץ'. המשוואה

a o y o b = c

יש לה פתרון y יחיד.

זה נכון גם אם b = c = a, לכן

a o y o a = a

יש לה פתרון יחיד. נכפיל מימין ב-y:

a o y o a o y = a o y

נשנה את סימון: a o y = e

...זה איבר של הקבוצה, מכיוון ש-a ו-y שייכים לקבוצה והפעולה פנימית. לכן קיים איבר של הקבוצה כך ש:

e o e = e

...המשפט I הוכח. נמשיך ליחידות, המשפט II. אם לא היה יחיד, היה קיים איבר אחר של הקבוצה, נקרא לו f, שמקיים:

f o f = f

יש לנו:

e o e = e

נכפיל מימין ב-f:

e o e o f = e o f

נכפיל שוב מימין ב-e:

e o e o f o e = e o f o e

נשתמש באסוציאטיביות:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

אלו שני סנדוויצ'ים. נקרא להם:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...לפי אקסיומת הסנדוויץ', אפשר "להוציא את הבקר", כלומר לחשב את הביטויים של ( e o f ) ו-f, שחייבים להיות שווים, מכיוון ש-p = q. לכן:

( e o f ) = f

...נתחיל שוב מההנחה המוקדשת ל-f:

f o f = f

...נכפיל מימין ב-e, פעמיים משמאל:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...נשתמש באסוציאטיביות:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...בשימוש שוב באקסיומת הסנדוויץ' נקבל ש:

e o f = e

לכן:

e = f

המשפט השלישי: אם אני לוקח את האיבר e "זהה לריבועו", זה גורם לכך ש:

a o e = a

הוכחה:

אנו משתמשים שוב באקסיומת הסנדוויץ'. נתחיל מהגדרת e:

e o e = e

נכפיל מימין סדרתית ב-a ו-e:

e o e o a o e = e o a o e

נעשה שימוש באסוציאטיביות.

e o ( e o a ) o e = e o a o e

לכן:

e o a = a

נתחיל מ:

e o e = e

ונכפיל משמאל סדרתית ב-a ו-e:

e o a o e o e = e o a o e

ונעשה שימוש באסוציאטיביות.

e o ( a o e ) o e = e o a o e

לכן:

a o e = a

המשפט השלישי הוכח.

נמשיך למשפט הרביעי

(קיום הפכי, מסומן ב-a-1).

ניסוח: נתון איבר מהקבוצה. קיים איבר ויחיד, פתרון של המשוואה:

a o y o a = a

נשנה את האיבר הזה ל-a-1 ונקרא לו הפכי של a. האיבר הזה מקיים את התכונות:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

הוכחה.

קיום ויחידות של האיבר הזה הן נסיגה פשוטה מאקסיומת הסנדוויץ', כאשר היא נכתבת כך:

כאשר שברי הבצק זהים זה לזה וזהים לסנדוויץ', אז הבקר הוא הפכי של שבר הבצק (או של הסנדוויץ').

a o y o a = a

ניתן להפעיל את האסוציאטיביות בשני דרכים:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

אנו יודעים ש:

e o a = a

a o e = a

לכן הפתרון y מקיים:

a o y = e

y o a = e

נראה שהפתרון הוא יחיד. אם לא היה, היה קיים אחר:

a o z = e

z o a = e

נכפיל את המשוואה הראשונה משמאל ב-y:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

אבל y o a = e, לכן:

z = y

נשנה את הפתרון הזה ל-a-1, פתרון של המשוואה היחידה:

a o a-1 o a = a

כך שהמערכת החדשה של אקסיומות מובילה לאותן תכונות שבעבר הגדרו קבוצות באופן קלאסי.

אפשר לכן להגדיר קבוצות באמצעות מערכת אקסיומות חדשה זו:

הגדרת קבוצה.

1 - קיימים איברים a, b, c... שייכים לקבוצה E

2 - קיימת פעולה פנימית, מסומנת ב-o ("עיגול"), שמאפשרת לשלב שני איברים מקבוצה.

a שייך לקבוצה E

b שייך לקבוצה E

a o b שייך לקבוצה E

3 - הפעולה היא אסוציאטיבית:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - יהיו שלושה איברים a, b, c, שייכים לקבוצה E.

המשוואה:

a o y o b = c

יש לה פתרון יחיד.

אם האיברים של הקבוצה E, עם הפעולה הפנימית שלה, מקיימים ארבעת האקסיומות הללו, אני אומר שהם יוצרים קבוצה.

משפט: האיבר הניטרלי הוא הפכי לעצמו. הגדרה חדשה של האיבר הניטרלי, באמצעות משוואה אחת, גורמת לדרך הוכחה שונה של התכונה הזו.

e o e = e

זו ההגדרה של האיבר המיוחד e. אך אקסיומת הסנדוויץ' ממקמת את המשוואה הזו עם תכונה (ולא בהגדרה) של הפכי.

משפט נוסף: הפכי של הפכי שווה לאותו איבר:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a הוא הפכי של a-1. מכאן התכונה.

נראה ש:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

אנו מחשבים:

a o b o b-1 o a-1 ו-b-1 o a-1 o a o b

נראה ששני הביטויים שווים ל-e.

a o ( b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

אותו דבר עבור הביטוי השני.

• זו דרך שונה להבנה של מושג הקבוצה.

• האונטולוגיה של הקבוצות.

• אם תרצה.

• אבל משהו אומר לי שהדבר הזה יוכיח פורצי דרך.

• עכשיו, שכח הכל, גם את אקסיומת הסנדוויץ'. נבחן קבוצה E עם פעולה פנימית אסוציאטיבית o. נניח שבקבוצה הזו קיים איבר שכאשר מורכב עם כל האיברים האחרים, משחק את תפקיד האיבר הניטרלי:

a o e = e o a = a - האם הוא יחיד?

• אם קיים, הוא בהכרח יחיד, ניתן להוכיח זאת.

• אה, כן, זה נכון.

• אגיד ששני איברים a ו-b יהיו מקושרים ביחס הפוך אם

a o b = b o a = e

אם מקבלים a, אז b הוא ההפכי שלו. אני אומר שאם מגבילים את הקבוצה לתת-קבוצה של האיברים שיכולים להכיל הפכי, תת-הקבוצה הזו תיצור קבוצה. זו דרך לברוא קבוצות. כלומר, נבחר מתוך הקבוצה את האיברים שמקיימים את התכונה הזו ואומר שנוכל לומר שזה מספיק כדי להוכיח שהתת-קבוצה יוצרת קבוצה.

צריך להוכיח שהתכונה היא פנימית.

• מה אתה מתכוון?

• יהיו שני איברים a ו-a' שמקיימים את התכונה, כלומר:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a יש לו הפכי b

a' יש לו הפכי b'. הם לכן בתת-הקבוצה הנידונה. צריך להוכיח ש-a o a' גם לו הפכי.

נמחק את הסימנים "עיגול", שהם משעממים.

a' o b' = e

נכפיל משמאל ב-a ומשמאל ב-b:

a a' b' b = a e b = a b = e

לכן:

( a a' ) ( b' b ) = e

נתחיל מחדש מ:

b o a = e

נכפיל משמאל ב-b' ומשמאל ב-a':

b' b a a' = b' e a' = b' a' = e

( b' b )( a a' ) = e

לכן האיבר שנוצר על ידי שילוב של a ו-a', שיכולים להכיל הפכי, גם לו הפכי.

• נשאר להוכיח שהתת-קבוצה הזו יוצרת באמת קבוצה.

• ולשם כך אראה שהתת-קבוצה מקיימת את אקסיומת הסנדוויץ', כלומר:

a y b = c

יש לה פתרון y יחיד.

• אני מבין. אקסיומטית, אתה עושה את ההפך ממה שעשינו קודם. קודם נתת את אקסיומת הסנדוויץ' והראית שזה גורם לקיום הפכיים. עכשיו אתה מניח שהאיברים של הקבוצה כולם יש להם הפכיים ותנסה להחזיר את אקסיומת הסנדוויץ' בעזרת התכונה הזו.

• הדרך הטובה ביותר להוכיח שמשוואה זו יש לה פתרון יחיד היא לבנות אותו. נכפיל את המשוואה למעלה משמאל ב-a-1 ומשמאל ב-b-1.

a-1 a y b b-1 = a-1 c b-1

( a-1 a ) y ( b b-1 ) = a-1 c b-1

y = a-1 c b-1

• לכן y הוא באמת פתרון של המשוואה:

a y b = c

בהכנסת הפתרון שנבנה, מתקבל:

a ( a-1 c b-1 ) b = c

...בכך אנו מניחים שניתן לשחק עם הסוגריים, להכליל את האסוציאטיביות. הנחנו (זה אחד מהאקסיומות) שניתן לבודד שני איברים בסדרת פעולות:

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

מדובר בהוכחה שמותר להכניס שלושה איברים בין סוגריים. אך נקבל את זה ללא הוכחה.

יישומים:

...נבחן את קבוצת המספרים הממשיים עם הכפל x כפעולה של יסוד. היא פנימית, אך אינה קבוצה לפי מערכת האקסיומות החדשה. למעשה, המשוואה שמדפיסה את האיבר e:

e o e = e

יש לה שני פתרונות:

e = +1 ו-e = -1

...נבחן את הבנייה הקודמת. מקבלים קבוצה (המספרים הממשיים), פעולה של יסוד, אסוציאטיבית (כפל). הקבוצה הזו יש לה איבר ניטרלי 1, שעתה אינו מוגדר כפתרון של

e o e = e

אלא כאיבר שכאשר מורכב עם כל איבר אחר בקבוצה (כולל עצמו), מחזיר אותו, כלומר ההגדרה הקלאסית:

לכל a שייך לקבוצה E מתקיים:

e o a = a o e = a

אם נתחיל מההגדרה הקלאסית של הפכי:

a o a-1 = a-1 o a = e

...הראינו שתת-הקבוצה של האיברים שיש להם הפכי יוצרת קבוצה. לכן המספרים הממשיים ללא אפס יוצרים קבוצה.

ניקח מטריצות ריבועיות בגודל (n,n). יש להן איבר ניטרלי:

עם אפסים מחוץ לאלכסון הראשי, שמכיל "1"

המטריצות הפיכות יוצרות קבוצה, שנקראת הקבוצה הליניארית GL(n).

• לי זה נשמע טוב מאוד, כל זה.

• ממהר... זו רק גרסה של האקסיומטיקה הקלאסית. הצגתי את זה בכנס על אפיסטמולוגיה, בגרנובל, לפני שבוע.

לסיום