הצגה אנליטית של שפת בוי

f5101 הצגה אנליטית של שפת בוי ג'.פ. פטיט ו'ג'. סוריאו .

**...**להלן חזרה על הערות למדוע-רנדוס של האקדמיה הצרפתית למדעים, מומחית על ידי ג'.'פ. פטיט וג'.'ס. סוריאו, מתאריך 1981.

**...**לעבודה הזו יש היסטוריה. עד שהופיע אלבום שלי, "טופולוגיקון", בדפוסי בלן, בתוכנית של הרפתקאות של אנשelm לנטורלו, בשנת 1985, ההצגות של שפת בוי במקורות מקצועיים היו נדירות. ניתן היה למצוא כאן ושם תמונות של מודלים שנוצרו או בפלסטר או בשרשרת עופות. צ'ארלס פוג', מהמחלקה למתמטיקה באוניברסיטת ברקלי, הוא המומחה העולמי המוכר של שרשראות עופות. למעשה, עם החומר הזה הוא זכה בפרס משמעותי, שצבר תקציב גבוה, על יצרת מודלים שמציירים את הפיכת הכדור לפי ברנארד מורין, מודלים שבעזרת נלסון מקס הופכו לסרט שמתגלגל בכל מחלקות המתמטיקה בעולם.

**...**אבל אני חושב שהשרשרת של עופות היא חומר לא יוקרתי במיוחד, במיוחד עבור נושאים מדעיים של רמה גבוהה. לאחר שידעתי את פלסטיקן בשם מקס זאוז', התחלתי ללמוד את טכניקת החוט הכסופי, שמבוסס על גמישות וקשיחות, שמקס סיפר בדexterיות, תוך כדי ניסיון למזער את החום, כדי שלא ייווצרו מתחים זורקים בחומר.

**...**הידיד שלי ג'אק בוליאר, ששמו האמתית הוא וסאלין, היה מורה באקדמיה לאמנות באקס-בפרובנס. פעם אחת הוא הציע לי להחליף אחד מהמורים שלו, שהלך לחו"ל, מה שעשיתי, תוך הובלה של שירות חצי-זמן יחד עם זאוז'. בזמן שהמצאתי את האובייקטים, מקס סיפר אותם. הסטודנטים שלנו, שסובבו סביבנו במתכונת מוזרה, ניסו להעתיק אותנו ככל האפשר. בשנה זו הצלחת האקדמיה לאמנות באקס-בפרובנס הפכה למאגר ייצור סדרתי של שפות מתמטיות.

**...**אם אתם רוצים להתחיל, זה לא מסובך. עליכם רול של חוט כסוף, נניח בקוטר מילימטר וחצי, שניים לכל היותר, וחתך חוט. עם זה תוכלו לצייר את שתי הקבוצות של קווים שמרכיבים כל שפה.

**...**הבעיה היא להצליח למודל את האובייקטים בצורה נכונה. לשם כך, חשוב מאוד לספק תנועה נוחה לנקודות החיבור, שם "מעגלים" ו"מקבילים" חותכים זה את זה. פתרון טוב הוא פשוט לרצף את שני חוטי המתכת עם חוט תפירה. זה מספיק צפוף כדי לספק יציבות, אך מספיק חלק כדי לאפשר הרכבות והזזות.

**...**רק כשאתם מעריכים שהאובייקט מתאים מתמטית לצרכים שלכם, תוכלו להעניק אותו למישהו שמשתמש בברסורה של כסף בדexterיות וידע לשלב את החוטים בלי להתחמם, כפי שמקס ידע לעשות בזוהר.

**...**יום אחד הביאתי דגם של שפת בוי, אחרי שמצאתי איך עלות "מעגלים" ו"מקבילים" צריכים להתאים. נראה שהייתם יכולים לארגן כך שהמעגלים יראו כמו קבוצת אליפסות.

**...**מקס העתיק את האובייקט בזהירות. אז הופיעתי אצל סוריאו. בנו (שאף לא היה מסוגל להשלים את התואר בפיזיקה) שיחק עם אייפל 2 של אביו. אני אמרתי לו:

• ז'רומ, האם אתה רוצה לקבל פרסום מתמטי טהור בשם שלך?

• מה זה? למה צריך לרצוח בשביל זה?

• אף אחד. אתה רואה את האובייקט הזה. תקח מדידה, מדוד את האליפסות האלה ונסה לבנות לנו הצגה חצי-ניסויית של השפה הזו.

• אפשר לנסות, תן...

**...**שני ימים לאחר מכן, זה היה מושלם. המאמר התקבל במהרה במדוע-רנדוס של האקדמיה הצרפתית למדעים והופץ בשם שלנו: ג'.'פ. פטיט וג'.'ס. סוריאו.

**...**אבל מכיוון שהאב נקרא ז'אן-מריה והבן ז'רומ, כל המתמטיקאים משוכנעים שזה עבודה שעשינו יחד, סוריאו האב ואני.

**...**הציור של השפה על מחשב, באמצעות תוכנית קטנה של ביסיק של כמה שורות, הפתיע מאוד רבים מתמטיקאים, שחשבו שמדובר משהו מורכב יותר. העניין נגע למשהו לא נעים. המתמטיקאי ברנארד מורין היה מרצה לסטודנטים, אפריה, בן של אפריה-אבא, מחבר התאורמה הנפלאה שאומרת שהסכום של הקוביות של מספרים שלמים הוא מספר אי-רציונלי. בין היתר...

**...**לא ידעתי. התקדמותנו הרגיזה מאוד את מורין, במיוחד כשאמרתי לו ב naïveté שמתודולוגיה זו צריכה להאפשר לתאר את השפה עם ארבע אוזניים שהפכה אותו לידוע, אותה שפה שנבנתה עם שרשראות עופות על ידי פוג', ואז דיגיטליזציה על ידי מקס וכו'.

מורין קרע את גבותיו:

• לא, זה בלתי אפשרי!

**...**נראה שזה יקרה מאוחר יותר. אני עדיין משוכנע להיפך. אבל המשפט הזה היה השוואה למשפט המפורסם שהטיל ארכימדס על הסולדר הרומי, שיצא להפריע לו במחשבותיו - Noli tangere circuleos meos!

בצרפתית "אל תגע במעגלים שלי!"

כאן זה היה יותר כמו "אל תגע באליפסות שלי!"

**...**לאחר מכן, אפריה השתמש בהשראה שלי, שבעזרתה ניתן היה לספק לשפת בוי מערכת של מעגלים אליפטיים, כדי לבנות את המשוואה המפורשת הראשונה של האובייקט:

f(x,y,z) = 0

**...**מורין, שנפגע מכך שאני מופיע כמי שמעורב ב עבודותיו המתמטיות, הורה לאפריה להבהיר בתזה שלו שזאוז' היה זה שמצא את הרעיון של האליפסות. מקס לא ניגר, אך זה לא נכון. ההוכחה נמצאת במרתף שלי: המודל שהביאתי למקס כדי שיסדר אותו.

**...**לבסוף, כל זה די מוזר. ה anecdote הזו קיימת כדי להראות שהמתמטיקאים לא יותר חכמים מהפיזיקאים.

**...**הפוליטכניקון קולונה, פורץ דרך בתחום התמונות הסינטטיות, השתמש בכל המשוואות שלנו ללא ציון המקור. אך יש נקודה מעניינת: אם אתם רואים על מסך תמונות של שפת בוי, ואם זו "האחת שלנו", היא תציג בהכרח שלוש קמטים קלים ליד הקטב שלה. תקלה בהתאמת המשוואות. ז'רומ, בן סוריאו, עשה את זה מהר מדי, והכפפה האחרונה של החוט בקרבת הקטב הייתה צריכה להיות קצת יותר. זה עדיין אפשרי, למעשה, לכל מי שירצה.

**...**הסאגה של שפת בוי לא הסתיימה. כדי להשלים, נזכיר перסון: קרלו בונומי, מיליארדר איטלקי. הכירתי אותו במהלך מסע למשולש במרדיס (אבל זו סיפור אחר לגמרי). אנו נסעו במהירות על יacht שלו, שברמה של רכוש שגרם להפסקת נשימה, לחפש פירמידה שנשכחה, שהוזכרה על ידי צ'ארלס ברליץ בספר אחד שלו. לא מצאנו את הפירמידה, והיינו כמעט אוכלים על ידי הדגים הגדולים שגרמו במקומות האלה. אם יש לכם אטלס, המקום שבו נאמר שהפירוש "פירמידה אטלנטית" הייתה צריכה להימצא הוא בדרום-מערב רиф בשם קיי סל באלק, במרחק חמישים מייל מדרום לקובה.

**...**בין שתי שחיות וארוחת ערב של קביצה, הציעתי לבונומי למשוך תموיל להכנת שפת בוי בקנה מידה גדול. הרעיון נפלה לו טוב והמשיך. נאמר שהשפת בוי שמעודרת את חדר המתמטיקה ב"המגדל של התגלות" בפריז נקנית על ידי בונומי ומיוצרת על ידי זאוז'. המנפיק חשב להקים תערוכה על ידי ייצור האובייקטים ממתכת זהב טהורה. אך העניין לא המשיך. מופתע מהשקט הארוך שלו, קראתי למשרדיו בميلן. אסורים, מעורב בסקנדל של הלוג'ה P2, נכלא, ועדיין לא חזר על התעניינותו בטופולוגיה.

**...**הכיסוי דו-שכבתי של שפת בוי, תמונת הפרויקטיבית P2, היא כדור S2 (ראה את "טופולוגיקון"). פוג' בנה את הכיסוי הזה עם שתי שכבות של שרשראות עופות, אובייקט מרהיב בכל נקודה, גם אם אני אומר שזה מעדיף אישית את החוט הכסופי וההצגה של מעגלים-מקבילים. אך גם במתמטיקה טהורה:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**לפני שנציג את הערות, עוד אנקדוטה אחת. פוג' בנה שבעה דגמים בשרשראות עופות, מה שגרם לו זכות גדולה, שמתארת את השלבים הסדרתיים של הפיכת הכדור, שאותה נדבר בה כשאמצא חמש דקות כדי להכניס את זה לאתר, והושבו על סיפון הקפיצה של המחלקה למתמטיקה באוניברסיטת ברקלי.

**...**לכן מתמטיקאים מכל העולם באים כפועלים לראות את הסדרה המדהימה הזו. אך בלילה אחד נגנבו הדגמים ולא ידוע מה קרה להם, שבעת האובייקטים, שבעצם לא ניתן למכור. מי היה יכול לקבל עסק כזה? אלא אם מישהו מיליארדר, חצי-אסתטי, חצי-מתמטיקאי, תרם את הפעולה, כדי לשמור אותם באחד המבנים המוגנים, רק בשביל האושר של להיות האדם היחיד שיכול להביט בשמונה מופתים של העולם, גם אם הם נבנו משרשראות עופות.

**...**פוג', למרות שידע את החומר, לא ידע לחדש סדרה חדשה.

**...**כפי שאמרנו כבר בהתחלה באתר, החיים של ורנר בוי נשארו מISTER. לאחר שהמציא את השפה אליה הוא צירף את שמו, הוא נעלם ממשית אחרי עזיבתו של האוניברסיטה. למרות מחקריו, הילברט לא הצליח למצוא אותו, ואפילו לא ידוע איפה הוא נקבר.

**...**חזור למתמטיקה. הערות הבאות קלות לקריאה. מנוסח 1 עד 8 כל תלמיד תיכון מתעורר יכול ליצור תמונות יפות ולבצע בדיקה שחתכים התאימו לאיור 5.

C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 באוקטובר 1981) סדרה 1 - 269
גיאומטריה. - הצגה אנליטית של שפת בוי. הערה של ז'אן-פייר פטיט וז'רומ סוריאו, מוצגת על ידי אנדרא ליכנרויץ.

מציגים הצגה אנליטית של שפת בוי, המאפשרת לצייר אותה.

1. הקדמה.
**...**השפה שהומצאה בשנת 1901 על ידי המתמטיקאי ורנר בוי, תלמידו של הילברט, ידועה היטב למתמטיקאים. היא יכולה להופיע כשלב מרכזי בהפיכת הכדור ( [1] ו-[2] ).

**...**ב-1979 (ג'.'פ.) בנה מודל במתכת, שמאפשר לראות את המיקום שבו עלויות להיות קווים מערביים של השפה. עבודה שנייה שנעשתה ב-1980 עם הסculpteur מקס זאוז' אפשרה לבנות מודל שני שבו הקווים נמצאים בדרכים וראו דומה לאליפסות. מתוך מודל כזה נראה אפשרי לבנות הצגה אנליטית של שפה בעלת טופולוגיה של שפת בוי, שהמעגלים שלה הם אליפסות שעוברות דרך קטב אחד.

2. איך לייצר את שפת בוי בעזרת אליפסות.

**...**נניח שהקטב נמצא בראשית הקואורדינטות. בנקודה זו השפה תהיה משיקה לפלן (XOY). לכן יש לה ציר OZ כציר סימטריה שלוש-צדי. קווים מערביים הם אליפסות הנמצאות בפלנים Pm. נניח ש-OX1 היא הצלילה בפלן XOY של פלן Pm. נקרא ל-m הזווית (OX, OX1). בפלן Pm נשים ציר שני OZ1 מאונך ל-OX1. ונשנה את הזווית a (OZ, OZ1).

איור 1 ו-2

**...**הפרמטר הראשון בהצגה האנליטית יהיה הזווית m. נתייחס לזווית a כפונקציה של m (שיהיה מוגדר בהמשך). בפלן Pm נצייר כעת אליפסה משיקה ב-O ל-OX1 (ראה איור 2). נבחר את הצירים של האליפסה מקבילים לביסקטורים של X1OZ1. נקרא ל-A(m) ו-B(m) את ערכי הצירים של האליפסה הזו. האליפסה Em תיווצר על ידי פרמטר חופשי נוסף q.

**...**לסיכום, נקבל את הקואורדינטות X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) של הנקודה הנוכחית על השפה.

**...**בהקשר של קירוב חצי-ניסויי, מדידות שנעשו על ידי (ז'.'ס.) על המודל אפשרו קירוב לפונקציות a(m), A(m) ו-B(m). לאחר מכן שרטטו את השפה על מחשב "אייפל-2" והתקבלו חתכים ב-Z = קבוע. הבחנה של החתכים אפשרה לקבוע את הזהות הטופולוגית עם שפת בוי. זה לא ניתן היה אלא בעקבות ניסויים מספריים (ז'.'ס.) שמאפשרו להסיר זוגות של סינגולריות זורקת (הופעת זוגות של נקודות קוספידליות).

**...**הגענו לאמור: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)

(3)

**...**במערכת X1 O Z1, הקואורדינטות של מרכז האליפסה Em הן: (4)

(5)

**...**במערכת זו, הקואורדינטות של הנקודה הנוכחית על האליפסה הן (6)

(7)

והקואורדינטות x, y, z ניתנות על ידי:

(8)