הצגה אנליטית של משטח בוי

f5101 הצגת אנליטית של משטח בוי ג'ן-פייר פטיט ו'ג'רומ סוריאו .

**...**להלן הופעה של הערת מחקר ל-Comptes Rendus של האקדמיה הצרפתית למדעים, חתומה על ידי ג'ן-פייר פטיט ו'ג'רומ סוריאו, מ-1981.

**...**העבודה הזו יש לה סיפור. עד שהבוסט של "הטופולוגיקון" יצא ב-1985, במדפסת בלן, בתוכנית "הרפתקות של אנסלם לנטורלו", היו מייצגים את משטח בוי בכתבים מקצועיים בודדים. מצאנו פה ושם תמונות של מודלים שנעשו בפלסטר או בפלדה. צ'ארלס פוג' מהמחלקה למתמטיקה באוניברסיטת ברקליה הוא המומחה העולמי המוחלט לפלדה. הוא גם השתמש בזאת השרשרת כדי לקבל פרס מالي חשוב, כאשר הוא בנה מודלים המתארים את ההפיכה של הכדור לפי ברטנור מורין, מודלים שנקראו מאוחר יותר על ידי נלסון מקס כדי להפוך אותם לסרט שמתפשט בכל מחלקות המתמטיקה בעולם.

**...**אבל אני חושב שפלדה היא חומרים לא נبيل, במיוחד עבור נושאים מדעיים מתקדמים. לאחר שפגשתי אמן בשם מקס סוז, התחלתי ללמוד את טכניקת הפליז הכסוף, רך ומחזק, שמקס סולד בדexterité, מנסה לא להתחמם יותר מדי, כדי שלא ייווצרו מתחים זרים ב חומר.

**...**חברי שלי ג'اك בוליאר, אלייז וסליין, היה מורה בפנאי אקס-בונבון. פעם אחת הוא הציע לי להחליף מורה אחד שיצא למדינה אחרת, מה שעשיתי, ובהמשך עבדתי במשרה חצי-זמן עם סוז. בזמן שהמצאתי את הצעצועים, מקס סולד אותם. הסטודנטים שלנו, מסביב למשימה, הבחינו, ניסו לחקות את זה הכי טוב שאפשר. באותה שנה, הצלע של בית האמנות באקס-בונבון הפכה למשרדה של ייצור של משטחים מתמטיים.

**...**אם תרצה להתחיל, זה לא קשה. תצטרך רול של פליז כסף, נניח בקוטר של מילימטר וחצי, שניים במקסימום, וקופסה. עם זה תוכל להציג את שתי המשפחות של קווים שמרכיבים כל משטח.

**...**הבעיה היא למודל את הצעצועים בצורה נכונה. כדי לעשות זאת, טוב לשקול את נקודות החיבור, שם "המזרחיים" ו"המקבילים" נחתכים. פתרון טוב הוא פשוט למחבר את שני חוטי המתכת עם חוט למחט. זה מספיק צפוף כדי לספק יציבות, אבל מספיק מוצל כדי לאפשר עקימות וتعديلים.

**...**זה רק כשאתה חושב שהצעצוע מתמטי כנדרש שאפשר למסור אותו לشخص שמתמצא בברזל הזהב בדexterité וידע למחבר בלי להתחמם, כפי שמקס עשה בזיהוי מושלם.

**...**יום אחד אני הביאתי דגם של משטח בוי, לאחר שנמצא איך המזרחיים והמקבילים צריכים להתחבר. נראה שמאפשר להפוך את המזרחיים למשפחה של אליפסות.

**...**מקס עותק את הצעצוע בזהירות. אז הגעתי לסוריאו. בנו (שאינו יושב לסיים את התואר בפיזיקה) שיחק עם ה-Apple II של אביו. אני אמרתי לו:

• ג'רומ, האם אתה רוצה לפרסם מתמטיקה טהורה בשם שלך?

• בוא נראה, מי צריך להרוג כדי לעשות את זה?

• אף אחד. אתה רואה את הצעצוע הזה. קח מדידת זוית, מדוד את האליפסות האלה ונסה לבנות נציגת חצי-אימפרית של המשטח הזה.

• אפשר לנסות, תן...

**...**שני ימים לאחר מכן, זה היה מוכן. המאמר נתקבל במהירות ב-Comptes Rendus של האקדמיה הצרפתית למדעים והופץ תחת שני השמות שלנו: ג'ן-פייר פטיט ו'ג'רומ סוריאו

**...**אבל כיוון שהאב נקרא ג'אן-מארי והבן ג'רומ, כל המתמטיקאים מאמינים שזה עבודה שעשינו יחד, סוריאו האב וانا.

**...**הرسم של המשטח על המחשב, בעזרת תוכנית BASIC קטנה של מספר שורות, הפתיע רבות מתמטיקאים, שציפו משהו מורכב יותר. הפעולה הרגישה לא נעימה. המתמטיקאי ברטנור מורין היה סטודנט למדעי המחשב, אפריה, בן של אפריה-אב, מחבר של התיאוריה הבלתי נסבלת לפיו סכום המספרים השלמים בקוביה הוא מספר אי-רציונלי. בין היתר....

**...**אני לא ידעתי. התקדמותנו פחדה את מוריין, במיוחד שכן אמרתי לו בזדוניות בזמנו שהשיטה הזו תאפשר לתאר את המשטח עם ארבעה אוזניים שהפכה אותו לידוע, אותו שנבנה עם הפלדה שלו על ידי פוג', ואז נדידת על ידי מקס, וכו'.

מוריין קפל את גבותיו:

• לא, זה בלתי אפשרי! ....

**...**נראה את זה מאוחר יותר. אני עדיין מאמין בהפכים. אבל המשפט הזה היה המשך לאמירה מפורסמת שהעניק ארכימדס לחייל הרומאי, שיצא להפריע לו - Noli tangere circuleos meos!

בצרפתית "אל תגע במעגלי שלי!".

כאן, זה היה יותר כמו "אל תגע באליפסות שלי!".

**...**במהלך, אפריה השתמש במציאתי, לפיו ניתן לספק למשטח בוי מערכת של מזרחיים אליפסואידים, כדי לבנות את המשוואה ההפוכה הראשונה של הבחור:

f (x,y,z ) = 0

**...**מוריין, שנבך לראות אותי מופיע כפוגע בעבודות המתמטיקה שלו, פקע על אפריה לפרט, בthesis שלו, שזה סוז שמצא את התרגיל של האליפסות. מקס לא דחה, אבל זה לא נכון. הוכחה היא במרתף שלי: המודל ש带到 למקס כדי שיסדר אותו.

**...**לבסוף, כל זה קצת מצחיק, בגדול. האגדה הזו נועדה להראות שמתמטיקאים אינם מוכרים יותר מהפיזיקאים.

**...**המג'ור קולונה, ממציא בזיהוי תמונות, השתמש בכל המשוואות שלנו, ללא ציון המקור. אך יש פרט מוזר, אם אתם מוצאים על מסך תמונות של משטח בוי. אם זה "השלנו", הוא יציג בהכרח שלושה "עיקומים" קלים ליד קוטב. תקלה בהתאמה של המשוואות. ג'רומ, בנו של סוריאו, עשה את זה במהירות, וקצף קטן של בור בקרבת הקוטב היה מועיל. זה עדיין ניתן לעשות, כמובן, למי שירצה.

**...**הסיפור של משטח בוי אינו סגור. כדי להיות מלא, נציין персонא: קארלו בונומי, מיליארדר איטלקי. אני פגשתי אותו במסע למשולש בורמודה (אבל זה סיפור אחר). אנו נסעו במהירות על אונייתו, שמתאימה לשלב, לחיפוש של פירמידה שנסתרה, שהוזכרה על ידי צ'ארלס ברטליץ במחברת שלו. לא מצאנו את הפירמידה, והיינו כמעט אוכלים על ידי מספר גדול של דגים שחיים במקומות הללו. אם יש לך אטלאס, המקום שבו הפירמידה האטלנטית המביכה הייתה צריכה להמצא היא בדרום-מערב ריף שנקרא קיי סל באלק, חמישים מייל דרומה מקרובה.

**...**בין שתי תרגילי שחייה ושתיה של קבוצת קבוצות, הציעתי לבונומי לספק ייצור אינטנסיבי של משטח בוי. ההצעה נראתה לו טוב ו הייתה המשך. נאמר שמשטח בוי שמסדר את מוזיאון המתמטיקה של פאריס נקח על ידי בונומי ומיוצר על ידי סוז. המمول התכוון להקים תערוכה שמיוצרת על ידי חפצים בפליז זהב. אך הصفقة לא הולכה קדימה. מפתיע משתיקה ארוכה, אני קראתי ל Büros של מילאנו. מצטער, מעורב בזיהוי של הלהקה P2, הוא נכלא, והאכפת לו מטופולוגיה הרגה באופן בלתי הפיך.

**...**השכבה של משטח בוי, תמונה של P2 ההפיכי, היא כדור S2 (לראות את ה-Topologicon). פוג' בנה את השכבה עם שתי שכבות של פלדה, חפץ בכל נקודה מופלא, למרות, כמו שאמרתי, אני מעדיף אישית את הפליז הכסוף וההצגה של מזרחים-מקבילים. אך גם במתמטיקה טהורה:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**לפני שהצגת הערת מחקר, סיפור אחרון. צ'ארלס פוג' בנה שבעה מודלים בפלדה, מה שהביא לפרס חשוב, המתאר את שלבי ההפיכה של הכדור, שיסופר עליה כשאני אמצא חמש דקות כדי לשים את זה על האתר, והם הונחו בקרבת שולחן האוכל של המחלקה למתמטיקה באוניברסיטת ברקליה.

**...**המתמטיקאים מהעולם כולו ביקרו בפאלרינגו להעניק תקווה לסדרה מרשימה בכל נקודה. אך בלילה אחד, המודלים נגנבו ולא ידוע מה קרה ל-7 חפצים, שבעצם לא ניתן למכור. מי יקבל את העסקה הזו? אולי מוסר עשיר, חצי אמנות, חצי מתמטיקאי, שתרם את הפעולה, כדי לאחסן אותם במרתף מוגן, רק כדי להנות מההערכה של להיות האדם היחיד שיכול להביט בשמונה מופעים של עולם, גם אם הם מיוצרים בפלדה.

**...**פוג', למרות שמכישור החומרים, לא היה שואף להתחיל סדרה חדשה.

**...**כמו שסיפרנו כבר בתחילת האתר, החיים של ורנר בוי הם עדיין מסתורים. לאחר שהמציא את המשטח ששמו יתלווה אליו, הוא נעלם פיזית לאחר יציאתו מהאוניברסיטה. למרות מחקריו, הילברט לא הצליח למצא את עקבותיו, ואפילו לא ידוע היכן הוא נקבר.

**...**נשוב למתמטיקה. הערת המחקר הבאה היא יחסית קלה לקריאה. מ-1 עד 8, כל תלמיד תיכון מתעורר יכול לבנות תמונות יפות ולוודא שהחתכים מתאימים לתרשים 5.

C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 באוקטובר 1981) סדרה 1 - 269
גאומטריה. - הצגת אנליטית של משטח בוי. הערת מחקר של ג'ן-פייר פטיט ו'ג'רומ סוריאו, מוצגת על ידי אנדרה ליכנרוויץ.

מוצגת הצגת אנליטית של משטח בוי, המאפשרת לצייר אותו.

1. היכן?
... המשטח שנוצר ב-1901 על ידי המתמטיקאי ורנר בוי, תלמיד של הילברט, ידוע למתמטיקאים. הוא יכול להשתתף כשלב מרכזי בהפיכה של הכדור ( [1] ו- [2] ).

**...**ב-1979 (ג'ן-פייר פטיט) בנה מודל בפליז מתכתי, שהציג את המיקומים שמכיל את הקווים המזרחיים של המשטח. עבודה נוספת שנעשתה ב-1980 עם הסculpteur מקס סוז אפשרה לבנות מודל שני שבו הקווים נמצאים במשטחים ומשתלשלים כמו אליפסות. ממודל כזה נראה שניתן לבנות הצגת אנליטית של משטח עם טופולוגיה של משטח בוי, והמזרחים שלו הם אליפסות שעוברות דרך קוטב יחיד.

**2. איך ליצור את משטח בוי עם אליפסות. **

**...**נמצא את הקוטב במקור של הקואורדינטות. בנקודה זו המשטח יהיה משיק לפלן (XOY). הוא יקבל לכן את ציר OZ כציר סימטריה טרינרי (לראות את התרשים 1). הקווים המזרחיים הם אליפסות שנמצאות במשטחים Pm . נאמר OX1 היא הצלע בפלן XOY של משטח Pm . נקרא m הזווית (OX,OX1). במשטח Pm נמצאה ציר OZ1 מאונך ל- OX1 . נקרא a הזווית (OZ, OZ1).

תרשים 1 ותרשים 2

**...**הפרמטר הראשון של ההצגה האנליטית יהיה הזווית m. נשקול את הזווית a כפונקציה של m (שיהיה מוגדרת מאוחר יותר). במשטח Pm נצייר כעת אליפסה משיקה ב-O ל- OX1 (לראות את התרשים 2) . נקח את הצירים של האליפסה מקבילים למחצית של X1OZ1. נקרא ל- A(m) ו- B(m) את הערכים של הצירים של האליפסה. האליפסה Em תיווצר על ידי פרמטר חופשי שני q .

**...**בקיצור, נקבל את הקואורדינטות X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) של הנקודה הנוכחית של המשטח.

**...**במקרה זה, מדידות שנעשות על ידי (ג'רומ) על המודל אפשרו קירוב של הפונקציות a(m), A(m) ו- B(m). המשטח נשרטט על ידי מחשב "Apple-II" וקיבלנו חתכים ב- Z = Cte, בחינת החתכים אפשרה לקבוע את זהות הטופולוגיה עם משטח בוי. לא ניתן היה לקבל את זה רק על ידי ניסוי מספרי (ג'רומ) שהאפשר להסיר זוגות של סינגולריות זרות (הופעת זוגות של נקודות קוספידליות).

**...**הגענו לאמור: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)

(3)

**...**במערכת X1 O Z1 הקואורדינטות של מרכז האליפסה Em הן: (4)

(5)

**...**במערכת זו, הקואורדינטות של הנקודה הנוכחית של האליפסה הן (6)

(7)

והקואורדינטות x, y, z מוגדרות על ידי:
(8)