a206 Un modèle cosmologique : la double explosion. (p.6) Considérons maintenant un espace infini rempli d'un matériau de densité constante. Quel est le champ gravitationnel au voisinage d'un point donné O ? Immédiatement, nous pensons :
- Prenons l'équation de Poisson :
(165)
DY = 4 p G r
où Y est le champ gravitationnel et r la densité de masse. Première remarque : une densité constante r ne convient pas à un potentiel constant. Bon... résolvons le problème dans des conditions à symétrie sphérique. (166)
Le champ gravitationnel est : (167)
La solution est : (168)
Le champ gravitationnel (radial) non nul devient : (169)
qui tend vers l'infini à l'infini (...). Quel est le champ gravitationnel ? En principe, il s'agit de la force agissant sur une masse de référence m = + 1 . (169 bis)
...O est un point arbitraire. M un autre point arbitraire. J'obtiens que une masse-test m = +1, située en M, est attirée radialement par O. Cela permet de calculer le champ gravitationnel dans un trou sphérique. Nous pouvons utiliser le schéma suivant. (170)
...Nous pouvons calculer le champ dû à la sphère à droite, remplie d'un matériau de densité constante. Ensuite, nous retrouvons le résultat précédent : le champ gravitationnel est nul dans le trou sphérique.
Nous disons que c'est faux.
- Dans le premier cas, nous avons supposé que la loi de Newton est valable à des distances infinies.
- Dans le second cas, nous supposons que l'équation de Poisson est valable dans un milieu uniforme.
...Dans l'article mentionné plus haut, nous revenons à l'origine de l'équation de Poisson et de la loi de Newton. Elle correspond à une approximation newtonienne : strictement parlant : champ faible et vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière. Comme indiqué dans l'article, l'analyse classique repose sur des métriques en état stationnaire (le terme d'ordre zéro et le terme de perturbation sont choisis indépendants du temps). Le terme d'ordre zéro de la métrique est identifié à l'espace de Minkowski, qui convient à une condition d'état stationnaire (car il s'agit d'un espace vide).
...Mais cela ne convient plus lorsqu'on a une distribution de masse uniforme non nulle en combinaison avec des conditions stationnaires. Une telle solution n'existe tout simplement pas. Si de la matière est présente, on obtient des modèles de Friedmann, et non un modèle d'état stationnaire.
...Conclusion : L'analyse classique ne peut pas être étendue aux distributions de masse à densité constante, où il devient impossible de définir un potentiel gravitationnel quelconque. En conclusion : La force gravitationnelle dans une distribution de masse à densité constante non bornée est nulle partout.
...Corollaire : Le champ gravitationnel à l'intérieur d'un trou sphérique est non nul.
Même chose si le trou a la forme d'un ellipsoïde plat : (171)
...Physiquement, la frontière n'est pas si abrupte. Il existe un gradient de densité de matière, ainsi qu'un gradient de pression. Si la galaxie est retirée, ce gradient de pression ferait disparaître le trou. Dans l'article : J.P. Petit et P. Midy : Matière noire répulsive. Physique géométrique A, 3, 1998. Figure 4.
nous avons utilisé une telle distribution de masse non abrupte.
Version originale (anglais)
a206 A cosmological model : The twin bang. (p.6) Consider now an infinite space, filled by constant density material. How is the gravitational field in the vicinity of a given point O ? Immediatly, we think :
- Let us take the Poisson equation :
(165)
DY = 4 p G r
where Y is the gravitational field and r the mass-density. First remark : a constant density r does not fit a constant potential. Well.. let us solve the problem in spherically symmetric conditions. (166)
The gravitational field is : (167)
The solution is : (168)
The non-zero ( radial ) gravitational field becomes : (169)
which tends to infinite at the infinite (...). What is the gravitational field ? In principle it is the force acting on a reference mass m = + 1 . (169 bis)
...O is an arbitrary point. M another arbitrary point. I find that a test-mass m = +1, located in M, is radially attracted by O. This makes possible to compute the gravitational field in a spherical hole. We can use the following schema. (170)
...We can compute the field due to the sphere on the right, filled by constant density material. Then we refind the preceeding result : the gravitational field is zero in the spherical hole.
We say it's false.
- In the first case we have assumed that the Newton's law is valid for infinite distances.
- In the second one we assume that the Poisson equation is valid for a uniform medium.
...In the afore-mentioned paper we return to the origin of the Poisson equation and Newton's law. It corresponds to Newtonian approximation : strictly talking : weak field and small velocities with respect to light velocity. As pointed out in the paper, the classical analysis is based on steady state metrics (zeroth order term and perturbation term are chosen time-independent). The zeroth order term on the metric is identified to Minkowski space, which fits steady state condition (for it is an *empty *space).
...But it does not fit any longer, non-zero uniform mass distribution plus steady conditions. *Such a solution simply does not exist. *If any matter is present we get Friedmann models, not steady state model.
...Conclusion : The classical analysis cannot be extended to constant density mass distributions where it becomes impossible to define any gravitational potential. As a conclusion : The gravitational force in an unbounded constant density mass distribution is zero everywhere.
...Corollary : The gravitational field inside a spherical hole is non-zero.
Same thing if the hole looks like a flat ellipsoid : (171)
...Physically, the frontier is not so abrupt. There is a matter density gradient, and a pressure density gradient. If the galaxy is removed, such pressure gradient would make the hole disappear. In the paper : J.P.Petit and P.Midy : Repulsive dark matter. Geometrical Physics A , 3, 1998. Figure 4.
we have used such non-abrupt mass distribution.