a4124
| 24 |
|---|
Le groupe spécial de Galilée.
...Le lecteur trouvera cette extension dans le livre de Souriau : Structure of Dynamical Systems, Birkhäuser Ed. 1997 et, en français, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...Un groupe peut être étendu. Cela signifie que le nombre de paramètres dont il dépend va augmenter. Calculez le nombre de paramètres dont dépend le groupe de Galilée. Nous partons de la matrice de rotation en 3D :
(322)
Il s'agit d'une matrice orthogonale :
(323)
Ces matrices forment le groupe SO(3), qui est un sous-groupe du groupe O(3) composé de toutes les matrices orthogonales. Nous avons :
(324)
Rappelons la différence avec :
(325) (325b)
sont les matrices orthogonales les plus générales, dont les déterminants obéissent à :
(326)
Fin de cette parenthèse.
Le prochain groupe de matrices carrées (5,5) sera appelé le groupe spécial de Galilée :
(327)
La matrice de rotation dépend de trois paramètres libres, les angles d'Euler. Ainsi, la dimension du groupe est dix.
En utilisant les notations :
(328)
nous obtenons :
(329)
Associé au vecteur espace-temps :
(330)
de sorte que l'action correspondante du groupe spécial de Galilée est :
(331)
...Étant donné le groupe spécial de Galilée, il est possible de calculer l'action du groupe sur son espace des moments. Ce calcul ne sera pas donné ici. Le lecteur pourra le trouver dans mes cours sur les groupes, disponibles.
Donnons le résultat :
(332)
Nous reconnaissons le moment **p **et l'énergie E. Le moment est composé de :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Dix quantités scalaires. Dix dimensions pour le groupe. Nous avons encore le vecteur de passage **f **et la matrice d'antisymétrique de spin **l **(composée de trois composantes indépendantes lx , ly , lz , formant le "vecteur spin").
L'extension triviale du groupe spécial de Galilée.
Les matrices suivantes forment un nouveau groupe.
(334)
Elle introduit une nouvelle composante f, scalaire, le « phasis » (lié au monde quantique). La dimension du groupe devient 10 + 1 = 11
Ce nouveau groupe agit sur un espace à cinq dimensions :
(335)
z est une « dimension additionnelle ». Elle a été introduite pour la première fois par le Polonais Kaluza, en 1921, puis par J.M. Souriau, en 1964 (Géométrie et relativité Hermann Éditeur, non traduit en anglais).
Encore une fois, on peut calculer l'action coadjointe correspondante du groupe sur son espace des moments. Nous trouvons ceci :
(336)
Le moment devient :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...Nous avons une quantité scalaire supplémentaire m et nous l'identifions à la masse. Nous voyons que le groupe spécial de Galilée, agissant sur l'espace-temps, apporte l'énergie, mais pas la masse, comme composante du moment. Actuellement (par extension triviale), notre particule obtient un attribut supplémentaire, identifié à la masse, de façon très arbitraire, et qui n'interagit pas avec les autres composantes du moment.
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
a4124
| 24 |
|---|
The special Galileo's group.
...The reader will find this extension in Souriau's book : Structure of Dynamical Systems, Birkhasuer Ed. 1997 and, in french, Structure des Systèmes Dynamiques, Ed. Dunod 1973.
...A group can be extended. It mean that the number of the parameters it depends on will be increased. Compute the number of parameters which the Galileo's group depends on. We start from the 3d rotation matrix :
(322)
It's an orthogonal matrix :
(323)
these matrixes form the groups SO(3) which a sub-group of the group O(3) composed of all the orthogonal matrixes. We have :
(324)
Recall the difference with :
(325) (325b)
are the most general orthogonal matrixes, whose determinants obey :
(326)
End of this parenthesis.
The next group of square matrixes (5,5) will be called the special Galileo group :
(327)
The rotation matrix depends on three free parameters, the Euler's angles. So that the dimension of the group is ten.
Using the notations :
(328)
we get :
(329)
Associated to the space time vector :
(330)
so that the corresponding action of the Spacial Galileo's group is :
(331)
...Given the Special Galileo's group, it is possible to compute the action of the group on its momentume space. The calculation will not be given here. The the reader can find it in my lectures of groups, available.
Let us give the result :
(332)
We recognize the momentum **p **and the energy E. The momentum is composed by :
(333) JSG = { E , p , f , **l **}
...Ten scalar quantities. Ten dimensions for the group. We still have the passage vector **f and the antisymmetric spin matrix l **(composed by three independent components lx , ly , lz , forming the "spin vector" ).
The trivial extension of the Special Galileo's group.
The next matrixes form a new group.
(334)
It introduces a new component f, a scalar, the "phasis" ( connected to quantum world ). The dimension of the group becomes 10 + 1 = 11
This new group acts on a five dimensional space :
(335)
z is an "additional dimension". It was first introduced by the Polish Kaluza, in 1921, then by J.M.Souriau, in 1964 (Géométrie et relativité Hermann Editeur, not translated in English ).
Here again, one can compute the corresponding coadjoint action of the group on its momentum space. We find this :
(336)
The momentum becomes :
(337) JTESG = { m , E , p , **f **, **l **}
...We have one more scalar m and we identify it to the mass. We see that the Special Galileo's group, acting on space time, brings the energy, but not the mass, as a component of the momentum. At the present time ( through trivial extension ) our particle gets an additional attribute, which is identified to the mass, very arbitrarly, and which does not interact with the other components of the momentum.