groups and physics coadjoint action momentum

קבוצות ופעולה קואדואנטית של מומנטום בפיזיקה

אנו לא נכתוב את המרכיבים של המומנט של חבורת ברגמן. נרשום סכמטי את המומנט של חבורת ברגמן כלהלן:

JB = { סקלר m, ועוד מרכיבים אחרים של המומנט }

הפעולה הקואדואנטית מראה כיצד המרכיבים השונים של המומנט מתפתחים. אך הפעולה הקואדואנטית של חבורת ברגמן על המומנט מתחילה מהקשר פשוט:

(63) m' = m

הפעולה הקואדואנטית של חבורת ברגמן על המומנט מתחילה בהגנה על המסה, שמכך מופיעה עם מצב גאומטרי טהור.

בניית הפעולה הקואדואנטית של חבורת פואנקרה על מרחב המומנטים שלה, Jp**.**

אם כבר מתרגלים לגמרי, אפשר לפספס. זה טבעי, וזה יפוך ליותר קשה עם כל עמוד. אני כבר לא יודע ממש למי מיועד מה שכאן. למתמטיקאים או לפיזיקאים תיאורטיים בוודאי, אך ככל הנראה לא למלטנים-שופרים. אך תלמיד של אוניברסיטה או תואר ראשון בפיזיקה שיתחיל לקלוט יוכל לעקוב. זה פשוט מטריצות.

הכול מתחיל מקבוצת מטריצות בגודל (4,4) שמרכיבות את חבורת לורנץ, שאלמנטים שלה הם L.

אלה מוגדרים אקסיומטית באמצעות מטריצה G:

(64)

לפי:

(65) tL G L = G

בהינתן את המטריצה המוחלפת של L.

המטריצות L מהוות חבורה.

הוכחה.

האלמנט האפס הוא L = 1:

יהיו L1 ו-L2 שני איברים בקבוצה. נבדוק אם המכפלה L1L2 שייכת לחבורה. אם כן:

t( L1L2 ) G L1L2 = G

אבל:

t( A B ) = t B t A

לכן:

t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2

נחשב כעת את המטריצה ההפוכה של L. נתחיל מההגדרה האקסיומטית של האלמנטים L:

tL G L = G

נכפיל מימין ב-L-1:

tL G L L-1 = G L-1

tL G = G L-1

נכפיל משמאל ב-G:

G tL G = G G L-1

G tL G = L-1

לכן המטריצה ההפוכה של L היא:

L-1 = G tL G

כלומר:

(66)

ווקטור המרחב-זמן. המטריצה G נובעת מהמטריקה של מינקובסקי, שיכולה להכתב (עם c = 1):

(67)

תרגיל: להוכיח שהמטריצה ההפוכה מקיימת:

(68)

אנו מכניסים כעת וקטור העברה מרחב-זמן:

(69)

ממנו אנו יוצרים את האלמנט gp של חבורת פואנקרה:

(70)

תרגיל: להוכיח שזוהי חבורה ולחשב את המטריצה ההפוכה:

(71)

להלן "ווקטור משיק לחבורה, איבר של 'אלגברה של לי' שלה":

(72)

ממנו נחשב את הפעולה ההפוכה:

(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp

בכדי לקלוט את החישוב, נשים לב ש:

(74) G d L

היא מטריצה אנטי-סימטרית. נקרא לה:

(75)

לכן:

(76)

נניח:

(77)

ממנו נבנה את הפעולה ההפוכה:

(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp

לאחר כל החישובים נקבל את ההעתקה:

(79)

אם רוצים לדלג על חלק זה של חישוב מטריצות פשוט, אפשר לעבור ישירות למשוואה (80), בתחתית העמוד

(79a)

(79b)

מכאן נקבל את המרכיבים של הפעולה ההפוכה:

(79c)

אבל:

(79d)

לכן:

(79e)

אבל GG = 1, ולכן:

(79f)

מכאן נקבל את ההעתקה:

(79g)

שזוהי הפעולה ההפוכה המבוקשת, ההעתקה:

(80)