קבוצות ופעולה קואדואינטית של מומנטום פיזיקלי

קבוצות ופעולה קואדואנטית של מומנטים בפיזיקה

חלקיקים עם ספין.

החבורה של פואנקרה מתארת את התנועה היחסותית של גוף נקודתי. באופן דומה, החבורה של בארגמן, שיתוארת בהמשך, מתארת את התנועה הלא-יחסותית של גוף נקודתי, שמכונה אז "מסה נקודתית".

אנו רואים כי טכניקה זו, חישוב הפעולה הקואדואנטית של החבורה על מרחב המומנטים, אפשרה להגלה פריטים מוסתרים, תכונות של הגוף: רכיבי המומנט.

מה שמיוחד הוא שהגישה הזו, שפותחה על ידי סוריאו, מראה את האובייקטים המרכזיים של הפיזיקאי כאובייקטים גאומטריים טהורים. הוא עשה כאן עבודה ללא תקדים של גאומטריזציה של הפיזיקה.

מעבר לאנרגיה והImpuls, רכיבים אחרים, "הסיבוב" וה"מעבר", מבלבלים את הפיזיקאי למדי. מה זה בכלל?

ההבעה של רכיבי המומנט תלויה כמובן במערכת הקואורדינטות שנבחרה.

הפשוט ביותר הוא להחזיר לרגע את המקרה הלא-יחסותי, כלומר להציג את הפעולה הקואדואנטית כפי שהיא הופיעה מאנליזת חבורת בארגמן.

(111)

נוסחה מISTERיוזית. למה זה טוב? איך זה עובד?

במסגרת זו, הפיזיקאי יזהה כמה עצמים מוכרים:

(112)

הם פשוט שתי הצגות של וקטור המהירות { vx , vy , vz }, הראשונה בצורה של מטריצה עמודה והשנייה בצורה של מטריצה שורה. המכפלה של שתי המטריצות היא סקלר:

(113)

משהו שמתחיל להיראות כמו אנרגיה קינטית.

m v הוא מומנט.

הפיזיקאי הקלאסי, כשמדובר בדינמיקה של נקודת חומר, מכיר רק שלושה דברים:

• המסה m
• המומנט m v
• האנרגיה הקינטית 1/2 mv²

כן, אבל מהירות* ביחס למה*?

חבורה היא גם מבט על הדברים. אפשר להתייחס לכך שמעבירים, באמצעות החבורה, עצמים (כפי שראינו עם חבורת אוקלידס), ביחס לצופה שנחשב קבוע, או, שהעצם קבוע, להביט בו באופן אחר.

אם נבחר את ההעתקה, העברת העצמים, כשמדובר ב- חבורות דינמיות, אלו של הפיזיקה (בניגוד לחבורת אוקלידס שבה הזמן לא מופיע), נצטרך לומר גם שאנו מחייכים את העצמים, מוסיפים להם מהירות v ואנרגיה E.

אם נבחר את הנקודת מבט ההפוכה: להתייחס לכך שהעצם קבוע ולשקול את עצמנו מזוזזים, מה המשמעות של החבורות?

חבורת אוקלידס תאמר אז:
"נראה מאחרי ומעל זווית אחרת".

"מאחרי" הוא וקטור ההעתקה:

(114)

"נראה מזווית אחרת" הוא המטריצה של סיבוב a, סיבוב במרחב (שאפשר להציג עם זויות אוילר, מה שלא נעשה כאן).

במקרה של חבורות דינמיות, המבט, נקודת המבט על "הדברים", חייב להיחזק. נשארים בהקשר של חבורת בארגמן, הכניסה של מהירות v פירושה שיתר על כך, הצופה שמביט על המסה הנקודתית מאחרי (וקטור העתקה c), מזווית אחרת (מטריצה של סיבוב a), גם הוא נע, ביחס למסה הנקודתית שנחשבת נייחת, במהירות v.

ולסיום, כדי להיות מדויק, כדי להפוך את זה לקשה יותר, הוא לא מתפתח באותו זמן כמו החלקיק, המסה הנקודתית שנצפית. הוא מתואם ביחס אליה בפרק זמן Dt. כלומר: הוא מביט מאחרי, אך זהו מאחרי שמייני-زمני, המתאים לוקטור העתקה שמיינית-זמניים:

(115)

אחרי לקיחת "ההתרחקות" הזו, ביחס למסה נקודתית זו, מה אני מוצא? ראשית: m' = m

זה לא משפיע על המסה שלו.
אני יכול לפשט את החיים שלי על ידי השבתת הסיבוב. זה כבר מסובך מספיק לחשוב על מסה נקודתית שנראית מאחרי, מרגע אחר, מוזזת, על סקייטבורד שנועד במהירות v. האם חייבים גם להפוך את הראש?

לא. נניח a = 1.

אבל בדרך כלל משמיטים את הפרט הזה בحسابים. הפעולה הקואדואנטית, כך מותאמת, הופכת ל:

(117)

הביטוי "לשקול" צריך להישמע כאן במובן אטימולוגי. מה אני עושה כשאני שוקל מצב, השמיים, שדה הקרב, הסרט שנצפה על ידי מטוס מרגל?

השופט יכתוב:

• בהתחשב במצב המקום...

מבט סטטי, המתאים לחבורת אוקלידס. השופט רואה את העצמים ממרחק c, באותו רגע (Dt = 0), ב原则上 נייח ( v = 0). במקרה של הצורך, מזווית מסוימת, "מזווית מסוימת".

גנרל שמתהלך במטוס ריגול הוא סוג של שופט שמזוזז (v # 0).

אבל ראש מטה שצופה בסרט שנצפה על ידי מטוס מרגל, "דראון", מתמודד עם מצב שמאובן בזמן. הוא חייב לחשוב:

• נניח את היעד, שנראה מאותו נקודה, בזווית שטוחה, במהירות מסוימת, ובעודו נראה לפני שעה שתיים...

היעד לא מושך מהירות משלו. אי אפשר להתייחס אליו כאל נייח, גם אם זו "התקנה נייחת". גם כדור הארץ נע, גם השמש, גם הגלקסיה, וכו'.