מתמטיקה גאומטריה שטח טופולוגיה
איך להפוך שטח קראס קאפ לשטח בוי (ימין או שמאלה, לפי בחירה)
עובר דרך שטח סטינר הרומי.
איטלקית: אנדרא סמבוסטטی, האוניברסיטה של רומא
../../Crosscap_Boy1.htm
27 בספטמבר - 25 באוקטובר 2003
דף 2
הנה "שטח קראס קאפ" (כפי שראיתם אותו בתמונות של וירטואליות). הוא כולל שני נקודות קוספידליות שמהוות קצות של קו של חיתוך עצמי. ניתן לבנותו על ידי דחיסה של בלון עם מקלות שיער. אך גם ניתן לבנות נציגים פוליאדריים שלו. זה שמופיע למטה יעניין אותנו במיוחד.
בשולחן 4 מופיע הדבר הקשה ביותר ללמוד. נראה לי בלתי אפשרי שאדם יבין טוב את האובייקטים האלה פשוט על ידי הוראה של התמונות. בנו מודלים. במלים פשוטות, מושכים את הנקודה הקוספידלית C2 לכיוון "הפנים של השטח" (שזה, בין היתר, לא מובן, כי כנראה שמתברר מיד שהשטח קראס קאפ הוא חד-צדדי: אין לו צד חיצוני וצד פנימי). כשמשיכים, השטח "עובר דרך עצמו", והקבוצה של חיתוך עצמי מושלמת, תוך שיקוף מעט, עם עקומה בצורת 8. בדרכו, נוצרה נקודה תלת-ממדית T.
השטח הופך יותר ברור בצורתו הפוליאדרית, ובתחתית אנו מגדילים חלקים מסוימים כדי להראות מה מוביל אותנו להפוך את האובייקט הזה לשטח סטינר הרומי (ראו את הסימולציה של וירטואליות), שצורתו הפוליאדרית הפשוטה ביותר היא הרכבה של ארבעה קוביות (כאן רואים רק שלוש).
שולחן 5: גרסה פוליאדרית משמאל, עגולה מימין. החץ עובר דרך הנקודה שנכנסת ל"הצטמצמות". למטה יותר – התחלה של פעולת הצטמצמות.
שולחן 6: הצטמצמות מתבצעת ווצרת נקודה סינגולרית B. למעשה, מאחר שנעשה את הצטמצמות משני הצדדים (כדי saving זמן), נוצרות שתי נקודות סינגולריות S1 ו-S1, ואז שתי נקודות קוספידליות. בשלב זה, ללא נייר קרטון, חותכים ורצועת דבק, תצטרכו להיעזר בידים.
שולחן 7: כאן פשוט העברנו את הנקודות הקוספידליות השונות. אם הנקודה C2 "ברורה", ייתכן שתהיה לכם קושי יותר לזהות את הנקודות C3 ו-C4 כקוספידליות. עם זאת, הן שם, בקצות של קו של חיתוך עצמי. מעל הנקודה C3 נמצאת פשוט מה שקראתי "פוזיצונו", כלומר נקודה שבה מתרכז קUrban חיובי (נקודות שבה מתרכז קUrban שלילי אני קורא לה "ניגאكونו"). על ידי דחיסה קלה של האובייקט, מגיעים לצורתו הפוליאדרית של שטח סטינר הרומי (שנוצר על ידי סטינר בروم; ראו את התמונה שלו בווירטואליות).
אז המשחק הושלם. קיימים סוגים שונים של שטחים, בהתאם לאותם חוקים שמתוכננים. שטחים שלא חותכים את עצמם נקראים "הטמעות" (של כדור או טורוס ב-R3). כאשר הם כן חותכים את עצמם אך המישור המשיק משתנה באופן רציף ללא פגיעה, הם נקראים הטמעות. לדוגמה: בקבוק קליין, בתמונתו הקלאסית. ב-R3 אין הצגה של בקבוק קליין בצורה של הטמעה: הוא חייב לחצות את עצמו. הטמעות possess קבוצות של חיתוך עצמי ללא נקודות קוספידליות. קבוצות אלו הן קווים רציפים, אך יכולים להיחתך בנקודות כפויות או שלישיות. הערה: ניתן לייצר את הכדור בצורה של הטמעה (שאינה הטמעה) על ידי חיתוך עצמי. זה למעשה הדרך שבה ניתן להפוך אותו (ראו את הפעולה של A. Phillips, 1967, שכוללת את הפעולה המרכזית של כיסוי כפול של שטח בוי; ראו גם B. Morin ו- J. P. Petit, 1979, שבו נעשה מודל מרכזי את המודל "בארבע אוזניות" של מורין, שכאן רואים את נציגו הפוליאדרי שמצאתי לפני כעשור).
מפת בנייה של האובייקט הזה עם נייר וחתיכות
אם מרחיבים את חוקי המשחק ומאשרים שאותם אובייקטים יכולים גם להכיל נקודות קוספידליות, מתקבלות סומרסיונים (הקרס קאפ, שטח סטינר הרומי). לא יודע אם הסומרסיון הוא המונח הנכון, אך מאחר שלא מצאתי מתמטיקאי שיסביר לי את זה, מצאתי מרגש להמציא מונח חדש, לזמן קצר לפחות, עד שיגיע גאומטריסט מנוסה. כך, שטח קראס קאפ ושטח סטינר הרומי הם סומרסיונים של "המישור הפרויקטיבי".
אומר לכם את האמת, אחרי עשרים וחמש שנים של פעילות ותסכולים בתחום של מגנטו-הידרודינמיקה, התחלתי את העבודות האלה כי נראתה לי שהן הכי רחוקות מכל יישום צבאי. אך, כפי שציין לי חבר ישן שלי, מינ, המונח "סומרסיון" עשוי לבלבל ולהגריל בצבא הים שדרך מחקר זה אני מנסה להסתיר תרומות בתחום של דחיפה תת-ימית.
חוק "יצירת-הפרדה" של זוגות של נקודות קוספידליות מאפשר לעבור מאחד הסומרסיונים של אובייקט לאחר, וזו בדיוק הפעולה שעשינו, מראים שקרס קאפ ושטח סטינר הרומי הם שני סומרסיונים של אותו אובייקט, הידוע כ"מישור פרויקטיבי". אל תנסו לדמיין "מישור פרויקטיבי". האובייקט הזה ניתן להבין רק דרך נציגים שונים. בנוגע למונח "פרויקטיבי", זהו רק אחד מתוך אלפי מונחים שהמתמטיקאים המציאו כדי להסיח את דעת מי שמחפשים לחדור לסדרה הסודית שלהם. זניצ'לי לא יועיל לכם במתמטיקה.
נותר לנו לראות איך לעבור לשטח בוי, שהוא הטמעה של המישור הפרויקטיבי
חזרה לרשימה "היפוך של קראס קאפ לבי"
חזרה לחלק חדש חזרה לחלק הדרכה חזרה לדף הראשי
מספר ביקורות מ-25 באוקטובר 2003:
תמונות
