מתמטיקה גאומטריה משטחים טופולוגיה

כיצד להפוך משטח קראס קאפ למשטח בוי (ימני או שמאלי, לפי בחירה)

בדרך למשטח רומני של שטיינר.

איטלקית: אנדרא סמבוסטטי, האוניברסיטה של רומא

../../Crosscap_Boy1.htm

27 ספטמבר - 25 אוקטובר 2003

דף 2

הנה "משטח קראס קאפ" (כפי שראיתם בציורים של וירטואליות). הוא כולל שני נקודות קוליות שמהו קצות של קו חיתוך עצמי. ניתן לבנותו על ידי דחיסה של בלון עם סיכות שיער. אך גם ניתן לבנות ניסוחים פוליאדריים שלו. זה שכאן יעניין אותנו במיוחד.

בטבלת 4 מופיע הדבר הקשה ביותר ללמוד. נראה לי בלתי אפשרי שאדם יבין את היקפיים הללו רק על ידי הוראה של התמונות. בנו מודלים. במלים פשוטות, מושכים את הנקודה הקולית C2 לכיוון "הداخل של המשטח" (מה שבעצם לא מובן, שכן, כפי שיתחילו להבין מיד, המשטח קראס קאפ הוא חד-צדדי: אין לו צד חיצוני וצד פנימי). ממשיכים, המשטח "עובר דרך עצמו", והחיתוך העצמי מושלם, במעט עגולות, עם עקום בצורת 8. בדיעבד נוצרת נקודה שלישית T.

המשטח מובן יותר בצורה הפוליאדרית, וכאן אנו מגדילים חלקים מסוימים כדי להראות מה מוביל אותנו להפוך את האובייקט הזה למשטח רומני של שטיינר (ראו את הסימולציה של וירטואליות), שצורתו הפוליאדרית הפשוטה ביותר היא הרכבת ארבעה קוביות (כאן רואים רק שלוש).

טבלת 5: גרסה פוליאדרית משמאל, עגולה מימין. החץ עובר דרך הנקודה שנועדה "לעשות חתך". למטה, התחלה של הפעולה של החיתוך.

טבלת 6: החיתוך מתבצע ומייצר נקודה סינגולרית B. למעשה, מכיוון שעשינו את החיתוך משני הצדדים (כדי saving זמן), נוצרו שתי נקודות סינגולריות S1 ו-S1, ואז שתי נקודות קוליות. בשלב זה, ללא נייר קרטון, חותכים וסרט דביק, תצטרכו להסתדר.

טבלת 7: כאן פשוט העברנו את הנקודות הקוליות השונות. אם הנקודה C2 "ברורה", ייתכן שתצטרכו יותר מאמץ לזהות את הנקודות C3 ו-C4 כקוליות. עם זאת, הן שם, בקצה של קו חיתוך עצמי. מעל הנקודה C3 נמצא פשוט מה שקראתי "פוזיצונו", כלומר נקודה שבה מתרכז עקמומיות חיובית (נקודות בהן מתרכזת עקמומיות שלילית אני קורא "נגאצונו"). לאחר דחיסה קלה של האובייקט, מגיעים לצורת הפוליאדריה של המשטח הרומני של שטיינר (שנוצר על ידי שטיינר בروم; ראו את התמונה בווירטואליות).

אז המשחק הושלם. קיימים סוגים שונים של משטחים, בהתאם לתקנות שהולכים להגדיר. משטחים שאינם חותכים את עצמם נקראים "הטמעות" (של כדור או טורוס ב-R3). כאשר הם חותכים את עצמם אך המישור המשיק משתנה בצורה רציפה ללא התפרצויות, הם נקראים הטמעות. לדוגמה: בקבוק קליין, בהצגה הקלאסית שלו. ב-R3 אין הצגה של בקבוק קליין כהטמעה: הוא חייב לחצות את עצמו. ההטמעות possess קבוצות של חיתוך עצמי ללא נקודות קוליות. קבוצות אלו הן עקומות רציפות, אך יכולות להיחתך בנקודות כפויות או שלישיות. הערה: ניתן להציג את הכדור כהטמעה (שאינה הטמעה) על ידי חיתוך עצמי. זהו למעשה הדרך בה ניתן להפוך אותו (ראו את הטריק של A. Phillips, 1967, שמכיל את הפעולה המרכזית של כיסוי כפול של משטח בוי; ראו גם B. Morin ו- J. P. Petit, 1979, שבו מונח המודל המרכזי הוא המודל "בארבע אוזניות" של מורין, שכאן רואים ניסוח פוליאדרי שיצרתי לפני כעשור).

תוכנית תכנון של האובייקט הזה עם נייר וחותכים

אם מרחיבים את חוקי המשחק ומאפשרים לאובייקטים להכיל גם נקודות קוליות, מתקבלות סומרטיביות (הקרס קאפ, המשטח הרומני של שטיינר). לא יודע אם הסלנג הזה הוא הנכון, אך מכיוון שלא מצאתי מתמטיקאי שיסביר לי את זה, חשבתי שזה מוזר להמציא מונח, לפחות עד שגאומטריסט מנוסה יופיע. לכן, המשטח קראס קאפ והמשטח הרומני של שטיינר הם סומרטיביות של "המישור הפרויקטיבי".

לומר לכם את האמת, לאחר עשרים וחמש שנים של פעילות והכישלונות שלי בתחום המגנטו-הידרודינמיקה, התחלתי את העבודות האלה כי נראה לי שהן הכי רחוקות מאי יישום צבאי. אך, כפי שציין לי חברו הקדום מיהן, המונח "סומרטיביות" עלול להוביל לבלבול ולגרום לציוד הימי להניח שבעזרת מחקר זה אני מנסה להסתיר תרומות בתחום הכוח הימני.

חוק ה"יצירת-הפרדה" של זוגות של נקודות קוליות מאפשר לעבור מאחת הסומרטיביות של אובייקט לאחרת, וזה בדיוק מה שעשינו כאן, מראים שהקרס קאפ והמשטח הרומני של שטיינר הם שתי סומרטיביות של אותו אובייקט, הידוע כ- מישור פרויקטיבי. אל תנסו לדמיין "מישור פרויקטיבי". האובייקט הזה ניתן להבין רק דרך דרכי הצגה שונות. בנוגע למונח "פרויקטיבי", זהו פשוט אחד מתוך אלפי מונחים שהמתמטיקאים המציאו כדי להסיט את מי שברצונם לחדור לגלוי שלהם. זניצ'לי לא יועיל לכם במתמטיקה.

נותר לראות כיצד לעבור למשטח בוי, שהוא הטמעה של המישור הפרויקטיבי

דף קודם דף הבא

חזרה לרשימה "היפוך של קראס קאפ לביי"

חזרה לחלק חדש חזרה לחלק הדרכה חזרה לדף הראשי

מספר ביקורות מה-25 אוקטובר 2003:

תמונות