המרת הקורס קאפ למשטח בוי, דרך המשטח הרומי של שטיינר
איך להמיר קורס קאפ למשטח בוי (ימני או שמאלי, לפי בחירה), תוך כדי מעבר דרך המשטח הרומי של שטיינר.
27 בספטמבר 2003
דף 4
הנה מוצג המודל מזוית אחרת:
לוח 14: חוזרים על אותה פעולה, תוך יצירת "אוזן שלישית" של העקומה של החéo-ההעתקה. במבנה פוליאדראלי היא נראית כשלושה ריבועים sharing קודקוד משותף: הנקודה המשולשת T.
לוח 15: בדרככם לסובב את התרשים, תראו את הגרסה הפוליאדראלית של משטח בוי שהצגתי ותמכתי ב-Topologicon (שם מופיע חיתוך שמאפשר לבנות אותו).
לוח אחרון: ניסיתי לתאר את המשטח של שטיינר (מדרגה רביעית, בעוד שהבוי היא מדרגה ששית) בזמן שהוא מתפתל ומשתנה למשטח בוי.
רואים שהבנת התרשים דורשת מאמץ גדול. העין שלנו מרגישה לא נוחה מאוד כשמדובר בהבנת אובייקט שבו על אותו קו ראייה נמצאות יותר משני שטחים. לכן חשוב השימוש במבנה פוליאדראלי, שמאפשר לכל אדם רגיל להבין תהליכים שמכונים מתקדמים בגאומטריה, במיוחד כאשר האנשים מוכנים להשקיע מאמץ ביצירת המודלים בעצמם. בדרכנו נשים לב שבעבור זוגות נקודות קוספידליות שונות נקבל משטח בוי "ימני" או "שמאלי" (מילים שגזרו לגמרי באופן שרירותי). המישור הפרויקטיבי מוטמע בשני צורות "אנטיומורפיות", מראה של מראה. רואים שהמעבר מ-Boy ימני ל-Boy שמאלי מתאפשר דרך מודל "מרכזי" שהוא המשטח הרומי של שטיינר.
למה לא יהיה נחמד אם תדפיסו את הציורים האלה ב- Pour la Science או La Recherche? אך כבר עשרים שנה אני "מבוטל מפרסום" במאמרים אלו בגלל דימויים אופניים. תודה לך, מר'י הרב' תיס ופיליפ בולנגר. אני כבר לא מונה את המאמרים של הסוג הזה ששלחתם למאמרים אלו, ששוב נשלחו לי בדרכם ה礼貌ית. בסופו של דבר מתאימים לעצמם לסטטוסם של מושלים.
בכדי לסיים בדקדוק: בצרפת קיים "פרס אלמברט" שנועד להעניק לכותבי ספרים של תיאור מדעי במתמטיקה. הסיפור הועבר לי על ידי חבר בועדה שקבעה לא מי יקבל את הפרס (יש גם קצת כסף). דיאלוג:
-
אבל באמת, האם לא ניתן להעניק את הפרס ל- Petit? הוא עשה ספרים ניכרים כמו Géométricon, Trou Noir ו-Topologicon.
-
כן, אך הוא לא עשה רק את האלבומים האלה.
-
על מה אתה מתכוון?
-
הוא גם כתב את "Mur du Silence".
-
אה, במצב כזה...
כן, "Mur du Silence", שיצא ב-83, הוא אלבום שנוקד ל-MHD. וכמו שכולם יודעים, מדע זה חימרני מוסיף את היכולת למשוטט ספינות חלל במהירות על-סונית ללא "בנג".
הסתרו את המדע הזה, שלא אוכל לראות אותו
יש לי במדף גרסה יפה של "ההיפוך של הקוביה" עם מודל מרכזי מושלם, שאינו גרסה פוליאדראלית של הגרסה של מורין. הכל משלמי. פעם אחת...
22 באוקטובר 2003: לא מתקבצים כאן אנשים, לפי מה שרואים במדידה. ב-13 באוקטובר 2003 הרצתי סמינר ב-CMI (מרכז למתמטיקה ומחשבה של Château-Gombert-Marseille) על פי הזמנה של טרוטמן. בمناسبة זאת הצלחתי להציג אוסף של כ-30 מודלים מקרטון, שאותם תראו בקרוב, לאחר שצולמו על ידי כריסטוף טרדי.
כשנותן סמינר, נוצרת אווירה מסוימת. בפנימית, גאומטריסט שמביע את תחושת הספקתו.
ברקע, חלק מהמודלים המוצגים. ברגע מסוים שאלתי:
*- מי מבין כבר ראה משטח רומי של שטיינר? שימו יד למעלה. *
אף אחד לא ראה. לכן החלטתי שחשוב להציג את האובייקט, בפועל וריאלי, על המחשב הנייד שהביאתי, שפותח בסיועו של כריסטוף טרדי, מהנדס, ופרדריק דסקמפה, מהמכון לוא-לנג'וין של גרנובל (ILL). ברור שההצגה הפתיעה את הקהל, שנדמה שלא ראה בעבר משטחים מתמטיים מתרוצצים בפניהם.
שני לוחות קרטון, שבראש הצלם, אפשרו להציג את סדרת המודלים בצורה לוגית. המודלים "ירוק וצהוב" מדגימים, במבנה פוליאדראלי, את כלי היצירה וההשמדה של זוג נקודות קוספידליות. האובייקט הלבן הרחוק ביותר הוא גרסה פוליאדראלית של הקורס קאפ, שמשתנה ראשית לגרסה פוליאדראלית של המשטח הרומי של שטיינר, מטר אחד רחוק יותר, ואז, לפי רצון, למשטח בוי "ימני" או "שמאלי".
הניתוח של המודלים מוביל להערות שונות בקהל. גאומטריסט אחד שאל:
*- אם, עוקבים אחרי המודלים בכוונה זו, אפשר לעבור מהקורס קאפ ל-Boy, נראה שבעקבות ההפך אפשר להפוך Boy ל-корс Кап. *
השבתי ב긍וד. מוזר, שותף לשאלה:
*- אם, ברגע של המשטח הרומי של שטיינר, נעצור, אפשר יהיה להתחיל שוב לכיוון משטח בוי מראה. *
הסכמתי שוב. אך אבוי, אף אחד לא הופיע כדי להסביר על העולם המוזר הזה שבו מוסיפים למשטחים סגורים נקודות קוספידליות, שנוצרות או נעלמות בזוגות, והכל יוצר סוג של הרחבה של עולם ההטמעות. המילה "סובמרזיות" נראית לי מתאימה. אם קורא ימצא מוסבר, הוא יתקבל בשמחה.
קוווי עקמומיות מוקדשים נקודה קוספידלית
נחשב אותה על ידי סיכום הזוויות בקודקוד, והשוואה לסכום אוקלידי: 2π.
בפינה העליונה השמאלית מוצגת אחת מההצגות הפוליאדראליות של נקודה קוספידלית. "הפרדה" של האובייקט (לצד ימין) מובילה לסכום שמעל הסכום האוקלידי 2π ב-2α. מכאן נובע שהעקמומיות הזוויתית המוקדשת סביב הנקודה C היא -2α. אם הזווית α שווה ל-π/2, אז העקמומיות השלילית היא c (הציור בפינה התחתונה השמאלית). למעשה, העקמומיות המוקדשת בנקודה קוספידלית יכולה לקבל אינסוף ערכים. בפינה התחתונה הימנית מגדילים את הסכום הזוויתי והעקמומיות הופכת להיות < 2α. מגדילים את העקמומיות השלילית.
בביצוע הפוך אפשר להגיע למצב מפתיע: לגרום לכך שהעקמומיות (הזוויתית) המוקדשת ב-C תהיה ... אפס:
עכשיו נתחיל מגרסה פוליאדראלית של הקורס קאפ עם שתי נקודות קוספידליות, כל אחת עם עקמומיות שלילית של -π:
יש שמונה "פוזיקoins" עם ערך +π/2. נוסיף ארבעה "פוזיקoins" נוספים עם עקמומיות +π/4 וארבעה "נוגעיקoins" עם עקמומיות -π/4.
לכל שתי נקודות קוספידליות עם עקמומיות -π.
סה"כ: 2π
בחלוקה של העקמומיות הכוללת ב-2π מקבלים את אופי אוילר-פואנקרה של כל ההצגות של המישור הפרויקטיבי (כמו משטח בוי).
במהלך הרצאה התייחסתי לאמנות והכשרה להחלפת שתי נקודות קוספידליות של קורס קאפ, תוך שימוש בהיפוך של הכדור. אני לא זוכר אם הצלחתי לשים את זה באיזו שהיא עמודה באתר שלי. זה כל כך מבלבל. יש לה搜, אחרת אשים את זה איפשהו. זה די מצחיק. בכל מקרה, התרחיש הזה לא נפוץ אצל אחד מהמשתתפים במהלך הסמינר.
- אני לא מבין למה Petit משתמש באביזרים כאלה כדי להוכיח את הסימטריה שמחברת את שתי הנקודות הקוספידליות של קורס קאפ. יש דרכים פשוטות יותר.
ואז הוא צייר על הלוח את תמונה של כדור שנשבר על ידי שני מקלות שמחוברים יחד, שנותן אוסף של חéo-ההעתקה בצורה של קטע שמסתיים בשתי נקודות קוספידליות, כמו בקורס קאפ. אבוי, והאיש הבין, שזה לא קורס קאפ.
- מה זה בעצם? שאל מישהו.
זה פשוט כדור עם שתי נקודות קוספידליות. אם נביא את הנקודות ליתר, נקבל קו חéo-ההעתקה שמתפצל למחזור פשוט. ונוכל לקבל בפינה התחתונה השמאלית (בחתך) הטמעה של הכדור שרק צריך להפוך להכלה. ניתן גם לעבור לגרסה פוליאדראלית של המשטח הזה:
זה דו-צדדי והעקמומיות היא 2π.
אפשר להנות רבות מה"סובמרזיות" האלה. ניקח הטמעה של טורוס שכוללת סיבוב של הסימן "אינסוף" או "שמונה" סביב ציר.
הטכניקה של התכנסות הנקודות הקוספידליות תאפשר לנו להגיע במהרה להכלה סטנדרטית של הטורוס, כפי שמתואר בציורים הבאים.
אבל לפעמים הדברים לא פשוטים או ברורים כמו שנדמה. נניח שניקח כדור ונשבר אותו בין שני קטעים שבעצם קצרים מהקוטר. נקבל שוב שתי נקודות קוספידליות.
מכיוון שאפשר לשים בו סרט מביוס, המשטח הוא חד-צדדי. הצגנו את הגרסה הפוליאדראלית שלו, שמאפשרת לחשב את העקמומיות הכוללת. נמצא שזו אפס. אם לא אטעה, זהו בקבוק קליין. בדרך כלל מכירים רק את ההטמעה הקלאסית, שבה קו החéo-ההעתקה הוא מעגל פשוט. אך יש גם אחרות, כמו זו. אודה שאינני עדיין יודע איך להפוך את האובייקט למעלה להטמעה של בקבוק קליין. אני גם לא יודע אם כל ההטמעות נמצאות בקבוצה אחת של הומוטופיה (הכדור יש לו רק אחת). אינטואיטיבית לא, מכיוון שהטורוס יכול להטמע בארבע דרכים שונות, שלא ניתן להשליך ביניהן בהומוטופיה רגילה. עד שכך, התחלתי לשחק בהפיכת המשטח הזה על ידי יצירת שתי נקודות קוספידליות נוספות, וקיבלנו שתי קורס קאפים מחוברים במעגל. כשנחתוך אותם נקבל אופי אוילר-פואנקרה של אפס.
המשטח המוזר הזה אמור להפוך לאחת ההטמעות של בקבוק קליין. אך איזו? בכל מקרה, הנה אחת שנקבלה על ידי סיבוב של "שמונה" סביב ציר, תוך הוספת סיבוב של חצי:
חזרה לתוכן "המרת קורס קאפ ל-Boy"
מספר ביקורות מאז 6 באוקטובר 2003: