ההמרה של קורסקאפ למשטח בוי, דרך המשטח הרומי של שטיינר

המרת הקורס-קף למשטח בוי, דרך המשטח הרומי של שטיינר

איך להפוך קורס-קף למשטח בוי (ימני או שמאלי, לפי בחירה), תוך כדי עיון במשטח הרומי של שטיינר.

27 בספטמבר 2003

דף 4

הנה מוצג המודל מזווית אחרת:

לוח 14: חוזרים על אותה פעולה, תוך יצירת "אוזן שלישית" של העקומה של חיתוך עצמי. במבנה פוליאדרלי היא נראית כשלושה ריבועים sharing קודקוד משותף: הנקודה השלישית T.

לוח 15: כשמעבירים את האובייקט, מוצאים את הגרסה הפוליאדרלית של משטח בוי שיצרתי והצגתי ב-Topologicon (שם מופיע חיתוך שמאפשר לבנות אותו).

לוח אחרון: ניסיתי לצייר את המשטח של שטיינר (מדרגה רביעית, בעוד שמשטח בוי הוא מדרגה שישית) בזמן שהוא מתפתל ומשתנה למשטח בוי.

רואים שבעיניים של "רונדוילארד" נדרשת תכונה רבה כדי להבין את האובייקט. העין שלנו מתמודדת קשה כשמדובר בהבנת אובייקט שבו על אותו קו ראייה נמצאות יותר משני שטחים. לכן יש ערך גדול במבנה הפוליאדרלי, שמאפשר לכל אדם רגיל להבין הופכות שכאלו נחשבות למשובצות בגאומטריה, שכן אנשים מוכנים להשקיע ביצירת המודלים בעצמם. בדרכו, נשים לב שבעבור זוגות נקודות קוספידליות שנבחרו, מקבלים משטח בוי "ימני" או "שמאלי" (מילים שגזרו לגמרי אקראית). המישור הפרויקטיבי מוטמע בשני ניסוחים "אנטיומריים", מראה מראה. רואים שניתן לעבור מ-Boy ימני ל-Boy שמאלי דרך מודל "מרכזי" שהוא המשטח הרומי של שטיינר.

למה לא יהיה נחמד אם ציורים כאלה יפורסמו ב- Pour la Science או La Recherche? אך כבר עשרים שנה אני "מבוטל מהפרסום" במאמרים אלו בגלל תקופת תקופת אובניאס. תודה לך, מר'י הרב' תיס ופיליפ בולנגר. אני כבר לא מונה את המאמרים של סוג זה ששלחתם למאמרים אלו ושהם חזרו אליי בדרכם היקרה. בסופו של דבר מתאימים לסטטוסם של מוסר.

כדי להרחיב, בצרפת קיים "פרס אלמברט" שנועד להעניק לכותבים של ספרים למודעות במתמטיקה. הסיפור הועבר לי על ידי חבר בועדה שנקבעה להחליט למי יחזור הפרס (יש גם קצת כסף). דיאלוג:

• אבל בפועל, האם לא ניתן להעניק את הפרס ל-פיט? הוא יצר ספרים ניכרים כמו Géométricon, Trou Noir ו-Topologicon.

• כן, אך הוא לא עשה רק את האלבומים האלה.

• על מה אתה מדבר?

• הוא גם כתב את "הקיר של השקט".

• אה, במקרה כזה...

כן, ה"קיר של השקט", שיצא ב-83, הוא אלבום המוקדש ל-MHD. וכאשר כל אחד יודע, המדע החומרי הזה מתקיים בכך או בזדון, שמאפשר לצלילים להתקדם במהירות על-סונית ללא "בנג".

הסתרו את המדע הזה, שלא אוכל לראות אותו

במצלמות שלי יש גרסה יפה של "ההפיכת הקוביה" עם מודל מרכזי יפהפה, שאינו גרסה פוליאדרלית של הגרסה של מורין. הכל משלמי. פעם אחת...

22 באוקטובר 2003: לא מתקדמים בדפים אלו, אם אני מאמין למספר של המונה. ביום שני, 13 באוקטובר 2003, הרצתי סמינר ב-CMI (מרכז למתמטיקה ומחשבה של Château-Gombert-Marseille) על פי הזמנת טרוטמן. בזמנם, הצלחתי להציג אוסף של כ-30 מודלים מקרטון, שבעוד ימים תקבלו את הפרסום הראשוני שלהם, ש的照片 על ידי כריסטוף טרדי.

כשנותנים סמינר, מתרגלת אווירה מסוימת. בצילום הבא, גאומטריסט שמציג את ספקתו.

ברקע, חלק מהמודלים המוצגים. ברגע מסוים שאלתי:

*- מי מבין כבר ראה משטח רומי של שטיינר? שימו יד למעלה. *

אף אחד לא ראה. לכן החלטתי להציג את האובייקט, בפועל וירטואלי, על המחשב הנייד ש带到, אובייקט שנוצר בהשתתפותו של כריסטוף טרדי, מהנדס, ופרדריק דסקמפ, מהמכון לוא-לנג'בין של גרנובל (ILL). ברור שההצגה הפתיעה את הקהל, שנדמה לא רגיל לראות משטחים מתמטיים מתפזרים בפניהם.

שני לוחות קרטון, שבראש, אפשרו להציג את סדרת המודלים בצורה לוגית. המודלים "ירוק וצהוב" מדגימים, במבנה פוליאדרלי, כלי יסוד ליצירת-השמדה של זוג נקודות קוספידליות. האובייקט הלבן הנמצא במרחק הוא גרסה פוליאדרלית של הקורס-קף, שמשתנה ראשית לגרסה פוליאדרלית של המשטח הרומי של שטיינר, מטר אחד רחוק יותר, ואז, לפי רצונך, למשטח בוי "ימני" או "שמאלי".

הניתוח של המודלים גורם להבחנות שונות בקרב הקהל. אחד הגאומטריסטים שאל:

*- אם, עוקבים אחרי המודלים בכוונה הזו, ניתן לעבור מהקורס-קף ל-Boy, נראה שבעצם אפשר להפוך את ה-Boy ל-корс-кап על ידי הפעולה ההפוכה. *

השבתי ב긍וד. מוזר, שותף שלי הוסיף:

*- אם, ברגע של המשטח הרומי של שטיינר, נעצר, אפשר אז להתחיל שוב לכיוון משטח בוי מראה. *

הסכמתי שוב. אך אבוי, אף אחד לא הופיע להסביר על עולם מוזר זה שבו מוסיפים למשטחים סגורים נקודות קוספידליות, שנוצרות או נעלמות בזוגות, והכול יוצר סוג של הרחבה של עולם ההטמעות. המילה "סובמרזיות" נראית לי מתאימה. אם קורא ימצא מוסבר, הוא יתקבל בשמחה.

קוווי עקמומיות מתרכזים בנקודה קוספידלית

נחשב את זה על ידי סיכום הזוויות בקודקוד, והשוואה לסכום אוקלידי: 2π.

בפינה העליונה השמאלית מוצגת אחת מההצגות הפוליאדרליות של הנקודה הקוספידלית. "הפרדה" של האובייקט (לצד ימין) מובילה לסכום שמעל הסכום האוקלידי 2π ב-2α. מכאן נובע שהעֲקָמִיָּה הזוויתית המתרכזת בקרבת הנקודה C היא -2α. אם הזווית α שווה ל-π/2, אז העקמומיות השלילית היא c (הצורה בפינה התחתונה השמאלית). למעשה, העקמומיות המתרכזת בנקודה קוספידלית יכולה לקבל אינסוף ערכים. בפינה התחתונה הימנית מגדילים את הסכום הזוויתי והעקמומיות הופכת להיות < 2α. מגדילים את העקמומיות השלילית.

בעזרת פעולה הפוכה ניתן להגיע למצב די מפתיע: לגרום לכך שהעקמומיות (הזוויתית) המתרכזת ב-C תהיה... אפס:

עכשיו נתחיל מגרסה פוליאדרלית של הקורס-קף שמכילה שתי נקודות קוספידליות, כל אחת עם עקמומיות שלילית שווה ל--π:

יש שמונה "פוזיצoins" שמתאימים לערך +π/2. נוסיף ארבעה "פוזיצoins" נוספים עם עקמומיות +π/4 וארבעה "נייגאצ'oins" עם עקמומיות -π/4.

כפלי שתי הנקודות הקוספידליות עם עקמומיות -π.

סה"כ: 2π

לחלק את העקמומיות הכוללת ב-2π נקבל את אופי אוילר-פואנקרה של כל ההצגות של המישור הפרויקטיבי (כמו משטח בוי).

במהלך הרצאה שלי התייחסתי לאמנות והאומנות של החלפת שתי הנקודות הקוספידליות של קורס-קף, תוך שימוש בהיפוך של הכדור. אני לא זוכר אם הכנסתי את זה באיזה מקום באתר שלי. זה כל כך ערבוב. אצטרך לחפש, אחרת אשים את זה באיזה מקום. זה די מצחיק. בכל מקרה, התרגיל הזה לא נפוץ במיוחד אצל אחד מההציגים, במהלך הסמינר.

• אני לא מבין למה פיט משתמש באביזרים כה רבים כדי להוכיח את הסימטריה שמחברת את שתי הנקודות הקוספידליות של קורס-קף. יש דרכים פשוטות יותר.

והוא צייר על הלוח את התמונה של כדור שנשבר על ידי שני מוטות שמאפשרים להם להתחבר, ובעצם נותנים קבוצה של חיתוך עצמי בצורת קטע שמסתיים בשתי נקודות קוספידליות, כמו בקורס-קף. אבוי, והאיש הבחין בכך, זה לא קורס-קף.

• אוי, אז מה זה? שאל אחד.

זה פשוט כדור, עם שתי נקודות קוספידליות. אם נביא את הנקודות ליתר, נקבל קו חיתוך עצמי שיתפוך למחזור פשוט. ונקבל בתחתית וימין (בחתך) הטמעה של הכדור שנותר לה להפוך לפלונג.

בנוסף, אפשר לעבור לגרסה פוליאדרלית של המשטח הזה:

זה דו-צדדי והעקמומיות היא 2π.

אפשר להתגמל הרבה עם "סובמרזיות" כאלו. נניח הטמעה של טורוס שכוללת סיבוב של הסמל "אינסוף" או "שמונה", סביב ציר.

הטכניקה של התכנסות הנקודות הקוספידליות תאפשר לנו להגיע במהרה לפלונג הסטנדרטי של הטורוס, כפי שמתואר בשרטוטים הבאים.

אבל לפעמים הדברים לא פשוטים או מובנים. נניח כדור שנשבר בין שני קטעים, שפעם זו הם קצרים יותר מהקוטר. נקבל שוב שתי נקודות קוספידליות.

מכיוון שאפשר לשבור בו סרט מביוס, המשטח הוא חד-צדדי. הצגנו את הגרסה הפוליאדרלית שלו שמאפשרת חישוב של העקמומיות הכוללת. נמצא שזו אפס. אם לא טעיתי, זהו בקבוק קליין. בדרך כלל מכירים רק את ההטמעה הקלאסית שבה הקו של חיתוך עצמי הוא מעגל פשוט. אך יש גם אחרות, כמו זו. אודה שאינני עוד מצאתי איך להפוך את האובייקט למעלה להטמעה של בקבוק קליין. אני גם לא יודע אם כל ההטמעות האלה שייכות לקבוצה של הומוטופיה זהה (הכדור יש לו רק אחת). אופטימית, לא, מכיוון שהטורוס יכול להימשך בארבע דרכים שונות, שלא ניתן לשלב ביניהן בהומוטופיה רגילה. עד לרגע זה, התחלתי להתגמל על ידי הופכת את המשטח הזה על ידי יצירת שתי נקודות קוספידליות נוספות, וקיבלנו שתי קורס-קפים מחוברות במעקה. כשנחתוך אותן נקבל אופי אוילר-פואנקרה שווה לאפס.

המשטח "המוזר" הזה אמור להפוך לאחת מההטמעות של בקבוק קליין. אך איזו? בכל מקרה, הנה אחת שנקבלה על ידי סיבוב של "שמונה" סביב ציר, תוך הוספת סיבוב חצי:

דף קודם

חזרה לתוכן "המרת קורס-קף ל-Boy"

חזרה למדריך חזרה לדף הבית

מספר תצוגות מאז 6 באוקטובר 2003: