האם אפשר לחשוב כמו כrab?
27 בפברואר 2009
אנו מבעירים, בין היתר, באמצעות שפה, וזו נחשבת להיות תיאור של המבנה הלוגי שלנו. בשפתנו יצרנו מבנה דו-ערכי, עם "כן" ו"לא", "אמת" ו"שקר", שמוביל ל"חשיבה אристוטלית", לפיו כל טענה (לוגיקן יקרא לה "הנחה") יכולה להיות רק אמת או שקר. זהו מה שנקרא
מונח הצליל השלישי.
למרבה הצער, החוויה לא עוקבת אחרי התיאוריה, ופירושינו מלאים בהנחות לא מכריעות, שלא הן אמיתיות ולא שקריות, כמו
אני משקר
במשך קרוב לעשור, הלוגיקנים ניסו להמציא לוגיקות לא דו-ערכיות. נביא דוגמה ללוגיקה תלת-ערכית, ה-
לוגיקה המוכרת כ"בלתי מדויקת",
שערכה של האמת היא
אמת בלתי מכריע שקר
לוגיקה שדemonстраציה את היעילות שלה בהנחות, בקרה על תהליכים (במהנדס)
ניסיונות לבניית לוגיקה ארבע-ערכית נעשו גם כן, וההנחה הידועה ביותר היא עם ערכי האמת:
אמת
שקר
אמת ומשקר
לא אמת ולא שקר
ניסיון להרחבה שלא הוכיח את עצמו.
במהדורה שלו:
כדי ליצור קשר ישירות עם המחבר:
תקון שגיאות
המחבר הודיע לנו שיש תקון שגיאה בלוח אחד שהוצג בספרו. מדובר בלוח מהעמוד 29, והגרסה בצבעים היא בעמוד 135.
ראשית, תודה על העניין שאתם מפגינים בפרויקט הזה, ועל בחירתכם לרכוש את הספר.
דברים כאלו מתרחשים... יש טעות גדולה! בשורה השלישית והעמוד השלישי, במקום 1 נמצא באופן שגוי 0. התיקון יישלח לכל אחד תוך כמה ימים.
בנוסף, הסימנים = ו|| נמצאים באלכסונים: שני קווים, רואים לפי אלכסון מסוים את הסימן =, ובאלכסון האחר מקבלים || שחייבים להבין כ"שונה", במקום שבו הם נמצאים.
אנו מקווים שזה יאפשר לכם להמשיך לקרוא בצורה תקינה, ושוב מברכים אתכם (ובכל זאת, מתנצלים!), ונשארים לשלוחכם אם שוב תתקלו בספק... או בטעות חדשה!
האיור 2.2, להחלפה עם הלוח למעלה
דניאל סקו דה לוקינה מזמין אותנו לסיור מוזר, שקורא עשוי לא לצאת ממנו ללא נזק. נתחיל בניתוח השפה, מה שמאפיין את כל הלוגיקן. המחבר מציע להכניס מה שהוא מכנה
הצטברות.
בהקשר זה, כל טענות, איזו שהיא, יכולות להיות מופעלות בארבע צורות, סימטריות זו לזו, שנוצרות מ"שני זוגות סימטריים". יש דוגמאות רבות בשפה, אך "ההנחה הרביעית" לפעמים קשה להצגה, או כלל לא מתאימה לכל מונח קיים בשפה.
נביא תחילה דוגמאות שבהן "הצטברות" מופיעה בצורה ברורה. נניח את המושג של תנועה. יש ארבע דרכים ל"לנוע":
לפנות קדימה
לנסוע לאחור
לעמד במקומך
לנוע
במידה ותסתכלו, תראו מיד את הזוגות, עם הסימטריות שלהם. חזרה היא ההפך מהתנועה קדימה, וההפך גם כן. לנוע הוא ההפך מלהישאר במקום, וההפך גם כן.
אם נתייחס לטופולוגיה, נכניס ארבע מילות שפה או תרגומים מילוליים:
מחוץ
בתוך
על הגבול
במקום אחר
29 בפברואר 2010
: חבר שלי ג'ק לגלנד מציע שההנחה הרביעית תנוסח טוב יותר כך:
מחוץ
בתוך
על הגבול
בשום מקום
אם נתייחס לצבעים:
לבן
שחור
אפור
מונע
27 בפברואר 2010
: ג'י ממליץ:
לבן
שחור
אפור
שקוף
במשחק עם הזמן:
לפני
אחרי
עכשיו
לעולם לא
המילה "לעולם לא" היא השוואה זמנית למונח "בשום מקום" (ראה לעיל)
הדרך בה אנו רואים את הדברים נראית לי כמו הטקסט האוממי על הלוגיקה, שבעצם, אם אני זוכר נכון, מזכיר ארבע ערכי אמת:
אמת
שקר
אמת ומשקר
בלתי ניתן לתרגום
אם נחזור לערכי האמת של הלוגיקה הארבע-ערכית הקלאסית:
אמת
שקר
אמת ומשקר
לא אמת ולא שקר
27 בפברואר 2010
: יש צורך להפרש מחדש את הערך הרביעי כ"אינו מתאים לסוג זה של סיווג":
אמת
שקר
אמת ומשקר
אינו מתאים לסוג זה של סיווג
נניח את המספרים האמיתים. יש לנו:
חיובי
שלילי
אפס (במובן של חיובי ושלילי)
ההנחה הרביעית יכולה להיות:
חיובי
שלילי
אפס (במובן של חיובי ושלילי)
דמיוני
מעבר למשמעות של היחס:
משמע
משמע מכך
תלוי ביחס
לא קשור
רואים כיצד נוצרות ארבע דרכים לומר דברים, שבדיוק שונות מהלוגיקה הארבע-ערכית "הקלאסית", כפי שנזכרה למעלה. הסימטריה של שתי ההנחות האחרונות שונה. המחבר מציע לומר שהזוגות של הטענות, של התיאורים, הם "צטברתיים".
הדרך בה אנו מציגים את הדברים אינה זהה לזו שמשתמש בה המחבר בפירושו, שאנו ממליצים לקרוא. אך מיד תתחילו לשאול את עצמכם: "מה מסתתר מתחת לכאן?" שאלה זו תוביל אתכם רחוק מאוד. המחבר, מדען, מצא את נקודת ההתחלה שלו בדואר שקבלתי ב-1992 מאנשים מוזרים שנקראו "אוממיים", הדואר הגיע מריאד, ערב הסעודית. לבעלי ידע על הסיפור הזה, חשוב להזכיר את ההקשר. בין כל המסמכיים שנשאו מהספרד מאז אמצע שנות ה-70, כותבי הטקסטים דגשו על הצורך לוותר על הלוגיקה האристוטלית, ולעבור ל-
לוגיקה ארבע-ערכית
.
למשך שנים התאמצתי בנסיונות שונים. ב-1992 היה לי מחשב Mac Intosh מהדור הראשון, שעובד ב-2 מ"הץ, ובהחלט ללא מודם או כל דרך תקשורת חיצונית. במחשב זה רשמתי מחשבות שלא ידעו עליהן אלא אני. נפגעתי על ידי משפט גודל, והזכרתי שהמשפט מבוסס על אריתמטיקה (הפעולה עם מספרים טבעיים), אקסיומטית בסוף המאה האחרונה על ידי המתמטיקאי פאנו. המתמטיקאי גאוס המציא בזמנו מה שמכונה היום "מספרים של גאוס", כלומר מספרים מרוכבים עם ערכים שלמים.
הבחנתי בכך שהמספרים של גאוס נחשבו באופן קלאסי כזוגות של מספרים טבעיים (a, b), ושהתאמץ לא ניסה לבנות אותם בדרך אחרת מלבד החלטה לתת להם "שני מספרים".
כמה ימים לאחר שכתבתי את המחשבות האלה לדיסק הקשיח שלי קיבלתי מפתיע מכתב ששלח לי מאיראן, שציינן את אותן מחשבות.
תוכן המכתב
למרבה המזל, דניאל, שהוא מדען, מצא בדואר המוזר הזה את נקודת ההתחלה של תהליך של עשר שנים שסיפר עליו בספר שפרסם לאחרונה. בהתחשב במאפיין האקסוטי, אם לא מזוהם, של המקור, אפשר להבין למה החליט לפרסם אותו בשם מטושטש.
לא יודע אם תזכרו ספרו של גולס ורנס: "מסע ללב הארץ", שבו ההדורים משחקים עם מסר מוזר שנותר על ידי אארנה סקנודסן. כאשר הם משלבים את הרכיבים, הם מגשים את הדרך להגעה ללב הארץ. לכן, תכינו לעצמכם משהו דומה בספר של דניאל.
הוא לא הראשון שניסה את המסע, אך עד כה כל ניסיונות התבררו ללא תועלת, גם אם לעיתים נראים מושכים. אני חושב על ניסיון הקנדי נורמן מוהלנט באתר ummo.science. מתמטיקאי יאמר "אפשר ליצור אלגברות אינסופיות", ולשחק איתן כמו שמשחקים עם קוביות לגו. לבנות רכיבים חדשים של לגו היא שאלה אחרת לגמרי.
איפה נמצא "היתרון" בפרויקט של דניאל?
הוא מתחיל בכך שמחזיר, על פי הרצף שהותיר המכתב מרייד, את הדרך שמובילה למבנים מתמטיים שהמציא המתמטיקאי האירי המילטון ב-1843: ה-
קווארניונים
. הם נמצאים בעיקר בכתבים בצורה של הרחבה של המספרים המרוכבים:
Q = a + b i + c j + d k
עם
i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k i j² = k
j i j = -j i (אנטי-קומוטטיביות)
j k = i j k = -k j
k i = j k i = -i k
המכפלות הן
אנטי-קומוטטיביות
כשהמילטון המציא את הקווארניונים, והבין את העוצמה של תכונותיהם, הוא היה כל כך נרגש מגילויו שהוא אמר:
"כל זה חייב להימצא יישום בפיזיקה, אבל מי יודע מה?"
הוא לא יכול היה לדמיין שהקשר יתגלה עם登 על המכניקה הקוונטית. לדוגמה, מטריצות פאולי הן קווארניונים.
המחבר מראה כיצד דעות גאומטריות טהורות מאפשרות, מתוך תוכן המכתב, להגיע לבניית קווארניונים גאומטרית (דרך "מישור מרוכב דו-צידי"). הספר נקרא "הסוד של המכתב מרייד". הסוד נמצא כאן מוצג. במסמך זה מדברים על המשפט המפורסם של פרמה, שקובע כי המשוואה עם ערכים שלמים
a^n = b^n + c^n
אינה יכולה להיות פתורה אלא עבור n קטן או שווה ל-2.
המתמטיקאי לגראנג' הוא מחבר משפט דומה, שפרמה הניח קודם לכן כהשערה, כלומר שכל מספר שלם הוא סכום של ארבע ריבועים.
N (מספר שלם כלשהו) = a² + b² + c² + d² I
צריך ל/include את האפס בין המספרים האלה, כך ש:
3 = 1² + 1² + 1² + 0² U
ההוכחה שאחרי זו של לגראנג' משתמשת בקווארניונים, עם רעיון של אינדוקציה.
אשמח אם דניאל ימצא הוכחה למשפט לגראנג', תוך שימוש בקווארניונים, ויספר עליה באתר שלו.
בהינתן קווארניון:
Q = (a, b, c, d)
מגדירים את המרובה שלו כ:
המרובה של Q = Q (a, -b, -c, -d)
דניאל מציג השערה שמשפט פרמה, כפי שהוצג על ידו, הוא תוצאה של כתיבה קווארניונית, לפיו המשוואה:
(Q1 Q1)^n = (Q2 Q2)^n + (Q3 Q3)^n
כאשר הקווארניונים הם עם רכיבים שלמים, לא יכולה להיות פתרון אלא עבור n קטן או שווה ל-2.
27 בפברואר 2010
: אני שמים לב שההצהרות שתיים שוות, מכיוון שהמודול של קווארניון (a, b, c, d) הוא a² + b² + c² + d². כלומר
מספר שלם
לפי משפט לגראנג'.
ההערה הזו עלולה להרתיע את הקורא הפשוט. אך למעשה, כל הספר נשאר מאוד נגיש. הדוגמאות המרובות של הצטברות מהוות משחק עם השפה שמשעשע ומרגש, והקורא יכול לשחק ולמצוא דוגמאות נוספות מסוג זה. הסקיצות הגאומטריות גם הן מאוד קלות לקריאה.
הספר נראה להיות bricks הראשוני של מבנה גדול יותר, הפתיחה לחשיבה שונה.
כדי להזמין את הספר (18 יורו כולל דמי משלוח, 144 עמודים):
2 במרץ 2009
:
קורא, מר כריסטיאן פדראו, סיפק לנו PDF שבו מופיעת ההוכחה למשפט ארבעת הריבועים של לגראנג'.
המשפט של ארבעת הריבועים של לגראנג'
הערה נוספת: מכפלת המודולים של שני קווארניונים שווה למודול המכפלה. הוכחה של המתמטיקאי אוילר (1750).
(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =
(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² +
(a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² +
(a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² +
(a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)² C
זה אומר שהמודול של מכפלת שני קווארניונים:
A = (a₁, a₂, a₃, a₄) B = (b₁, b₂, b₃, b₄)
הוא זה של הקווארניון:
C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄, a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃, a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃, a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁) M
האם פדראו ספקני בכך שגישה מבוססת על קווארניונים יכולה להוביל להוכחה פשוטה יחסית (ביחס להוכחה של וילס, שמכילה מאות עמודים!) גם כאשר אלפי מתמטיקאים נתקלו בבעיה.
אני לא יכול להביע דעה. אך אציין שתי הערות.
ידוע שמספרים טבעיים יכולים להיכתב בבסיס כלשהו, ובפרט שמספרים ראשוניים שומרים על תכונה זו, ללא קשר לבסיס שבו הם כתובים. לכן נבחר את הבסיס simplest: הבסיס שני, עם שני איברים: 0 ו-1
המתמטיקאי האיטלקי גיוזפה פאנו (1858 - 1932) סיפק
חמש האקסיומות
שעומדות בבסיס האריתמטיקה של המספרים הטבעיים.
המתמטיקאי האיטלקי גיוזפה פאנו
האיבר שנקרא אפס ומסומן: 0, הוא מספר טבעי.
כל מספר טבעי n لديه ממשיך ייחודי, המסומן s(n) או Sn.
לאף מספר טבעי אין 0 כממשיך.
שני מספרים טבעיים עם אותו ממשיך הם שווים.
אם קבוצה של מספרים טבעיים מכילה את 0 ומכילה את הממשיך של כל אחד מאיבריה, אז הקבוצה שווה ל-N.
האקסיומה הראשונה מאפשרת להניח שהקבוצה של המספרים הטבעיים אינה ריקה, השלישית מראה שיש לה איבר ראשון, והחמישית מראה שהיא מקיימת את עקרון האינדוקציה.
מבוססת על חמש האקסיומות האלה, האריתמטיקה של פאנו מובילה ללוגיקה מסדר ראשון, שאותה לא ניתן להימלט מה-
משפט אי-השלמות של גודל
. מה שהביא לשליחת המכתב מרייד היה הבחנה שעשיתי לגבי מספרי גאוס z = a + i b, כאשר a ו-b הם מספרים טבעיים.
נראה לי שאין אקסיומטיקה מתאימה לאריתמטיקה של מספרי גאוס, ששמעתי שהם בונים עם "פעמיים האריתמטיקה של פאנו", מה שמשונה.
בمنظור זה, מספרי גאוס, במקום להיות "נקודות של רשת רגילה", הופכים לזוגות של נקודות (a, b) שנבחרו על ישרים מנותקים. האריתמטיקה של מספרי גאוס הופכת להיות "פעמיים האריתמטיקה של פאנו".
כעת אני שואל את השאלה:
- האם קיימת קבוצת אקסיומות שמגדירה את האריתמטיקה של הקווארניונים השלמים? אם כן, על איזו לוגיקה נגיע? האם הלוגיקה הזו תהיה ארבע-ערכית? האם היא תהיה גם... שלמה, כלומר שלא יתקיים שום ערך חמישי של אמת, כלומר הוכחה לא מכריעה שלא תיכנס לארבעת המקרים שמגדירים את המבנה הלוגי הארבע-ערכי?
אני לא יכול להתחייב לדון בשאלות אלו עם קוראים, שכן אני מאוד مشغול ביצירת אלבום חדש שיחד על מכניקה של נוזלים. כל שאלה מסוג זה יש לפנות למחבר הספר, דניאל.
עם זאת, אראה באלבום הזה שהספיק להראות שבסוף שנות ה-50 (כשאני היה סטודנט באוניברסיטת האירונאוטיקה בפריז) מושגים מסוימים, שכיום
הושלבו לגמרי בעולם התעופה
, גם אזרחי וגם צבאי, נחשבו על ידי המורים שלי כשבירת חוקי הפיזיקה.
אזכיר גם את הערה של קוטוריה, כיום אני חושב ראש האוסטרווריון של פריז, שבעניין תיאוריית ההשמדה של גלי התנגשות על ידי כוחות לפלס אמר לי ב-1976:
"זה מוזר. גל התנגשות שלך חייב להימצא באיזשהו מקום..."
המתמטיקה, כמו הפיזיקה, אולי יכולה להוציא עכבר חדש מתוך כובע דו-בסיס, שחשבו שקרנו את כל היקפיו כבר מזמן.
חדשות
מדריך
דף הבית