Le Retournement de la Sphère
8 décembre
2004
page 4
La version de Bernard Morin
Pour télécharger la version pdf de l'article de
1979 de B. Morin et J.P.Petit, paru dans Pour la Science
Le retournement de la sphère
( 2,8 Mo )
On va partir d'une sphère qui présente
sa face grise vers l'extérieur et sa face rose à l'intérieur.
En b et c on amène ses pôles
en contact. Puis les nappes s'interpénètrent selon un "catastrophe
du coude". Il y a création d'une courbe fermée d'auto-intersection.
En bas et à droite trois demi-coupes permettent de mieux de sendre compte
de la configuration obtenue. A ce stade la sphère ressemble à
une sorte de "canot pneumatique" circulaire, avec un "boudin"
et un "plancher" à double paroi.
Première étape : une "catastrophe
du coude". Création d'une courbe fermée d'auto-intersection
Deuxième opération : nouvelle
catastrophe du coude, création d'une seconde courbe fermée.
Seconde création d'une courbe fermée d'auto-intersection.
Pour ce faire le "canot pneumatique"
s'est plié, avec un mouvement de vrillage, ce qui a permis d'amener deux
partie du "boudin", diamétralement opposées, en contact.
L'image suivante est le résultat de deux catastrophes conduisant à
la création de "tranches de mandarine".
Après création de deux "tranches
de mandarine"
A gauche on a opéré des coupes
dans le modèle. Au centre la façon dont les deux cylindres dont,
localement, la section affecte la forme de la lettre grecque "gamma"
se sont interpénétrés. On se rappelle que la catastrophe
de création de "tranches de mandarines" s'opérait en
coupant une "bûche" avec deux plans formant un dièdre.
Chacune des structures cylindriques dont la section est en "gamma"
comporte à la fois la section arrondie et le dièdre. Regardez
avec attention la figure i. En j on a dessiné
l'ensemble d'auto-intersection. La portion de courbe fermée la plus grande
provient de la première "catastrophe du coude" qui avait transformé
la sphère en "canot pneumatique". Après création
des deux tranches de mandarines on obtient un ensemble plus complexe dont j'
est un sous-ensemble. En j" on voit que cette structure
peut être comparée à l'assemblage de deux "tranches
de mandarine" sur deux arêtes d'un tétraèdre, non adjacentes.
Tout cela sera un jour beaucoup plus simple
à appréhender quand j'aurai pu produire des animations. Cela ne
me pose aucun problème technique a priori. C'est une simple question
de temps. Rares sont les gens qui peuvent non seulement voir dans l'espace,
c'est à dire lire ce codage utilisant des lignes, des pointillés,
des couleurs, des ombres et des reflets mais aussi enchaîner dans leur
tête des transformations en imaginant le mouvement suggéré.
J'espère avoir un jour le temps de faire toutes ces choses. Remarquons
au passage qu'on pourrait utiliser des modèles polyédriques, comme
je l'ai fait pour montrer comment on peut transformer une Crosscap en Surface
de Boy. Là est l'avenir. Mais ces modèles, il faut les inventer.
On trouvera plus loin la version polyédrique optimisée du modèle
central de cette transformation imaginée par Bernard Morin ( rappelons
que c'est un aveugle !), avec la façon de la construire soi-même
à partir d'un découpage.
Pourquoi n'ai-je pas poussé ces choses
plus loin ? Je dirais : faute de "débouchés". Il n'y
a pas de revues de mathématiques qui acceptent de publier de tels travaux.
Nous avons pu le faire en 1975-78 à travers quelques notes aux Comptes
Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, qui n'ont sans doute pas
du être lues par grand'monde. Mais c'était parce que l'académicien
André Lichnérowicz s'intéressait personnellement à
ces travaux. Il est aujourd'hui décédé. Comme ces travaux
avaient complètement abouti dès 1975 il aurait été
souhaitable de produire un film d'animation à partir de mes dessins.
Ayant travaillé dans le dessin animé j'étais tout à
fait capable de coordonner une telle entreprise. Mais il fut impossible de trouver
un financement au Cnrs et c'est finalement le mathématicien américain
Nelson Max qui, s'inspirant de maquettes construites par son collègue
Charles Pugh (de cette même version du retournement de la sphère),
et utilisant un puissant ordinateur parvint à produire le premier un
film. Mais ce n'est ni la première, ni la dernière fois que des
Français, ne recevant aucun écho à leurs efforts se font
ainsi coiffer au poteau par des collègues étrangers mieux organisés
et mieux soutenus.
Passons à la troisième phase,
la plus difficile à saisir.
Préparation de deux catastrophes "du pantalon"
Dans la figure k on distingue
bien les deux bouts de "jambes de pantalon", dont le détail
figure dans un avant-plan k' . La flèche blanche indique
le passage "dans l'entre-jambes". Cette transformation est vraiment
difficile à appréhender. J'ai ajouté le dessin m
pour tenter d'être mieux compris. Enl j'ai
représenté à l'aide de pointillés la courbe d'auto-intersection,
qui figure dans son ensemble en l' . Un passage (celui emprunté
par la flèche blanche) va se refermer. Ce mouvement de fermeture va avec
la montée d'une partie de la courbe d'intersection, en deus endroits.
Ces bouts de courbe vont venir au contact, chacune, sur l'une des lignes appartenant
à des "transches de mandarine". Quand le contact s'effectuera,
la chirurgie s'opérera. La difficulté vient du fait que lorsqu'on
a vu les quatre catastrophes élémentaires, dans la page précédente,
il faut être capable de les transposer sous toutes les angles, en se dévissant
les vertèbres du cou, au besoin. En n on a figuré
le moment critique où la chirurgie s'opère (la "situation
médiane" de la transformation) et où le mode de raccordement
des bouts de courbe va être modifié. On sait que cette catastrophe
"du pantalon" ferme un passage et en ouvre un autre. Le passage
initial est figuré par la flèche blanche. Mais il en existe un
autre qu'on apercevrait sous le même angle en faisant tourner le modèle
de 180° sur lui-même autour d'un axe vertical. Ces flèches
n'en forment qu'une. Avant que ces catastrophes ne s'opèrent il est encore
possible de circuler dans ce "canot pneumatique replié". Quand
ces catastrophes auront fait leur effet ce passage ne sera plus possible. Par
contre deux autres passages se seront créés. Mais où, quelles
parties de l'espace sont-elles concernées ? Ces passages mettront l'intérieur
des tranches de mandarines en communication avec l'extérieur. En l',
ces tranches de mandarines, vous les voyez. Passons à l'étape
suivante.
Fermeture du passage. Vers une double situation critique
En o on a représenté
les deux catastrophe "du pantalon" à deux stades différents.
L'un des passages en complètement fermé. On est en situation critique,
juste avant ques les arcs de courbe voient leur mode de raccordement changer.
A droite (détail sur la figure o' ) le passage est seulement
en train de se refermer. Ainsi l'allure de la courbe d'auto-intersection o"
est-elle différente à droite et à gauche. Sur les figures
p, p' et p" la criticité
(situation "médiane" de la transformation) est atteinte des
deux côtés. Sur la planche ci-après les chirurgies ont fait
leur effet. Les tubes qu'on voyait s'amorcer sur la figure p",
mettant en communication les "tranches de mandarine" avec l'extérieur
sont maintenant formés :
Les deux "catastrophes du pantalon" on fait
leur effet. Les passages ( flèches blanches ) sont ouverts.
Les choses vont maintenant se poursuivre
en travaillant sur la partie inférieure du modèle, dont le détail
en indiqué en r . Regardons cette portion de surface
avec attention. Nous voyons deux portions de cylindres paraboliques qui se croisent,
en étant dirigé selon deux directions orthogonales. Il existe
un passage à la partie inférieure de r qui fait
face au lecteur. Nous allons envisager de faire glisser ces deux cylindres l'un
par rapport à l'autre. Ceci aurait alors pour effet de fermer ce passage
et d'en ouvrir un autre courant selon la direction perpendiculaire ( "de
droite à gauche" ). Nous reconnaissons ici une nouvelle "catastrophe
du pantalon". Si ce glissment vertical de ces portions de cylindres paraboliques
s'opère, nous déboucherons de nouveau sur une situation critique,
avec changement du mode de raccordement des nappes. Mais en fait, par simple
souci d'économie, nous stopperons le "process" à la
criticité, en "situation médiane" lorsque le passage
dirigé vers le lecteur se refermera et que le passage situé dans
la direction perpendiculaire ne sera pas encore ouvert. Faisons cela.
Nouvelle catastrophe du pantalon, amorcée en
L, stoppée à droite, à la criticité.
On va opérer en Lune "pression"
sur le cylindre qui présente sa couleur rose vers l'extérieur
et le faire monter. En c' on voit l'impact qu'a ce mouvement
sur l'ensemble d'auto-intersection : les arcs de courbe commencent à
se rapprocher. Quand la criticité sera atteinte cette partie de l'ensemble
ressemblera à "un fouet pour batte les oeufs", représenté
sur la figure. Figures de droite, t , t',
t" : la criticité est atteinte, c'est à
dire "l'instant médian de la catastrophe". En t"
l'allure de l'ensemble d'auto-intesection dont la partie inférieure s'identifie
à celle de notre fouet à battre les oeufs. La figure t'
représente le petit volume tétraèdrique. En t'''
on a figuré le croisement des quatre nappes.
Allez avaler une aspirine.
Dans cette version du retournement de la
sphère toutes les transformations, les catastrophes devraient être
amenées à leur terme. Mais on va bloquer celle que nous venons
d'évoquer dans sa configuration médiane, "critique".
Nous allons ensuite amorcer une catastrophe que nous n'avons pas encore utilisée
: celle qui inverse un tétraèdre. Mais là encore
nous nous arrêterons à la situation "médiane",
quand ce tétraèdre est réduit à un point. Allons-y
!
Dernière catastrophe, bloquée à
son stade médian : quand le tétraèdres est réduit
à un point quadruple Q
En t ''' une évocation
de la configuration des quatre nappes dont l'ensemble d'auto-intersection contient
un volume affectant la forme d'un tétraèdre. En u"
ce tétraèdre a été réduit à un point
( quadruple, puisqu'il y a quatre nappes qui se croisent ). A gauche le "modèle
à quatre oreilles de Morin" est constitué. En avant plan
l'ensemble d'auto-intersection avec, en bas, le "fouet pour battre les
oeufs" et en haut quatre ganse évoquant des "oreilles de lapin".
En déformant un peu la surface, mais sans opérer de nouvelles
catastrophes on débouche à droite sur le modèle central
à quatre oreilles de Morin. Celui ci a une symétrie d'ordre
quatre. Si on effectuait une rotation de 90° autour de son axe de symétrie
vertical, on obtiendrait le même dessin, mais avec des couleurs échanges.
Le gris devient rose et vice-versa. Alors nous pouvons dire que le travail est
terminé. En effet, si nous voulions dessiner l'homotopie complète
il suffirait, à l'aide d'une animation, de faire tourner de 90° ce
modèle central. Puis nous pourrions reprendre tous les dessins que nous
avons faits, à rebours, avec des couleurs échangées. A
bout du compte nous obtiendrions un plongement de la sphère où
celle-ci présente sa couleur rose à l'extérieur. Mais les
mathématiques sont une école de paresse, ou d'économie,
selon le regard que l'on porte à la chose. Dans la mesure où le
travail nous a amené à un objet présentant cette symétrie
d'ordre quatre nous pouvons en rester là en disant que l'opération
a été menée à bien.
Dans la planche suivante je me suis efforcé
de décrire ce modèle central ouvert de Morin avec le maximum de
détails. Il existe un modèle avec "oreilles fermées",
que j'ai décrit dans une autre nos à l'Académie, mais je
vous en ferai grâce.
Description détaillée du modèle
central de Morin, à quatre oreilles
Par la suite j'ai trouvé une représentation
polyédrique du modèl central à quatre oreilles. En fait
un tel modèle n'a ni "haut", ni "bas". Pour des commodités
de dessin et d'animation ( j'ai obtenu ces images avec un logiciel de conception
assitée par ordinateur que j'avais développé, sans le début
des années quatre vingt ) le gif animé suivant montre ce modèle
en présentant le point double vers le haut. Le point quadruple est également
visible :
Ma version polyédrique du modèle à
quatre oreilles
Comment construire ce modèle
à l'aide d'un découpage
L'éléments du
découpage (à imprimer, puis photocopie sur quatre pages de papier
fort, en deux couleurs )
Dans l'animation initiale l'objet était
"en miroir" par rapport à la vue ci-dessus. Ainsi, "vu
d'en haut" il affectait la forme d'une croix gammée, l'ensemble
pouvant évoquer une sorte de "maison de la culture pour parti néo-nazi".
J'ai préféré inverser l'objet pour ne pas donner à
des architectes d'extrême-droite des mauvaises idées. Cliquer
ici pour avoir toutes les explications sur la façon de monter vous-même
cet objet. Pour finir, quelques vues de cet objet.
Je finirai cette évocation du retournement
de la sphère par une anecdote étonnante quoique parfaitement authentique.
A l'époque où ces transformations n'étaient connues que
par un nombre infime d'initiés un mécène offrit un prix
d'un million de dollars à la personne qui parviendrait à construire
des modèles suffisamment explicite. A Berkeley, le mathématicien
Charles Pugh s'attela à ce travail et le mena à bien. Avec l'argent
il put acquérir une maison. Ces modèles, réalisé
avec du grillage à poules et mesurant chacun un bon mètres de
diamètre ( Pugh parvenait avec une dextérité étonnante
à couper et à rattacher les mailles de ses structures en permettant
l'auto-traversement ) ornèrent pendant des années le plafond de
la cafétéria du département de mathématiques de
Berkeley. Puis, une nuit, ils furent volés et on ne les retrouva jamais.
On ne sut jamais qui avait fait le coup. Commercialement c'eût été
plus difficile à vendre que la Joconde du Louvre. Peut-être un
amateur les détient-il dans une cave secrète en se réjouissant
chaque soir d'y descendre en se disant "je suis le seul à pouvoir
les contempler".
Il y a une autre anecdote qui se réfère
cette fois à la surface de Boy, dont j'ai été le premier
à situer les courbes méridiennes, en les identifiant à
une famille d'ellipses. Ce travail fut effectué de manière totalement
empirique, à partir d'un modèle en métal que j'avais réalisé.
Un des fils du mathématicien Jean-Marie Souriau, Jérôme,
poursuivait alors des études de physicien. En utilisant le micro ordinateur
Apple II de son père il parvint à construire la première
représentation paramétrique de cet objet, du type :
X = X ( alpha , mu )
Y = Y ( alpha , mu )
Z = Z ( alpha , mu )
Je suis infoutu d'inclure la police de caractère
Symbol dans Dreamweaver, qui me permettrait d'inclure des lettres Grecques dans
une page htm
&&& Si quelqu'un pouvait m'expliquer comment procéder......
A l'aide de dix lignes de programme BASIC
nous pûmes faire apparaître sur l'écran pour la première
fois, en 1981 des images fil de fer" de la surface de Boy. Si vous trouvez
d'ailleurs des images de synthèse de cet objet dans des sites, elles
auront toujours été obtenue à partir de ce travail publié
à l'Académie des Sciences ( tome 293 , séance du 5octobre
1981, série 1 pp. 269-272 ). Comme ce travail est signé J.P.Petit
et J.Souriau, les (rares) lecteurs pensent que J. Souriau est le mathématicien
bien connu. En fait il s'agit de son fils Jérôme, qui ne termina
jamais sa licence de physique et préféra exercer le métier
d'informaticien. Il est facile de se rendre compte que les images de synthèse,
dont beaucoup ont été créées par le polytechnicien
Colonna à l'Ecole Polytechnique sont basées sur ces équations
que nous avions trouvées, Jérôme et moi. Elles demandraient
à être améliorées et, faut de ce travail de finition,
la surface présente trois plis assez inesthétiques au voisinage
de son pôle. Voici le programme permettant de construire ces représentations
"fil-de-fer".
Le programme, extrait du Topologicon :
La dernière anecdote est plus étonnante.
Il y a une vingtaine d'années je participais à une expédition
sous-marine au sud de Bahamas, avec le plongeur Jacques Mayol. Le but était
de découvrir une "pyramide engloutie" dont l'existence avait
été mentionné par Charles Berlitz dans son célèbre
ouvrage "le Triangle des Bermudes", best seller planétaire.
Pour être précis cette pyramide aurait du se trouve au sud du récif
Cay Sal Bank, à mi-distance entre la Floride et Cuba, une région
infestée de requins de haute mer, passablement dangereux. Mais en matière
de recherche il faut parfois savoir prendre des risques.
Nous ne trouvâmes pas plus de pyramide que de beurre
en broche. Nous avions été amenés à pied d'oeuvre
par un financier italien très riche, sur un yacht magnifique, de trente
mètres de long, équipé de très puissants moteurs.
Faute de pyramide, je me mis à parler à ce milliardaire de géométrie
en lui précisant qu'en sponsorisant la création de surface mathématiques
il trouverait là un moyen de dépenser son argent, encore plus
inutilement qu'en invitant à dîner des girls du Lido de Paris.
L'homme, dont je tairai le nom, mais dont le véritable prénom
est Carlo accepta de financer la réalisation de quelques modèles,
qui furent "mis au net" par un plasticien plus adroit que moi dans
la manipulation du fil de fer cuivré. A terme ce financier voulait faire
réaliser des modèles faits avec du fil d'or, pour les mettre dans
son salon.
Un jour, soudain, le contact se trouva rompu. Je finis
par tenter de le joindre dans ses bureaux de Milan. Mais j'appris qu'il avait
été incarcéré, ayant été identifié
comme le numéro deux de l'affaire de la " Loge P2 " en Italie.
Il put sortir de prison quelques mois plus tard en achetant ses juges. A mon
grand regret l'italien se détourna désormais des mathématiques.
Au passage ceci nous permit de comprendre quel avait été le but
réel de l'expédition aux Bahamas. En fait son magnifique Yacht
avait servi à transporter d'Italie à Nassau, au Bahamas, de l'argent
sale, probablement issu du trafic de drogue. Lorsque nous avions fait escale
dans ce port le propriétaire du bateau, notre hôte, avait disparu
dans une cachette qu'il avait aménagée dans celui-ci, d'où
il émergea quand la police du port, ayant effectué son inspection
et vérifié l'identité des personnes présentes à
bord, était retourné à terre. Il prit alors la direction
de sa banque de Nassau, porteur d'un attaché case au contenu visiblement
très pesant, qui devait sans doute contenir une véritable fortune
en argent liquide. A cette époque, nous nous demandions comment nous
allions faire pour ne pas nous faire dévorer par les requins à
Cay Sal Bank nous n'avions pas sur le moment accordé de l'importance
à ce détail, qui ne m'est revenu en mémoire que par la
suite.
Au retour en France je fis cependant l'erreur de raconter
au responsable du département de mathématiques du Palais de la
Découverte de Paris, situé au Grand Palais, que le modèle
que je lui proposai d'exposer, et qui le fut effectivement pendant une vingtaine
d'années, avait été réalisé avec de l'argent
issu du commerce de la drogue. Par précaution, celui-ci s'abstint d'apposer
à côté de l'objet une mention quelconque, pas même
le nom de son inventeur, où le mien. Celui-ci trôna ainsi au centre
de la "salle pi" pendant deux décennies, de manière
totalement énigmatique.
On a parlé jadis d'un malédiction attachée
à la découverte du tombeau de Tout Ankh Amon. Je ne sais pas s'il
existerait une " Malédiction de la Surface de Boy ". Toujours
est-il ( et cela est parfaitement authentique ) que son inventeur se volatilisa
mystérieusement et que cet objet, tel le Faucon Maltais du film avec
Humphrey Bogart resta attaché à des histoires liées à
la Mafia sicilienne. Je me demande si le retrait de celui-ci et son placement
dans une cave du bâtiment ne fut pas de la part de la Direction du Musée
une simple mesure de prudence.
Les réserves du Palais de la Découverte,
non accessibles au public, sont semblables à un tombeau pharaonique souterrain
de la Vallée de Rois égyptienne. Peut être un explorateur,
des années après que la II° guerre mondiale ait atomisé
Paris, découvrira-t-il par hasard cet objet, qui fera peut être
de nouvelles victimes, qui sait ?