הפיכת הספירה וההעמסה של בקבוק קליין

ההפיכה של הספירה

7 בדצמבר 2004

דף 1

מבוא.

נבחן בחלק הבא משטחים סגורים, כמו הספירה, הטורוס והמשטחים האחרים. אלו הם משטחים במובן שבו מבינה את זה האנושי, כלומר אובייקטים דו-ממדיים שמוצגים במרחב אוקלידי תלת-ממדי, R3, שהוא המרחב המנימי שלנו. משטחים אלו יכולים להופיע בצורה של מספר סוגי הצגות. אם הם לא חותכים את עצמם, נאמר שהם מונחים (ב-R3). אם הם חותכים את עצמם, נדבר על העמסה והחתך יתבטא בהופעת הקבוצה של חיתוך עצמי (self-intersection).

במונחים שלנו נניח שהמישור המשיק משתנה באופן רציף והמשטח אינו כולל סינגולריות כמו ראש של חרוט. המשטחים שלנו יהיו רגולריים.

במקרה של העמסה נדרוש שהמישורים המשיקים לאורך קווי החיתוך העצמי של המשטחים המתחברים יהיו שונים זה מזה.

העולם הגאומטרי, כפי שהוא מושג על ידי המתמטיקאי, שונה מאוד מהעולם הפיזיקלי. העובדה שהמשטחים יכולים לחתוך את עצמם לא מפריעה לו כלל. העולם הפיזיקלי לא מאפשר דבר כזה. אך זה אפשרי בעולם המטافيزيقي. כך, במקרא קוראים שכאשר המתים יתחיינו, זה יקרה בצורה של "גופים מפוארים". הם יוכלו אז לחדור דרך כל דבר, ובאופן כללי יהיו מסוגלים לחתוך את עצמם. לכן, כאשר יגיע זמן הדין האחרון, אם תהלוך ברומא בצורה של גוף מפואר, ותתלונן על כך שאתה מאבד את הדרך ומחפש את פיאצה נאובה, תיתכן שתנסה לשאול את הדרך מאדם מת שתחייה, שיתריץ את הראיה שלך. נניח שהאדם ששאלת מתקדם בכיוון ההפוך מהמקום. במרחב הפיזיקלי הרגיל היה עליו להסתובב על עצמו כדי להצביע בכיוון הנכון. אך אם הוא מתקדם בצורה של גוף מפואר, הסיבוב כבר לא יהיה נחוץ. הוא יוכל להצביע באצבעו על הבטן שלו ולחתוך את עצמו. כשידו תחזור להופיע מהצד האחורי, לא יישאר לו אלא לומר לך "הנה הדרך". כשישים את ידו דרך הבטן שלו ייצור בתוכו קבוצה של חיתוך עצמי שכוללת שני מעגלים, שיסתלקו כשיחזור למצב הרגיל.

אם אדם מקרר את פיו, מכניס מקלות ליצירתו כדי לסגור את הנפוחים, ומבטל את כל פתחים טבעיים אחרים, הבדידות שלו תקבל את הטופולוגיה של הספירה S2. נדמיין אדם שתחייה בצורה של גוף מפואר, שבו כל הפתחים הטבעיים סגורים. אנחנו יודעים שהוא יכול לחתוך את עצמו, כלומר שההבדידות שלו יכולה לעבור ממצב של מונח למצב של העמסה. אחד הבעיות המטאפיזיות שהוצגה הייתה האם אדם שתחיה בצורה של גוף מפואר יכול להפוך את עצמו ללא קיפולים.

מבחינה צנועה. קוסמים יודעים להשתמש ב"מעגלים קסמים" שיכולים לחתוך זה את זה "בצורה קסומה". אפשר לדמיין להציג משטחים באמצעות סוג של "רשת קסומה" כך שהשכבות, שמסומנות כאן בשחור וברוז, יוכלו לחתוך זו את זו ללא קושי.

רשת קסומה

בכל מקרה, יש להכיר בכך שיש לעיתים קרובות מעט הבדל בין מתמטיקה לקסם. לפני עשרים שנה יצרתי רומן קומיקס בשם "הטופולוגיקון". הוא עכשיו נגמר ולא זמין, אלא כמוצר אוסף. על אחת מהדפים ניתן לראות את זה:

לצער גדול שהמהדורה של "בלין" החלטה לנטוש את הסדרה הזו. יש לומר שעם מחיר ייצור של מעט יותר מ-euro אחד, מכירת האלבומים ב-13 יורו (בנוסף לשליחות), במכירה על-ידי מכתבים, מחוץ לכך שנותר רווח של 12 יורו, כלומר רווח של יותר מ-92% מהמחיר, לא מתאים לاستراتيجיה מסחרית מובנת, במיוחד עבור תוכן שחור ולבן.

נבחן ספירה S2 מונחת ב-R3. נניח שפניה החיצונית היא אפורה ופניה הפנימית בצבע רוז-בזק. נוכל ללחוץ על שני נקודות אנטיפודיות, שנקראות באופן שרירותי "הקטב הצפוני" ו"הקטב הדרומי", עד שיתאימו לנקודה אחת. ניתן לעשות זאת, לדוגמה, עם עוגה. כשמדובר בעוגה מתמטית (איננו יודעים אם עוגות מתיחות או לא בצורה של גוף מפואר), שתי האזורים הקטביים, לאחר שיצאו לנקודה אחת, יכולים לחתוך את עצמם לאורך עקומה של חיתוך עצמי שמשפיעה על צורתו של מעגל. נניח מראש שנאמר שהמשטח חווה תקלה מסוג Do.

אזי נוכל להיחשף לניסיון להפוך את העוגה, את הספירה, על ידי המשך הפעולה. אך אז ייווצר תבנית שתקלקל למשטח לא נעים, או יותר מדויק, למשטח של הפסקה (תמונה d).

בסוף שנות ה-50 שאלת החשיבות האם ניתן להפוך עוגות מטאפיזיות ללא קיפולים נשארה ללא פתרון. בפועל, כולם חשבו שזה פשוט בלתי אפשרי. אך ב-1957 מתמטיקאי בשם סטיבן סמאל (שזכה במדליית פילד, אך לעבודה אחרת) הוכיח שجميع ההעמסות של הספירה S2 ב-R3 מהוות קבוצה אחת, ותמיד אפשר למצוא סדרה של התמרות רציפות של העמסות (שנקראות גם הומוטופיה רגולרית) שמאפשרות לעבור ממצב אחד למצב אחר. המסקנה הייתה שאפשר לעבור, באמצעות סדרה רציפה של העמסות, מהמונח הסטנדרטי של הספירה S2 למונח האנטיפודלי. במונחים פשוטים יותר: אפשר להפוך ספירה ללא קיפולים, בתנאי שמאפשרים לה להפוך את עצמה.

המנהל של סמאל היה ראול בוט. הוא שאל את תלמידו איך צריך לפעול, וסמאל ענה שהוא לא יודע כלל, אך שהמשפט שלו הוא לגמרי בלתי נגוע. סמאל לא ראה בכלל במרחב, אך זה לא הפריע לו (כמו שקורה לרוב הגאומטרים). ואם נדבר בפרטיות, לאחר שהוכיח את המשפט, הוא התעלם לגמרי מהדרך בה אפשר להפוך את העניין למציאות, וה سريع התחיל לעסוק בנושא אחר, משאיר את עמיתיו המתמטיקאים בבלבול גדול. אני חושב שזה לא נחמד להפוך בעיות בצורה כזו ולתת לאחרים להסתדר לבד, אחרי עשר שנים.

יש לומר שקשה מאוד לדמיין העמסות בדמיון. עם זאת, אנו יודעים שקיימים משטחים שיכולים להופיע ב-R3 רק בצורה זו. לדוגמה, בקבוק קליין.

בקבוק קליין

הוצג כאן עם מערכת משבצות-מערכת קואורדינטות שכוללת שני אוספים של עקומות סגורות, כמו הטורוס. ניתן למשבצת בקבוק קליין ללא יצירת סינגולריות של משבצות. אך כפי שנראה, המשטח חייב לחתוך את עצמו לאורך עקומה סגורה, מעגל. לכן, לא ניתן למכור בקבוק קליין ב-R3. ניסיתי, זה לא עובד. אפשר רק להעמס אותו. בזכות כישורי הציור שלי, אתם יכולים להצטייר את האובייקט בקירוב. אך כשמדובר בהפכה של ספירה, היה עלינו לשקול קונפיגורציות הרבה יותר מורכבות. הדרך להצגתם לא הייתה מועילה במיוחד. חלק מהתלמידים השתמשו בקצף. כשראינו אותם מדברים זה עם זה בכנסים, הם היו מתרחקים לרוב, ופתוחים בפני עמיתיהם קופסאות נעליים או קופסאות לחרטומים, שמכילות אובייקטים יותר או פחות מפחידים. הציור למעלה מזכיר את הדרך הנוחה ביותר לבנות ולעשות שימוש באובייקטים אלו: באמצעות מה שנקרא "חוט נחושת", שילוב שמספיק רך כדי לפלג בקלות, אך שמאפשר לשמור על אלסטיות. הדרך הטובה ביותר היא ליצור נקודות חיבור של העקומות (אנו ממליצים על תיל של 2 מ"מ קוטר) על ידי חיבורם עם חוט. היתרונות הם שאפשר להזיז אותם, לפחות עד שנקבעת הצורה הסופית. אפשר אז להסיר כל תנועה באמצעות נקודה של דבק.

בעבודה מטפחת, כמעט לא נזקק לבקבוקי קליין. להלן תמונה של בקבוק קליין שמשמש אותי לצורך אישי.

אובייקטים אלו, אם יש לך מעט תחושת צורה, הם יפים. יצרתי מספר כאלה כשאני היה מורה לפסיפס באקדמיה לאמנות של אקס-אן-פרובנס. אך לפני שהגעתי לטכניקה זו היו הרבה ניסיונות שניסינו לערבב בין חוט נחושת רך לבין נייר, מה שגרם לתוצאות שבעלות אסתטיקה שבעלת שאלות. אני זוכר שפעם הייתי צריך לרדת ברכבת ממרסיליה כדי להעניק למתמטיקאי האהוב עליה, אנדרה ליכנראוויץ, כמה משטחים שיצרתי תיאורים מספיק מובנים. במיוחד הייתה משטח בוי שבו הצבתי מיפוי מרכז על קטב אחד. זה הוביל בסופו של דבר לאובייקט יפהפה, שנותר מוצג במשך עשרים שנה בפינה Pi של מוזיאון הגלוי בפריז. אך לפני שנה המנהל של המוזיאון הרגיש שהמשטח כבר לא מודרני, והוא עכשיו נמצאת במרתף או במרתף. אני מקווה שהוא לא נדחק במהלך ההובלה. כל זה כדי לומר שעכשיו לא תראה משטח בוי באף מקום, אלא בספרים, או ב-CD-ROM שבו הכנסתי את 18 הקומיקסים המדעיים שלי בפורמט PDF, כולל "הטופולוגיקון". איך להשיג את ה-CD-ROM הזה.

אבל נחזור למסע שיצאתי בו, ממרסיליה לפריז. כבר הייתי עמוס בhai שקים, והחלטתי לקחת עמו שלושה מודלים. הפתרון היחיד היה לשים אותם על צווארי. אך כשעברתי את ההלל של התחנה והבנתי איך אנשים הסתכלו עלי, הבנתי שהם חשבו שמדובר באדם שברח מהמאהל וקיבל הרשות לצאת. היה זה חסר תועלת לנסות להסביר להם את ההפך, והייתי חייב לסבול את המאבק הזה עם כל הכבוד האפשרי.

מה שמעניין הוא שהאנשים שמייצרים דברים מסוג זה הם די נדירים. באמריקה היה מתמטיקאי בשם צ'ארלס פugh, שעובד בפרוסת המתמטיקה באוניברסיטת ברקלי. אוכל להזכיר עליו שוב במקטעים הבאים. פugh היה מופלא עם הרשתות של עופות, אך אני תמיד העדפתי את טכניקת החוט הנחושת.

נחזור לבעיית הפיכת הספירה. הראשון ש הצליח לנצח את הבעיה היה הגאומטר אנתרופני פיליפס. הוא פרסם את העבודה שלו, כלומר סדרת ציורים, במאמר של "סאנסיפיק אמיריكان" ב-1967. יש מספר דרכים להפוך ספירה. אחת מהן היא להכניס כל נקודה על הספירה לאי-ההתאמה עם נקודה אנטיפודית. היא מקבלת אז את צורת משטח בוי. תמיד חלמתי למצוא ספונסר כדי לבנות סculpture יפהפה שتمثل כדור אرضי שנופל למשטח בוי. בגלל שלא יכולתי לבנות את האובייקט, ערכתי את התמונה על כיסוי ה"טופולוגיקון":

כדור הארץ מחובר לעצמו על ידי משטח בוי

בקונפיגורציה כזו, אם תחפור חור בקטב הצפוני, תופיע מיד בצד השני, בקטב הדרומי, שכן שתי הנקודות הן אנטיפודיות. צרפתי שיחפור חור בבתים שלו ימצא עצמו בניו זילנד, וכו'.

הגרסה שמצא פיליפס היא באמת להציג את הדרך בה הספירה מתאימה לצורת מונח דו-שכבתי של משטח בוי, שהוא כמובן משטח חד-צדדי. אם נחזיק מוצר קסם, הטרוויזין, שיתן למשטחים את היכולת לחתוך את עצמם, יספיק להכניס כל נקודה לנקודה האנטיפודית באמצעות חוט, שאותו נצמצם עד שיתברר באורך אפס. אם לא ניתן להציג את ההמרה בקלות, אפשר עדיין להתייחס לחלק מהספירה, לדוגמה ל סביבה האקואטורית שלה. זה מה שנעשה באנימציות הבאות. המשטח הזה, עם שני שוליים מעגליים, דומה לגלגלת אופניים. ציירנו שלושה רדיוסים, מחוברים לנקודות מנוגדות. כשאנו מקרבים את אורך הרדיוסים ל-0, הפס הדו-צדדי יתאים לצורת מונח דו-שכבתי של סרט מביוס עם שלושה חצי-סיבובים. להלן שתי אנימציות די粗糙. השמאלית איטית והימנית מהירה.

הסרט מביוס עם שלושה חצי-סיבובים הוא "הסביבה האקואטורית" של משטח בוי. על הסרט הזה מתעטף האקואטור של הספירה.

"האקואטור" של משטח בוי

כשנגיע לשני הקטבים של הספירה, הם יתאימו לנקודה הקטבית היחידה של המשטח. המשטח הזה, כמו בקבוק קליין, לא יכול להיות מונח ב-R3. הוא יכול רק להופיע בצורה של העמסה. הוא possesses קבוצה של חיתוך עצמי בצורת ספירלה עם שלושה פאות, שחלק מהקצוות שלה נראים כמו "תאים" של שלושה "אוזניים". בדפים הבאים תמצאו חלקים שיעזרו להבין את המשטח. אם יש בעיה, קבלו טופולוגיקון.

למעלה ומשמאל: משטח בוי. מכיוון שהמשטח חד-צדדי, לא ניתן להשתמש בשני צבעים. ב-ב' הקבוצה של חיתוך עצמי, שדומה לשלושת פאות של ספירלה ב-ב". העקומה נחתכת בנקודה שלישית T. הציורים הבאים נועדו לעזור למשתמש להבנה.

כל דבר טוב כדי לצייר את המבנה של משטח: פסים, תצורה עם חלקים מוספים. רואים שפסיפס ימצא את שמחתו עם האובייקט המדהים הזה. מילה אחת על ההיסטוריה שלו. ב-1901, תלמידו של המתמטיקאי הגרמני הגדול הילברט, ורנר בוי, הציג בפניו משטח ש никто לא חשב עליו קודם לכן. החופשה הייתה קרוב. הילברט אמר לתלמידו:

- הבעיה הזו נראית לי מעניינת. אם תרצה, חזור אליי בסוף החופשה, נדון בה.

החופש עבר, אך בסיום החופשה בוי לא חזר. לאחר שני חודשים, הילברט ניסה למצוא אותו. לאחר שסטודנטים אחרים העבירו לו את הכתובת, הוא הלך לשם. אך המלצרת אמרה לו שהشاب ורנר בוי החזיר את המפתחות לפני הקיץ, והוא לא חזר יותר. כל מאמצי החיפוש כדי למצוא אותו התרבו ללא תוצאה, כמו גם מאמצי למצוא את משפחתו. הוא פשוט נעלם. אם תגיע לגרמניה, אל תצפה למצוא את הקבר של הממציא המפורסם הזה: הוא לא קיים.

בהתמונה האחרונה, למטה וימין, צוירו, בלבן, את משטח בוי עצמו, ובעזרת צבעים אפורים ורזה את שני הצדדים של הספירה שמכסה אותו. הנקודות A ו-A' הן אנטיפודיות על הספירה. ברור איך מונח דו-שכבתי של משטח בוי יכול לשמש להפיכה של הספירה. נניח שיש לנו את סדרת ההמרות, את ההומוטופיה הרגולרית שמאפשרת להפוך ספירה שגויה מבחוץ, אפורה מבפנים, לציור למטה וימין. מספיק יהיה להחליף את שני השכבות (בעזרת חיתוך עצמי), במיוחד את הנקודות A ו-A', ואז לבצע את אותן הפעולות, בצורה הפוכה, כדי להגיע למונח האנטיפודלי של הספירה, שמראה את הצבע האפור מבחוץ.

באותו אופן אפשר לצפות שטורוס יכול להתאים למונח דו-שכבתי של ... בקבוק קליין. הנה איך נראה המונח:

מונח דו-שכבתי של בקבוק קליין

אם נצליח להתאים טורוס בצורה כזו, מספיק להחליף את השכבות הסמוכות, שנמצאות משני צדדי בקבוק קליין (שאיננו מוצג כאן), ואז לבצע את הפעולות בצורה הפוכה כדי להגיע לטורוס הפוך. העבודה הזו הוצגה במאמר של "פור לה סיאנס" בפברואר 1979, שנחתם על ידי ב. מורין ו-ג'פ. פטיט. אני התחלתי את החלק הציורי, ומורין את הטקסט. למרות שהוא ציין הרבה אנשים במאמר, הוא שכח אותי בדרכו, כמו ששכח לציין שאני הממציא של חלק זה של העבודה, שפורסם בדפים 46 ו-47. אך זה קורה כשעובדים בקשר צמוד עם עמית. אתה יודע איך זה: אתה מתרגל לישיבה שלו במשך שנים, ומאזין כל כך לאי-השכחה של אף אחד, שלבסוף שוכחים אותו, כאילו הוא חלק מהציוד. למידע נוסף, העבודה פורסמה בשם שלי ב-Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris ב-20 בנובמבר 1978, עם הכותרת "היפוך לא טריוויאלי של הטורוס", והמאמר הוצג על ידי האקדמאי אנדרה ליכנראוויץ.

דף הבא

חזרה למדריך חזרה לדף הבית

מספר התייחסויות לדף זה מאז 7 בדצמבר 2004: