הפיכת הספירה וההכלה של בקבוק קליין

הפיכת הספירה

7 בדצמבר 2004

דף 1

מבוא.

נבחן בחלק הבא משטחים סגורים, כמו ספירה, טורוס ועוד מספר אחרים. אלו הם משטחים במובן שבו מבינים אותם בני אדם רגילים, כלומר אובייקטים דו-ממדיים שמוצגים במרחב אוקלידי תלת-ממדי, ℝ³, שהוא המרחב הذهני שלנו ליצוג. למשטחים יכולים להיות מספר סוגי ייצוג. אם הם לא חותכים את עצמם, נאמר שהם מונחים (ב-ℝ³). אם הם חותכים את עצמם, נדבר על הכלה, והחתך יתבטא בקיום הקבוצה של חיתוך עצמי (self-intersection).

במונחים שלנו נניח שהמישור המשיק משתנה באופן רציף, והמשטח אינו כולל סינגולריות כמו ראש של חרוט. המשטחים שלנו יהיו רגולריים.

במקרה של הכלה נדרוש שהמישורים המשיקים לאורך קווי החיתוך העצמי של השכבות שחותכות זו את זו יהיו שונים.

העולם של הגאומטריה, כפי שהמתמטיקאי מפרש אותו, שונה מאוד מהעולם הפיזיקלי. העובדה שהמשטחים יכולים לחתוך את עצמם לא מפריעה לו כלל. העולם הפיזיקלי לא מאפשר דבר כזה. אך זה אפשרי בעולם המטאפיזי. כך, במקרא קוראים שכאשר המתים יתחייכו, זה יקרה בצורה של "גופים כבירים". הם יוכלו לעבור דרך כל דבר, ובאופן כללי יהיו מסוגלים לחתוך את עצמם. לכן, כשיגיע זמן הדין האחרון, אם תהלוך בראמה בצורה של גוף כביר, תיהיה מוסר ותחפש את פיצ'ה נאובה, עליך אולי לבקש את הדרך מאדם מת שתחייה, שיתריץ את המראה שלך. נניח שהאדם ששאלת מתקדם בכיוון הפוך לכיוון היעד. במרחב הפיזיקלי הרגיל היה עליו להסתובב על עצמו כדי להראות בזווית הנכונה. אך אם הוא מתקדם בצורה של גוף כביר, הסיבוב כבר אינו נדרש. הוא יוכל להצביע באצבעו על צווארו, לחתוך את עצמו, וכאשר יחזור יד יופיע מהגב. לו יישאר רק לומר לך "הנה היכן". על ידי הכניסה של ידו דרך בטנו הוא יוצר במעטפת הגוף שלו קבוצה של חיתוך עצמי שמכילה שני מעגלים, שמתפוגה כאשר יחזור למצב הרגיל.

אם אדם סגור את פיו, מכניס סכין לרקמות שלו כדי לסגור את הנפוחים, ומבטל את כל פתחים טבעיים אחרים, מעטפת הגוף שלו מקבלת את הטופולוגיה של הספירה S². נדמיין אדם שתחייה בצורה של גוף כביר שפתחים טבעיים שלו סגורים כך. אנחנו יודעים שהוא יכול לחתוך את עצמו, כלומר מעטפת הגוף שלו יכולה לעבור ממצב של מונח למצב של הכלה. אחד הבעיות המטאפיזיות שהצטברו הייתה האם אדם שתחייה בצורה של גוף כביר יכול להפוך את עצמו ללא פליגות.

הערה קטנה בדרכנו. קוסמים יודעים להשתמש ב"מעגלים קסמים" שיכולים לחדור זה בזה "בצורה קסומה". אפשר לדמיין לייצוג משטחים באמצעות סוג של "רשת קסומה" כך שהשכבות, שמיוצגות כאן בשחור וברוז, יוכלו לחתוך זו את זו ללא קושי.

הרשת הקסומה

בכל מקרה, יש להודות שבעבר לא היו הרבה הבדלים בין מתמטיקה לקסם. לפני עשרים שנה יצרתי רומן קומיקס: ה-Topologicon. הוא עכשיו נגמר ובלתי זמין, אלא כמוצר איסוף. על אחת מהדפים ניתן לראות את זה:

מאכזב שדפוסי Belin החלטו לעזוב את הסדרה הזו. יש לומר שבעבור מחיר ייצור של מעט יותר מ-euro אחד, מכירה של אלבומים ב-13 יורו (בנוסף לשליחות), במכירה דרך הדואר, מעבר לכך שנותר רווח של 12 יורו, כלומר רווח של יותר מ-92% מהמחיר, לא מתאים לاستراتيجיה מסחרית ברורה, במיוחד עבור שחור ולבן.

נבחן ספירה S² מונחת ב-ℝ³. נניח שפניה החיצונית היא אפורה ופניה הפנימית בצבע פורט-ויס. נלחץ על שני נקודות מנוגדות, שנקראות באופן שרירותי "קטב צפוני" ו"קטב דרומי", עד שיתארכו בנקודה אחת. אפשר לעשות זאת, לדוגמה, עם עוגה. כשמדובר בעוגה מתמטית (איננו יודעים אם עוגות מתיחות או לא בצורה של גוף כביר), שתי האזורים הקטביים, לאחר שיתארכו בנקודה אחת, יכולים לחתוך את עצמם בקוו חיתוך עצמי שמשנה את צורתו של מעגל. נאמר מראש שמשטח זה חווה תקלה מסוג Do.

אזי נוכל להרגיש נוטה לנסות להפוך את העוגה, את הספירה, על ידי המשך הפעולה. אך אז ייווצר שולי, שיתפתח לפלי נזק, או יותר בדיוק, משטח של פליגות (תמונה d).

בסוף שנות ה-50 שאלת הדרמה האם אפשר להפוך עוגות מטאפיזיות ללא פליגות נשארה לא פתורה. בפועל, כולם חשבו שזה פשוט בלתי אפשרי. אך ב-1957 מתמטיקאי בשם סטיבן סמאל (שזכה במדליית פילד, אך עבור עבודה אחרת) הוכיח שההכלה השונות של הספירה S² ב-ℝ³ מהוות קבוצה אחת, ותמיד אפשר למצוא סדרה של התארכויות רציפות של הכלה (שנקראות גם הומוטופיה רגולרית) שמאפשרות לעבור ממצב אחד למצב אחר. המסקנה הייתה שאפשר לעבור באמצעות סדרה רציפה של הכלה מהמונח הסטנדרטי של הספירה S² למונח האנטיפודלי. במילים פשוטות יותר: אפשר להפוך ספירה ללא פליגות, בתנאי שמאפשרים לה להפוך את עצמה.

המנהל של סמאל היה ראול בוט. הוא שאל את תלמידו איך צריך לפעול, והספיק לומר שפשוט אין לו מושג, אך שהמשפט שלו הוא בלתי מושפע. סמאל לא ראה בכלל במרחב, אך לא הקפיד (כמו רבים גאומטרים). ואם נדבר בדקדוקיות, לאחר שהוכיח את המשפט, הוא לא הקפיד כלל על הדרך שבה אפשר להפוך את העניין למשהו מוחשי, והמהר עבר לעניין אחר, משאיר את עמיתיו המתמטיקאים בבלבול גדול. אני חושב שזה לא מאוד נחמד ליצור בעיות בצורה כזו ולתת לאחרים להסתדר לבד, אחרי עשר שנים.

יש לומר שמסובך מאוד לדמיין הכלה בדמיון. עם זאת, אנו יודעים שקיימים משטחים שיכולים להופיע ב-ℝ³ רק בצורה כזו. לדוגמה, בקבוק קליין.

בקבוק קליין

הוצג כאן עם מערכת מישור-מערכת קואורדינטות שכוללת שני אוספים של קווים סגורים, כמו הטורוס. ניתן לרצף את בקבוק קליין ללא יצירת סינגולריות של ריצוף. אך כפי שנראה, המשטח חייב לחתוך את עצמו בקוו סגור, מעגל. לכן אי אפשר למקם בקבוק קליין ב-ℝ³. ניסיתי, זה לא עובד. אפשר רק להכילה. בזכות המומחיות שלי בציור, אתה יכול להתרשם בערך מהאובייקט הזה. אך כשמדובר בהפכה של ספירה, היה עלינו לשקול תצורות הרבה יותר מורכבות. הדרך לייצוגן לא הייתה נוחה במיוחד. חלק מהתלמידים השתמשו בקצף. כשראינו אותם מדברים זה עם זה בכנסים, הם היו מתרחקים לרוב, ופתוחים לפני עמיתיהם קופסאות נעליים או קופסאות של כובעים, שמכילות אובייקטים יותר או פחות מוזרים. הציור למעלה מזכיר את הדרך הנוחה ביותר לבניית אובייקטים אלה ולביצוע פעולות עליהם: עם מה שנקרא "כבל נחושת", סגסוגת שמספיקת לקלוט בקלות אך שומרת על אלסטיות. הדרך הטובה ביותר היא ליצירת נקודות חיתוך של קווים (אנו ממליצים תילים של 2 מ"מ قطر) על ידי חיבורם עם חוטים. היתרונות הם שיכולים להחליק, לפחות עד שנדמה שהאובייקט קיבל צורה סופית. ניתן אז להסיר כל החלקה באמצעות נקודה של דבק.

בעבודה מעשית, די נדיר להצטרכות להשתמש בקבוקי קליין. להלן תמונה של בקבוק קליין שמשמש אותי לצורך אישי.

אובייקטים אלה, אם יש לך מעט תחושת צורה, הם יפים. עשיתי לבנות מספר שלם כשעבדתי כמורה לפסיפס באקדמיה לאמנות של אקס-אן-פרובן. אך לפני שהגעתי לטכניקה זו היו הרבה ניסיונות, כששילבנו כבל נחושת רך עם נייר קרטון, מה שגרם לתוצאות שבעלות אסתטיקה מופרזת. אני זוכר שפעם אחת הייתי צריך לרדת ברכבת Marseille כדי להביא לארה"ב את חברי המתמטיקאי האהוב, אנדרה ליכנרווויץ, מספר משטחים שניסיתי לבנות ייצוגים שמסבירים מספיק. במיוחד הייתה שם משטח בוי שבו הצבתי מיפוי שמרכז על קטב אחד. זה הסתיים באובייקט מרהיב, שנותר מוצג במשך עשרים שנה בקומה 5 של מוזיאון הגלוי בפריז. אך לפני שנה מנהלת המוזיאון הרגישה שהמשטח כבר לא מודרני, והוא עכשיו מונח במרתף או במטבח. אני מקווה שהוא לא נדחק במהלך הנסיעה. כל זה כדי לומר שעכשיו לא תראה משטח בוי באף מקום, אלא בספרים, או ב-CD-ROM שבו הכנסתי את 18 הקומיקסים המדעיים שלי בפורמט PDF, כולל ה-Topologicon. איך להשיג את ה-CD-ROM הזה.

אבל נחזור למסע שיצאתי בו, ממרסיי לפורט. כבר הייתי עמוס בשני שקים, וقررت לקחת עמי שלוש דוגמאות. הדרך היחידה הייתה לשים אותן על צווארי. אך כשעברתי את ההלל של התחנה וראיתי איך אנשים הביטו בי, הבנתי שהם חשבו שמדובר באדם שברח מהבית חינוכי. היה זה חסר תועלת לנסות להסביר להם את ההפך, והייתי חייב להישאר במשמעת מושלמת.

מה שמרגש הוא שאנשים שמייצרים דברים מסוג זה הם די נדירים. באמריקה היה מתמטיקאי בשם צ'ארלס פugh, שעובד במעבדת מתמטיקה באוניברסיטת ברקלי. אוכל להזכיר עליו שוב במקטעים הבאים. פugh היה מופלא עם הרשת של עופות, אך אישית תמיד העדפתי את טכניקת הכבל הנחושת.

נחזור לסיפור הפיכת הספירה. הראשון ש הצליח לנצח את הבעיה היה הגאומטריסט אנטוני פיליפס. הוא פרסם את העבודה שלו, כלומר סדרת ציורים, במאמר של Scientific American, ב-1967. יש מספר דרכים להפוך ספירה. אחת מהן היא להביא כל נקודה של הספירה לשקיפות עם הנקודות האנטיפודיות שלה. היא מקבלת אז את צורת משטח בוי. תמיד חלמתי למצוא מזמין לבנות סculpture יפה שتمثل כדור ארץ שמתפוצץ למשטח בוי. בגלל שלא יכולתי לבנות את האובייקט, עשיתי את התמונה של העטיפה של ה-Topologicon:

כדור הארץ המחובר לעצמו על ידי משטח בוי

בתצורה כזו, אם תחפור חור בקטב הצפוני, תצוץ מיד בצד השני, בקטב הדרומי, מכיוון ששתי הנקודות הן אנטיפודיות. צרפתי שיחור חור במרתף שלו ימצא את עצמו בניו זילנד, וכו'.

הגרסה שמצא אנטוני פיליפס מתייחסת בפועל לתיאור הדרך בה הספירה מתאימה לצורת מונח דו-שכבות של משטח בוי, שהוא כמובן משטח חד-צדדי. אם היו לנו מוצר קסום, ההתקדמות, שנותן למשטחים את היכולת לחתוך את עצמם, היה עלינו לחבר כל נקודה עם הנקודות האנטיפודיות שלה באמצעות חוט, שאותו נכווץ עד שיתקבל אורך של אפס. אם לא ניתן לייצג בקלות את ההמרה הזו, אפשר עדיין להתייחס לחלק מהספירה, לדוגמה, ל סביבה האקואטורית שלה. זה מה שנעשה באנימציות הבאות. המשטח הזה, עם שני שוליים מעגליים, נראה כמו מוט של אופניים. הוצגו שלושה קרניים, מחוברות לנקודות מנוגדות. כשאורך הקרניים מתקרב לאפס, הרצועה הדו-צדדית תקבל את צורת מונח דו-שכבות של סרט מביוס עם שלושה חצי-סיבובים. להלן שתי אנימציות די粗糙ות. השמאלית איטית, והימנית מהירה.

סרט מביוס עם שלושה חצי-סיבובים הוא "הסביבה האקואטורית" של משטח בוי. על הרצועה הזו מתפתל האקואטור של הספירה.

"האקואטור" של משטח בוי

ככל ששני הקטבים של הספירה מגיעים לשקיפות על הקטב היחיד של המשטח. המשטח הזה, כמו בקבוק קליין, לא יכול להיות מונח ב-ℝ³. הוא יכול להיות מיוצג רק כהכלה. הוא possesses קבוצה של חיתוך עצמי שצורתה של ספירלה של שלושה פאות, שחלק מהקצוות שלה נראים כמו "תנורים" של שלושה "אוזניים". בדפים הבאים תמצאו מספר פרטים שיעזרו להבין טוב יותר את המשטח. במקרה של בעיה, קבלו את ה-Topologicon.

למעלה ומשמאל: משטח בוי. מכיוון שמשטח זה חד-צדדי, אי אפשר להשתמש בשני צבעים. ב-b' קבוצת החיתוך העצמי, שמשמשת כפאות של ספירלה ב-b". הקוו חותך עצמו בנקודה שלישית T. הציורים הבאים עוזרים למביט להבין את זה.

כל דבר טוב כדי לצייר את מבנה משטח: פסים, הרכבה עם חלקים משלימים. רואים שפסיפס ימצא את שמחתו עם אובייקט מרתק ממשי. מילה בדרכנו על ההיסטוריה שלו. ב-1901, תלמידו של המתמטיקאי הגרמני הגדול הילברט, ורנר בוי, הציג בפניו משטח שלא anyone חשב עליו קודם לכן. החופש היו קרובים. הילברט אמר לתלמידו:

*- הבעיה הזו נראית לי מעניינת. אם אתה רוצה, חזור אליי בסוף החופש, נדבר עליה. *

החופש עבר, אך בתחילת השנה בוי לא חזר. לאחר שני חודשים, הילברט ניסה למצוא אותו. לאחר שסטודנטים אחרים סיפרו לו את הכתובת, הוא הלך לשם. אך הלווה אמר לו שהشاب ורנר בוי החזיר לו את המפתחות לפני הקיץ, ולא חזר יותר. כל ניסיונות לחפש אותו נמצאו כלא מוצלחים, כמו גם ניסיונות למצוא בני משפחה שלו. הוא פשוט נעלם. אם תגיע לגרמניה, אל תצפה למצוא את הקבר של ממציא המפורסם הזה: הוא לא קיים.

בהתמונה האחרונה, למטה וימין, הוצגו, בלבן, את משטח בוי עצמו, ובעזרת צבעים אפורים ורזה את שני הצדדים של הספירה שמכסה אותו. הנקודות A ו-A' הן, על הספירה, אנטיפודיות. ברור איך מונח דו-שכבות של משטח בוי יכול לשמש להפכה של הספירה. נניח שיש לנו את סדרת ההמרה, את ההומוטופיה הרגולרית שמאפשרת להפוך ספירה אפורה מבחוץ, אפורה מבפנים, לציור למטה וימין. מספיק יהיה להחליף את שתי השכבות (בעזרת חיתוך עצמי), במיוחד את הנקודות A ו-A', ולאחר מכן לבצע את אותן הפעולות, בכיוון ההפוך, כדי להגיע למונח האנטיפודלי של הספירה, שמראה עכשיו את הצבע האפור מבחוץ.

באותה לוגיקה אפשר לצפות שטורוס יכול להפוך למונח דו-שכבות של ... בקבוק קליין. הנה איך נראה מונח כזה.

מונח דו-שכבות של בקבוק קליין

אם ניתן לסדר טורוס בצורה כזו, מספיק להחליף את השכבות הסמוכות, שנמצאות משני צידי בקבוק קליין (שאינו מוצג כאן), ואז לבצע את הפעולות בכיוון ההפוך, כדי להגיע לטורוס הפוך. העבודה הזו הוצגה במאמר של ינואר 1979 של "Pour la Science", מוקלם על ידי B. Morin ו-J.P. Petit. אני התחלתי את החלק הציורי, ו-Morin את הטקסט. למרות שהוא ציין רבים במאמר, הוא שכח אותי, כמו גם שכח לציין שאני הממציא של חלק זה של העבודה, שפורסם בעמודים 46 ו-47. אך זה קורה לפעמים כשעובדים בקשר הדוק עם חבר. אתה יודע איך זה: אתה מתרגל להיות מוכן לרגע, ומספיק מודאג לא להזניח אף אחד, עד שבסוף שכחת אותו, כאילו הוא חלק מהריהוט. להרחבה, העבודה פורסמה בשם שלי ב-Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, ב-20 בנובמבר 1978, עם הכותרת "היפוך לא טריוויאלי של הטורוס", והמאמר הוצג על ידי האקדמאי אנדרה ליכנרווויץ.

דף הבא

חזרה למדריך חזרה לדף הבית

מספר התייחסויות לדף זה מאז 7 בדצמבר 2004: