הפיכת הספירה
הפיכת הספירה
7 בדצמבר 2004
דף 3
הכישלונות הבסיסיים.
כבר צייננו למעלה שההכלה שסיפקנו הייתה כזו שהמישורים המשיקים לאורך קבוצות החיתוך העצמי שלהן, כאשר יש להן, נשארו נפרדים. ניתן אז לעבור מהכלה אחת להכלה אחרת באמצעות ארבעה כישלונות בסיסיים. מורין נתן להם שמות, שמסומנים בציורים למטה. הראשון מוביל ליצירת עקומה סגורה (וההשמדה שלה, פעולה הפוכה). זה מה שקורה כשאנו מכניסים את המרפק למים של מקלחת כדי לבדוק את הטמפרטורה (לשמאל). איור a4: המשטחים נוגעים זה בזה בנקודה אחת. באיור a5 נוצרה העקומה של החיתוך העצמי. בהמשך הטקסט נקרא לפעולה זו "הכישלון של המרפק".
"הכישלון של המרפק": יצירת והשמדה של עקומה סגורה
הכישלון השני הוא "החתך של המנדרינה":
הכישלון של יצירת והשמדה של "חתך של מנדרינה".
אם מביטים היטב בציורים, משמאל לימין נראה שהגליל הפרבולי מתקרב לדיאדרון. קבוצת החיתוך העצמי מורכבת משתי עקומות שצורתן פרבולית, מופרדות, ועוד, כמובן, הצלע של הדיאדרון. באיור המרכזי הצלע של הדיאדרון נוגעת באחת מהגנרטוריות של הגליל. הצלע משיקה לגליל בנקודה זו. קבוצת החיתוך העצמי מורכבת משתי עקומות פרבוליות שמשיקות זו לזו בנקודה אחת, וכן לצלע של הדיאדרון. איור ימין: הגליל הפרבולי המשיך את תנועתו. העקומה של החיתוך העצמי השתנתה. היא מורכבת מהצלע של הדיאדרון, ועוד עקומות פרבוליות שחותכות זו את זו בשתי נקודות, שנמצאות על הצלע של הדיאדרון. אפשר לחשוב גם על כך שהגליל הפרבולי נשאר במקומו והשני "מישורים של חיתוך" נעים. האיור הימני מזכיר שני קצרים או שני חיתוכים שנעשו במכונת חיתוך. גם החומר שנגזר מוצג. מורין השוויה ל"חתך של מנדרינה", תמונה מאוד מובנת.
הכישלון השלישי הוא "המכנסיים".
הכישלון "המכנסיים"
הציורים מובנים מספיק. אנו מציירים ממכנסיים למטה במים. משמאל העוף עובר מתחת לרגליים, אך הדג נשאר סגור באחת הרגליים. מימין הדג עובר, אך המקום שבו עבר העוף נעלם. במרכז המצב הביניים. מה שחשוב הוא השינוי המקומי בעקומה של החיתוך, שמתאים למה שמכנים "ניתוח", שינוי ביצירת חיבור של קטעי עקומה. נסה להבין היטב את ההמרה הזו, שתהיה הקשה ביותר להטמעה והצגה בפונקציית ההומוטופיה של הפיכת הספירה. זכור היטב שהכישלון הזה סוגר דרך בעת שהוא פותח דרך אחרת בכיוון הניצב.
הכישלון הרביעי והאחרון הוא "ההפיכה של הטטרהדרון":
הכישלון שפונה את הטטרהדרון
העקומה של החיתוך העצמי מורכבת מארבע "ישרים" שמהווים המשכיות של ארבע הצלעות של הטטרהדרון. באיור שמאלה נפרדה הטטרהדרון, שמציגה את פניה הגריזות החוצה. מימין, ההפך: הפאות אדומות. במרכז, המצב הביניים: הטטרהדרון התכווץ לנקודה Q (ריבועית, מאחר שהיא נקודת חיתוך של ארבע משטחים).
באמצעות ארבעת הכישלונות האלה נבחן את הפיכת ספירה באמצעות סדרה רציפה של הכנסות חéo-נורמליות. הגרסה הזו נבעה מהמתמטיקאי (עיוור) ברנרד מורין. הפגישה שלנו ערכית לאותה סיבה. יום אחד טכנאי מהפקולטה למדעים הבקשה ממני להביא את כישורי הציור שלי לנאמר שיתחיל לדבר על גאומטריה. באתי לפגישה זו ללא כל חשד. תמיד הייתי די מוכשר לראות עצמים במרחב, וכאשר המורה שלנו למתמטיקה מתקדמת נתן לנו לחקור בעיה בגאומטריה תיאורית, ציירתי את החיתוך והערכתי את הפרספקטיבה גם בזמן שהמורה יצר את הצהרה. אבל כאן הדברים יתנהלו אחרת.
לא הייתה לי שום קושי לצייר את הציורים למעלה. אך כשצריך להכניס אותם לתרשים שכולל את הפיכת הספירה, הפסדתי לגמרי את המושג, מופיעה בפני קבוצה של משטחים מונחים אחד מאחורי השני. מוטרף, חזרתי לראות את האדם המוזר הזה, שבעוד שהוא חסר ראייה, נראה יותר נוח ממני בפיזור הצורות. לכן למדתי אתו במשך מספר חודשים. הדיאלוג היה די מורכב. מאחד הצלעות היה לו רק את המילה. מאחר שלי יכולתי או לתאר לו את הציורים, או להכניס לידיו מודלים שנעשו בבית, או מאוחר יותר במקום. היה עלול להקליט את הדיאלוגים האלה, שבלבד מופלאים, כמו:
- נסה לדמיין שתי עקומות שינועו להתחבר, ויוצרות סוג של מטושטש לערבוב ביצים.
למרות האופי הקשה של האדם, הפגישות נשארו בלתי נשכחות לי. בסופו של דבר התרגלתי לבלוע שתי אספירינים לפני הפגישות, כמניע מוקדם. האופי שלו יכול להתקצר בקיצור ששם לו אשתו: "ברק מבורך", персонаж מהסדרה של הרגי "تينטין בטיבט". נזקקים של מורין היו גם מפורסמים גם לאחידים. פעם הוא הזכיר כמה מהאינמיצים שלו, שמתו, וזרק עליהם:
- לפעמים אני מטיל עליהם קלה קטנה באחרונה, מדבר לעצמי שאם זה לא מזיק להם, לפחות לא יכול להועיל להם.
מספר התייחסויות לדף זה מאז 8 בדצמבר 2004: