הפיכת הספירה - מתמטיקה של תקלה
הפיכת הספירה
8 בדצמבר 2004
דף 4
הגרסה של ברנאר מורין
להורדת גרסה PDF של המאמר מ-1979 של ב. מורין ו-ג'פ. פטיט, שפורסם ב- Pour la Science
הפיכת הספירה ( 2.8 מגה )
נתחיל בספירה שמוציאה את צדיה הכתומים החוצה ואת הצד הורוד פנימה. ב-ב ו-ג אנו מקרבים את הקטבים זה לזה. לאחר מכן הצלעות מתداخلות לפי "תקלה של מפרק היד". נוצרת עקומת חיתוך סגורה. בפינה התחתונה ימינה, שלושה חתכים חצי-חוטים מאפשרים להבין טוב יותר את המבנה שנוצר. בשלב זה הספירה נראית כמו סוג של "כלי שיט מטושטש" מעגלי, עם "רצפה" ו"רצפה כפולה".
שלב ראשון: תקלה של מפרק היד. יצירת עקומת חיתוך סגורה
פעולה שנייה: תקלה של מפרק היד נוספת, יצירת עקומת חיתוך סגורה שנייה.
יצירת עקומת חיתוך סגורה שנייה.
כדי לעשות זאת, "הכלי המטושטש" התפצל, בדפוס של סיבוב, מה שמאפשר להקריב שתי נקודות של "הרצפה", נמצאות בצדדים מנוגדים, ליתר פנים. התמונה הבאה היא התוצאה של שתי תקלות שגרמו ליצירת "חתכי תפוח אדמה".
אחרי יצירת שני חתכי תפוח אדמה
בצד שמאל בוצעו חתכים במודל. במרכזה, הדרך בה שני צינורות, שחלקם מקומי מראה את צורת האות היוונית "גימא", התداخلו. נזכיר שהתקלה של יצירת "חתכי תפוח אדמה" נעשתה על ידי חיתוך "עץ" בשני מישורים שפורמים זווית דו-מישורית. כל אחת מהמבנים הצילינדריים שחתיכם הוא "גימא" מכילה גם את החתך העגול וגם את הזווית הדו-מישורית. שימו לב לאיור י. ב-כ ציירנו את כל עקומת החיתוך. החלק הגדול ביותר של העקומה הסגורה נובע מהתקלה הראשונה של מפרק היד שפנתה את הספירה ל"כלי מטושטש". לאחר יצירת שני חתכי תפוח אדמה נוצרת קבוצה מורכבת יותר, ש-כ היא תת-קבוצה שלה. ב-כ" רואים שהמבנה יכול להשוות לרכיב של שני חתכי תפוח אדמה על שתי צלעות של טטראדר שאינן סמוכות.
כשאעשה אנימציות, כל זה יתפרש בצורה הרבה יותר פשוטה. מבחינה טכנית אין לי שום בעיה. זו שאלה של זמן בלבד. מעטים הם האנשים שיכולים לראות במרחב, כלומר לקרוא את הקוד שמשתמש בקווי, נקודות, צבעים, צללים ורעשים, וגם להרכיב בדמיונם תהליך של הופכות שמיים שמיים. אני מקווה שאחד הימים אוכל להקדיש את הזמן לעשות את כל הדברים האלה. נציין בדרכנו שאפשר להשתמש במודלים פוליאדריים, כפי שעשיתי כדי להראות איך אפשר להפוך קורס קאפ למשטח בוי. זהו העתיד. אך יש לחשוב על מודלים כאלה. בחלק התחתון תמצאו את הגרסה הפוליאדרית המיטבית של המודל המרכזי של ההיפוך שדמיין ברנאר מורין (נזכיר שמדובר באדם עיוור!), עם הדרך לבנות אותו בעצמכם מחתך.
למה לא המשכתי את הדברים дальше? אגיד: בגלל חוסר "התקדמות". אין מגזינים מתמטיים שמאשרים לפרסם עבודות מסוג זה. הצלחנו לעשות זאת ב-1975-1978 דרך מספר הערות ב-Comptes Rendus של האקדמיה למדעים בפריז, שכנראה לא נקראו על ידי רבים. אך זה היה בגלל שהאקדמיקן אנדרה ליכנרווויץ התעניין באופן אישי ב עבודות אלו. הוא מת בימינו. מאחר שהעבודות נסגרו לגמרי כבר ב-1975, היה מומלץ ליצור סרט אנימציה מציוריי. מאחר שעבדתי בתחום הסרטים המנופים, הייתי לגמרי מסוגל לנהל פרויקט כזה. אך לא הצלחנו למצוא תموיל ב- CNRS, והמתמטיקאי האמריקאי נלסון מקס, שמבוסס על מודלים שנבנו על ידי שותפו צ'ארלס פוג (מהגרסה הזו של הפיכת הספירה), והשתמש במחשב חזק, הצליח ליצור את הסרט הראשון. אך זה לא היה הפעם הראשונה ולא האחרונה שהצרפתים, שלא קיבלו שום תגובה מאמצייהם, נדחו על ידי שותפים זרים שמתוכננים יותר ומקבלים תמיכה טובה יותר.
נעבור לשלב השלישי, הקשה ביותר להבנה.
הכנה לשתי תקלות "של מכנסיים"
באיור כ ניתן לראות היטב שני קצות "רגלי מכנסיים", שפרטים מופיעים בפרטי-הרקע כ'. стрелת לבנה מצביעה על המעבר "במפרקים". ההמרה הזו קשה מאוד להבנה. הוספתי את הציור מ כדי לנסות להסביר טוב יותר. ב-ל מייצגת עם קווי נקודות את עקומת החיתוך, שמסודרת במלואה ב-ל'. המעבר (השמור על ידי החץ הלבן) יסגר. תנועת הסגירה תלויה במעלה של חלק מהעקומה של החיתוך, בנקודות שתיים. קצות העקומה יגיעו ליתר פנים, כל אחד על אחת מהקווים שייכים ל"חתכי תפוח אדמה". כשיש תקשורת, יקרה ניתוח. הקושי נובע מכך שכאשר ראיתם את ארבע התקלות הבסיסיות, בדף הקודם, יש ליכולת להמיר אותן מכל זווית, על ידי סיבוב של צוואר, אם צריך. ב-נ מיוצג הרגע הקריטי שבו הניתוח מתבצע (ה"מצב האמצעי" של ההמרה), שבו ישתנה אופן החיבור של קצות העקומה. אנו יודעים שתקלת "המכנסיים" מכניסה פתח ופותחת פתח אחר. הפתח הראשוני מיוצג על ידי החץ הלבן. אך קיים עוד פתח שיתגלה מאותה זווית אם נסובב את המודל ב-180 מעלות סביב ציר אנכי. שתי החצים יוצרים את אותו חץ. לפני שהתקלות יתבצעו, עדיין אפשר לנוע בתוך "הכלי המטושטש המופעל". כשתקלות יתבצעו, הכניסה כבר לא תהיה אפשרית. לעומת זאת, ייווצרו שני פתחים אחרים. אך איפה, אילו חלקים של המרחב הם מושפעים? הפתחים יחברו בין הפנים של חתכי תפוח אדמה לבין החוץ. ב-ל', אתם רואים את חתכי תפוח אדמה. נמשיך לשלב הבא.
סגירת הפתח. לקראת מצב קריטי כפול
ב-ו מיוצגת שתי תקלות "מכנסיים" בשלבים שונים. אחד מהפתחים סגור לגמרי. אנו במצב קריטי, ממש לפני שארקי העקומה ישתנו באופן החיבור. בצד ימין (פרטי באיור ו') הפתח עדיין מתסגר. לכן, צורת עקומת החיתוך ו" שונה מימין ומשמאל. באיורים פ, פ' ו-פ" הולך ומשיגים את הקיצוניות (המצב "האמצעי" של ההמרה). בלוח הבא, הניתוחים הושלמו. הצינורות שראינו מתחילים באיור פ", שמחברים בין "חתכי תפוח אדמה" לבין החוץ, כבר נוצרו:
שתי תקלות "מכנסיים" הושלמו. הפתחים (חצים לבנים) פתוחים.
הדברים ימשיכו עכשיו לעבוד על החלק התחתון של המודל, שפרטים מופיעים ב-ר. נסתכל על חלק זה של המשטח בקפידה. רואים שני חלקים של צינורות פרבוליות שמתפצלים, מכוונים לפי שני כיוונים מאונכים. קיים פתח בחלק התחתון של ר שמופנה לכיוון הקורא. נחשוב על כך להזיז את שני הצינורות זה ביחס לזה. זה יגרום לסגירת הפתח הזה ופתיחה של פתח אחר, לאורך כיוון ניצב ("משמאל לימין"). כאן אנו מזהים תקלה חדשה של "מכנסיים". אם תנועת החלק התחתון של הצינורות הפרבוליות תתקיים, נגיע שוב למצב קריטי, עם שינוי באופן החיבור של הצלעות. אך למעשה, מתוך שיקול של חיסכון, נעצור את "התהליך" במצב הקריטי, במצב האמצעי, כאשר הפתח שמופנה לכיוון הקורא יסגר, והפתח בכיוון הניצב עדיין לא יפתח. נבצע זאת.
תקלת מכנסיים חדשה, התחילה ב-ל, נעצרה בימין, במצב קריטי.
נפעל ב-ל "לחץ" על הצינור שמראה את צבעו הורוד החוצה, ונעלה אותו. ב-ג' רואים את השפעת התנועה על עקומת החיתוך: קטעי העקומה מתחילים להתקרב. כשנגיע למצב הקריטי, חלק זה של הקבוצה יראה כמו "מברשת לערבוב ביצים", כפי שמתואר באיור. באיורים ימניים, ט, ט', ט": הולך ומשיגים את הקיצוניות, כלומר "הרגע האמצעי של התקלה". ב-ט" צורת הקבוצה של החיתוך, שבה החלק התחתון זהה לזה של המברשת לערבוב ביצים. האיור ט' מייצג את הנפח הקטן הטטראדרי. ב-ט''' מיוצג חיתוך של ארבע הצלעות.
הלכו לשתות אספירינה.
בגרסה הזו של הפיכת הספירה, כל ההמרות, כל התקלות אמורות להסתיים. אך נעצור את התקלה שרק הזכרנו במצב האמצעי, "הקריטי". לאחר מכן נתחיל תקלה שלא השתמשנו בה עדיין: התקלה שמשנה את כיוון הטטראדר. אך שוב נעצור במצב "האמצעי", כשטטראדר יתכנס לנקודה. נמשיך!
תקלה אחרונה, נעצרה בשלב האמצעי: כשטטראדר מתכנס לנקודה ריבועית Q
ב-ט''' מופיע תיאור של המבנה של ארבע הצלעות, שעקומת החיתוך כוללת נפח שדומה לטטראדר. ב-ו" הטטראדר התכנס לנקודה (ריבועית, מכיוון שארבע הצלעות מתפצלות). בצד שמאל מופיע "המודל עם ארבע אוזניות של מורין". בפינה הקדמית, עקומת החיתוך עם, בתחתית, "מברשת לערבוב ביצים" ובעלה ארבע "תליות" שמשנות על "אוזניות של ארנבת". על ידי התאמה קלה של המשטח, ללא תקלה חדשה, אנו מגיעים ימינה ל- המודל המרכזי עם ארבע אוזניות של מורין. המודל הזה מראה סימטריה מסדר ארבע. אם נבצע סיבוב של 90 מעלות סביב ציר הסימטריה האנכי, נקבל את אותו ציור, אך עם צבעים מתחלפים. האפור הופך לורוד והורוד לארוך. לכן נוכל לומר שהעבודה הסתיימה. שכן, אם נרצה לצייר את ההומוטופיה המלאה, יספיק, באמצעות אנימציה, לסובב את המודל המרכזי ב-90 מעלות. לאחר מכן נוכל להחזיר את כל הציורים שציירנו, בסדר הפוך, עם צבעים מתחלפים. בסופו של דבר נקבל שיכון של הספירה שמוציאה את צבעה הורוד החוצה. אך המתמטיקה היא בית ספר לאי-רשות, או לэкономיה, תלוי בהבנה של העניין. כל עוד העבודה הובילה אותנו למודל שמציג סימטריה מסדר ארבע, נוכל להפסיק כאן ולומר שהפעולה הושלמה.
בלוח הבא ניסיתי לתאר את המודל המרכזי הפתוח של מורין עם מירב הפרטים. קיים מודל עם "אוזניות סגורות", שציירתי במאמר אחר באקדמיה, אך אשמור על זה.
תיאור מפורט של המודל המרכזי של מורין, עם ארבע אוזניות
בשלב מאוחר יותר מצאתי ניסוח פוליאדרי של המודל המרכזי עם ארבע אוזניות. למעשה, מודל כזה אין לו "למעלה" או "למטה". לצורך נוחות בציור ואנימציה (הصور נוצרו עם תוכנת עזר לניהול מחשב שפיתחתי, לפני שנות ה-80) ה-GIF האנימציה הבא מראה את המודל עם הנקודה הכפולה כלפי מעלה. הנקודה הרביעית גם נראית:
הגרסה הפוליאדרית שלי של המודל עם ארבע אוזניות
איך לבנות את המודל באמצעות חיתוך
הרכיבים של החיתוך (לדפוס, ואז להעתקה על ארבע דפים של נייר עבה, בשני צבעים)
באנימציה הראשונית, האובייקט היה "במראה מראה" ביחס למבט למעלה. לכן, "מבוקע מלמעלה", הוא נראה כמו צלב גימא, והקבוצה יכולה לשקף סוג של "בית תרבות לפלך נאו-נאצי". העדפתי להפוך את האובייקט כדי לא לספק רעיונות רעים לארחיטקטים של ימין קיצוני. לחצו כאן כדי לקבל את כל ההנחיות על הדרך לבנות את האובייקט בעצמכם. לסיכום, כמה צילומים של האובייקט.
אסיים את האזכור של הפיכת הספירה בסיפור מרגש אך מדויק. בתקופת הזמן שבה ההמרות היו ידועות רק למספר קטן של מוכשרים, מְרִיץ הושיט פרס של מיליון דולר לאדם שיכל לבנות מודלים מספיק מובנים. בברקלי, המתמטיקאי צ'ארלס פוג התמודד עם המשימה והצליח. עם הכסף הוא הצליח לקנות בית. המודלים, שנוצרו עם שער עופות ומידה של מטר אחד ורבע (פוג הצליח, בדexteriteit מופלאה, לחתוך ולמחבר את הרשתות של המבנה, תוך שיתוף פעולה של חיתוך עצמי), עלו במשך שנים על סיפון המסעדה של המחלקה למתמטיקה בברקלי. לאחר מכן, לילה אחד, נגנבו והם לא נמצאו שוב. לא ידעו מי עשה את זה. מסחרית, זה היה קשה יותר למכור מאשר ה"מונא ליזה" של הלובר. אולי מעריץ מהצד יחזיק אותם במרתף סודי, ויחגיג כל ערב כשיפנה למטה ויאמר לעצמו "אני היחיד שיכול להביט בהם".
יש גם סיפור אחר שמתאר את משטח בוי, שבו הייתי הראשון שקבע את העקומות המערביות, מזהה אותן כמשפחה של אליפסות. העבודה נעשתה באופן לגמרי אמפירי, מתוך מודל מתכת שיצרתי. אחד בניו של המתמטיקאי ז'ן-מריה סוריאו, ז'רומ, היה אז לומד פיזיקה. בעזרת המיקרו-מחשב אפל 2 של אביו, הצליח לבנות את ההצגה הפרמטרית הראשונה של האובייקט, מהסוג:
X = X ( אלפא , מיו )
Y = Y ( אלפא , מיו )
Z = Z ( אלפא , מיו )
אני לא מצליח להכניס את גופן הסימבולי ב-Dreamweaver, שמאפשר לי להכניס אותיות יווניות בדף HTM &&& אם מישהו יכול להסביר לי איך לעשות זאת......
עם עשר שורות של תוכנית BASIC, נוכל להציג לראשונה, ב-1981, תמונות "של חוט" של משטח בוי על המסך. אם תמצאו תמונות סינתטיות של האובייקט באתרים, הן תמיד נוצרו על בסיס העבודה שפרסמנו באקדמיה (תome 293, סיעוד 5 באוקטובר 1981, סדר 1, עמודים 269-272). מאחר שהעבודה מוקדמת על ידי ג'פ. פטיט ו-ז'. סוריאו, ה- (נادרים) קוראים חושבים ש-ז'. סוריאו הוא המתמטיקאי הידוע. למעשה מדובר בנו שלו, ז'רומ, שnever סיים את התואר שלו בפיזיקה והעדיף לעסוק בתוכנה. קל להבין שההצגות הסינתטיות, שחלקן נוצרו על ידי הפוליטכנייקון קולונה באקדמיה הפוליטכנית, מבוססות על המשוואות שמצאנו, ז'רומ ולי. הן דורשות שיפור, ומכיוון שלא נמשכה העבודה, המשטח מראה שלוש תקיעות לא אסתטיות בקרבת הקוטב. הנה התוכנית שמאפשרת ליצור את ההצגות "של חוט".
**
התוכנית, נלקחה מה-Topologicon**:
הסיפור האחרון הוא עוד יותר מפתיע. לפני כעשרים שנה השתתפתי בסיור תת-ימי בדרום באהמות, עם המפליג ג'אק מיאול. המטרה הייתה לגלות "פירמידה שטבעה", שציינה קיומה בكتבה המפורסמת של צ'ארלס ברליץ "המשולש של בורמודה", ספר מכר עולמי. כדי להיות מדויק, הפירמידה הייתה צריכה להימצא בדרום רиф קיי סל בנק, במרחק חצי בין פלורידה לקובה, אזור שמאופיין בקרנפים ימיים, מסוכן למדי. אך במחקר יש לפעמים לדרוש סיכון.
לא מצאנו יותר פירמידה מאשר חמאה על קצה עץ. נשלחנו למקומם על ידי מمول איטלקי עשיר, על יacht יפה של שלושים מטרים, עם מנועים חזקים מאוד. בגלל חוסר פירמידה, התחלתי לדבר עם המיליארדר על גיאומטריה, וציין לו שבעזרת תקציב ליצירת משטחים מתמטיים הוא ימצא דרך להוציא את כספו, עוד יותר לא מוצדקת מאשר לدعוך נערות מהלידו בפריז. האיש, שאותו אשמור על שמו, אך